高中数学 2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 3直线与平面垂直 平面与平面垂直的性质 栏目链接 1 理解直线与平面垂直的性质定理 平面与平面垂直的性质定理 并能利用性质定理解决有关问题 2 了解直线与平面 平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系 栏目链接 典例精析 题型一线面垂直性质的应用 栏目链接 例1如右图所示 已知pa 矩形abcd所在平面 m n分别是ab pc的中点 1 求证 mn cd 2 若 pda 45 求证 mn 平面pcd 栏目链接 栏目链接 栏目链接 跟踪训练1 如图 已知直线a 直线b 且ab a ab b 平面 c 求证 ab c 证明 过点b引直线a a a 与b确定的平面设为 a a ab a ab a 又ab b a b b ab b c b c a c a c 又a a a c 由 可得c 又ab ab c 题型二面面垂直性质的应用 栏目链接 例2如图 平面pab 平面abc 平面pac 平面abc ae 平面pbc e为垂足 1 求证 pa 平面abc 2 当e为 pbc的垂心时 求证 abc是直角三角形 栏目链接 证明 利用线面垂直的判定 面面垂直的性质来解 1 如图 在平面abc内取一点d 作df ac于f 平面pac 平面abc 且交线为ac df 平面pac pa 平面pac df ap 作dg ab于g 同理可证dg ap dg df都在平面abc内 且dg df d pa 平面abc 2 如图 连接be并延长交pc于h e是 pbc的垂心 栏目链接 pc be 又已知ae是平面pbc的垂线 pc ae 又 be ae e pc 平面abe pc ab 又 pa 平面abc pa ab 又 pc pa p ab 平面pac ab ac 即 abc是直角三角形 点评 证明线面垂直 面面垂直 线线垂直不要局限于一个方面 有时需考虑多种情况的综合 栏目链接 跟踪训练2 如图所示 在四棱锥pabcd中 底面abcd为矩形 pa 平面abcd 点e在线段pc上 pc 平面bde 1 证明 bd 平面pac 2 若pa 1 ad 2 求二面角bpca的正切值 栏目链接 证明 pa 平面abcd pa bd pc 平面bde pc bd 又 pa pc p bd 平面pad bd 平面pac 2 设ac与bd交于点o 连接oe pc 平面bde pc oe 又 bo 平面pac pc bo pc 平面boe pc be oe bo o beo为二面角bpca的平面角 bd 平面pac bd ac 四边形abcd为正方形 栏目链接 题型三综合应用 栏目链接 例3如右图所示 在四棱锥pabcd中 底面abcd是 dab 60 且边长为a的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 2 若e为bc边的中点 能否在棱上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 栏目链接 1 证明 设g为ad的中点 连接pg pad为正三角形 pg ad 在菱形abcd中 dab 60 g为ad的中点 bg ad 又bg pg g ad 平面pgb pb 平面pgb ad pb 2 解析 当f为pc的中点时 满足平面def 平面abcd 取pc的中点f 连接de ef df 栏目链接 在 pbc中 fe pb 在菱形abcd中 gb de 而fe 平面def de 平面def ef de e pb 平面pgb gb 平面pgb pb gb b 平面def 平面pgb 由 1 得pg 平面abcd 而pg 平面pgb 平面pgb 平面abcd 平面def 平面abcd 点评 空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则 解题时要抓住几何图形自身的特点 如等腰 边 三角形的三线合一 中位线定理 菱形的对角线互相垂直等等 还可以通过解三角形 产生一些题目所需要的条件 对于一些较复杂的问题 注意应用转化思想解决问题 栏目链接 跟踪训练3 如图 在三棱锥pabc中 pab是等边三角形 pac pbc 90 1 证明 ab pc 2 若pc 4 且平面pac 平面pbc 求三棱锥pabc的体积 栏目链接 证明 1 因为 pab是等边三角形 所以pb pa 因为 pac pbc 90 pc pc 所以rt pbc rt pac 所以ac bc 如图 取ab中点d 连接pd cd 则pd ab cd ab 又因为pd cd d 所以ab 平面pdc 所以ab pc 栏目链接 2 解析 作be pc 垂足为e 连接ae 因为rt pbc rt pac 所以ae pc ae be 由已知 平面pac 平面pbc 故 aeb 90 因为 aeb 90 peb 90 ae b