高中数学 小专题复习课 热点总结与强化训练(五)配套课件 理 新人教A版.ppt

热点总结与强化训练 五 热点1立体几何中的空间角1 本热点在高考中的地位空间角是立体几何的重要内容 是高考对立体几何考查的一个主要方面 是高考的热点 是每年高考必考内容之一 既有选择题 填空题 也有解答题 约占20分左右 2 本热点在高考中的命题方向及命题角度从高考来看 对空间角的考查 主要有以下两种形式 1 在特殊的几何体中给出空间角直接进行计算 一般出现在选择 填空题中 2 不直接给出空间角而是需要考生先作出空间角 再进行求解计算 这类题目主要以解答题的形式出现 考查学生空间想象能力 转化及数形结合的思想 1 熟记空间角的概念及范围 2 求空间角的步骤 一作二证三计算 3 利用向量研究空间角 1 利用向量的数量积运算求异面直线所成的角 2 利用平面 的法向量与直线a所成的角求线面角 3 将二面角转化为两个平面的法向量所成的角 在平时的备考中 要注重培养学生严谨的思维习惯 作出空间角必须给出证明 然后才给出计算 同时要加强学生运算能力的训练 培养学生准确 快速的运算能力 例 2011 广东高考 如图 在锥体p abcd中 abcd是边长为1的菱形 且 dab 60 pa pd pb 2 e f分别是bc pc的中点 1 证明 ad 平面def 2 求二面角p ad b的余弦值 解题指南 1 取ad的中点g 连结pg bg 证明ad ef ad de 从而证得ad 平面def 2 证 pgb是所求二面角的平面角 在 pgb中由余弦定理可求得所求二面角的余弦值 规范解答 1 取ad的中点g 连结pg bg pa pd ad pg 在 abg中 gab 60 ag ab 1 agb 90 即ad gb 又pg gb g ad 平面pgb 从而ad pb e f分别是bc pc的中点 ef pb 从而ad ef 又de gb ad gb ad de de ef e ad 平面def 2 由 1 知 pgb是所求二面角的平面角 由余弦定理得cospgb 即所求二面角p ad b的余弦值为 1 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 2 aa1 1 则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为 解析 选d 如图 在平面a1b1c1d1内过点c1作b1d1的垂线 垂足为e 连结be c1be的正弦值就是所求值 2 直线ab与直二面角 l 的两个半平面分别交于a b两点 且a bl 如果直线ab与 所成的角分别是 1 2 则 1 2的取值范围是 a 0 1 2 b 1 2 c 1 2 d 0 1 2 解析 选d 过点a在平面 内作ac l交l于点c 连结bc 则ac abc 2 过点b在 内作bd l交l于点d 连结ad 则bd bad 1 当且仅当c d重合时 等号成立 又 1 均为锐角 又 1 2 0 故d正确 3 如图 已知正三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都相等 d是a1c1的中点 则直线ad与平面b1dc所成角的正弦值为 解析 如图 作ae cd 正三棱柱abc a1b1c1中 b1d 平面a1acc1 则b1d ae 又因为cd db1 d ae 平面b1dc 则 adc就是直线ad与平面b1dc所成的角 设正三棱柱的棱长为2 则dc ad ac 2 在 acd中 由余弦定理 得即直线ad与平面b1dc所成角的正弦值为答案 4 如图 在体积为1的直三棱柱abc a1b1c1中 acb 90 ac bc 1 求直线a1b与平面bb1c1c所成角的大小 结果用反三角函数值表示 解析 方法一 由题意 可得体积 aa1 cc1 2 连结bc1 a1c1 b1c1 a1c1 cc1 b1c1 cc1 c1 a1c1 平面bb1c1c a1bc1是直线a1b与平面bb1c1c所成的角 又bc1 则故直线a1b与平面bb1c1c所成角的大小为 方法二 由题意 可得体积v cc1 s abc 如图 建立空间直角坐标系 得点b 0 1 0 c1 0 0 2 a1 1 0 2 则 1 1 2 平面bb1c1c的一个法向量为n 1 0 0 设直线a1b与平面bb1c1c所成的角为 与n的夹角为 则cos 故直线a1b与平面bb1c1c所成角的大小为 热点2排列与组合1 本热点在高考中的地位 排列 组合是高考的热点 一般以选择题或填空题的形式出现 约占5分 为中档难度 2 本热点在高考中的命题方向和角度 从近几年的高考可以看出 对本热点的考查 主要是利用两个计数原理 排列与组合等知识解决问题 其中绝大多数是上述知识在实际问题中的应用 也有部分以几何图形 集合等知识为背景 题目时效性强 表现形式新颖 预测13年高考仍将以选择题 填空题的形式考查各种知识的综合应用 两个计数原理将会是命题的重点和热点 1 正确区分两个计数原理分类计数原理与分类有关 各种方法相互独立 用其中任一种方法都可以完成这件事 分步计数原理与分步有关 各步骤相互依存 只有各个步骤都完成 这件事才算完成 2 搞清排列与组合的区别与联系排列组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数组的题 它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序 不考虑顺序的是组合问题 考虑顺序的是排列问题 排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队 3 常见的排列组合问题的解题策略 1 特殊元素优先安排的策略 2 合理分类与准确分步的策略 3 排列 组合混合问题先选后排的策略 4 正难则反 等价转化的策略 5 相邻问题捆绑处理的策略 6 不相邻问题插空处理的策略 7 定序问题除法处理的策略 8 分排问题直排处理的策略 9 小集团 排列问题中先整体后局部的策略 10 构造模型的策略 在平时的备考中 要注重培养学生的分类讨论思想和不断训练学生的运算能力 不断提高学生分析问题和解决问题的能力 运用分类计数原理时 要恰当选择分类标准 做到不重不漏 运用分步计数原理时 要确定次序 并且每一步都是独立 互不干涉的 对于高考问题 可同时应用两个基本原理或借助列表 画图的方法来判断分析 1 2011 安徽高考 设集合a 1 2 3 4 5 6 b 4 5 6 7 8 则满足s a且s b 的集合s的个数是 a 57 b 56 c 49 d 48 2 2011 大纲版全国卷 某同学有同样的画册2本 同样的集邮册3本 从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本 则不同的赠送方法共有 a 4种 b 10种 c 18种 d 20种 解题指南 1 利用间接法 求出s b 的s的个数 然后用s a的集合s的个数减去s b 的s的个数 2 解决此题应分两类 第一类为所赠送的4本书为1本画册 3本集邮册 第二类是2本画册和2本集邮册 规范解答 1 选b s a的集合s的个数为 64 s b 的个数为 8 所以满足s a且s b 的集合s的个数是64 8 56 2 选b 分两类 取出1本画册 3本集邮册 此时赠送方法有 4种 取出2本画册 2本集邮册 此时赠送方法有 6种 总的赠送方法有10种 1 2011 大纲版全国卷 4位同学每人从甲 乙 丙3门课程中选修1门 则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 a 12种 b 24种 c 30种 d 36种 解析 选b 第一步选出2人选修课程甲有 6种方法 第二步安排剩余两人从乙 丙中各选1门课程有2 2 4种选法 根据分步计数原理 有6 4 24种选法 2 2012 百色模拟 世博会期间 某班有四名学生参加了志愿工作 将这四名学生分配到a b c三个不同的展馆服务 每个展馆至少分配一人 若甲要求不到a馆 则不同的分配方案有 a 36种 b 30种 c 24种 d 20种 解析 选c 可分甲在b馆或c馆两种情形 1 甲在b馆乙在a馆 则丙丁选一人在c馆 余一人任意分到三个馆中之一 若用来表示是欠妥的 因为上述的算法包含了 丙丁 丁丙 相同的分法 所以应有种 乙在b馆 则丙丁分别在a c馆中 共有 2种 乙在c馆 则丙丁选一人在a馆 余一人任意分到三个馆中之一 共有种 此时共有种 2 同理 甲在c馆共有种 不同的分配方案有12 12 24 种 3 2012 玉林模拟 在1 2 3 4 5 6 7的任一排列a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7中 使相邻两数都互质的排列方式种数是 a 576 b 720 c 864 d 1152 解析 选c 先让数字1 3 5 7全排列 有 24种 再排数字6 由于数字6不与3相邻 在排好的排列中 除3的左 右2个空隙 还有3个空隙可排数字6 故数字6有3种排法 最后排数字2 4 在剩下的4个空隙中排上2 4 有种排法 共有种 故选c 4 2位男生和3位女生共5位同学站成一排 若男生甲不站两端 3位女生中有且只有两位女生相邻 则不同排法的种数是 a 60 b 48 c 42 d 36 解析 选b 方法一 从3名女生中任取2人 捆 在一起记作a a共有 6种不同排法 剩下一名女生记作b 两名男生分别记作甲 乙 则男生甲必须在a b之间 若甲在a b两端 则为使a b不相邻 只有把男生乙排在a b之间 此时就不能满足男生甲不在两端的要求 此时共有6 2 12种排法 a左b右和a右b左 最后再在排好的三个元素产生的四个空中插入乙 所以 共有12 4 48种不同排法 方法二 同方法一 从3名女生中任取2人 捆 在一起记作a a共有 6种不同排法 剩下一名女生记作b 两名男生分别记作甲 乙 为使男生甲不在两端可分三类情况 第一类 女生a b在两端 男生甲 乙在中间 共有 24种排法 第二类 捆绑 a和男生乙在两端 则中间女生b和男生甲只有一种排法 此时共有 12种排法 第三类 女生b和男生乙在两端 同样中间 捆绑 a和男生甲也只有一种排法 此时共有 12种排法 三类之和为24 12 12 48种 5 用数字0 1 2 3 4 5 6组成没有重复数字的四位数 其中个位 十位和百位上的数字之