黑龙江省哈尔滨市第四十一中学九年级数学上册 垂直于弦的直径课件1 新人教版.ppt

1 填空 1 根据圆的定义 圆 指的是 而不是 圆面 2 圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件 圆心决定圆的 半径决定圆的 二者缺一不可 圆周 位置 大小 旧知复习 4 图中有 条直径 条非直径的弦 圆中以a为一个端点的优弧有 条 劣弧有 条 3 是圆中最长的弦 它是 的2倍 直径 半径 一 二 四 四 2 判断下列说法的正误 1 弦是直径 2 半圆是弧 3 过圆心的线段是直径 7 圆心相同 半径相等的两个圆是同心圆 8 半径相等的两个圆是等圆 4 过圆心的直线是直径 5 半圆是最长的弧 6 直径是最长的弦 3 选择 1 下列说法中 正确的是 线段是弦 直径是弦 经过圆心的弦是直径 经过圆上一点有无数条直径 a b c d b 2 如图 o中 点a o d以及点b o c分别在一条直线上 图中弦的条数为 a 2b 3c 4d 5 b 由此你能得到圆的什么特性 结论 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 不借助任何工具 你能找到圆形纸片的圆心吗 新课导入 o 垂直于弦的直径 o a b c d e 是轴对称图形 大胆猜想 已知 在 o中 cd是直径 ab是弦 cd ab 垂足为e 下图是轴对称图形吗 叠合法 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理 符号语言 图形语言 下列图形是否具备垂径定理的条件 是 不是 是 不是 深化 垂径定理的几个基本图形 cd过圆心 cd ab于e ae be 1 如图 ab是 o的直径 cd为弦 cd ab于e 则下列结论中不成立的是 a coe doe b ce de c oe ae 随堂练习 2 如图 oe ab于e 若 o的半径为10cm oe 6cm 则ab cm o a b e 3 如图 在 o中 弦ab的长为8cm 圆心o到ab的距离为3cm 求 o的半径 o a b e 解 过点o作oe ab于e 连接oa 即 o的半径为5cm 4 如图 cd是 o的直径 弦ab cd于e ce 1 ab 10 求直径cd的长 解 连接oa cd是直径 oe ab ae 1 2ab 5 设oa x 则oe x 1 由勾股定理得 x2 52 x 1 2 解得 x 13 oa 13 cd 2oa 26 即直径cd的长为26 垂径定理三角形 d h r r 有哪些等量关系 在a d r h中 已知其中任意两个量 可以求出其它两个量 你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 赵州桥主桥拱的半径是多少 垂径定理的应用 37 4m 7 2m a b o c d 关于弦的问题 常常需要过圆心作弦的垂线段 这是一条非常重要的辅助线 圆心到弦的距离 半径 弦构成直角三角形 便将问题转化为直角三角形的问题 跨度 弧所对的弦的长 为37 4 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2 cd是直径 ab是弦 cd ab 直径过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 垂径定理 将题设与结论调换过来 还成立吗 这五条进行排列组合 会出现多少个命题 直径过圆心 平分弦 垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论1 垂径定理推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 cd ab cd是直径 ae be o a b c d e 1 如何证明 探究 已知 如图 cd是 o的直径 ab为弦 且ae be 证明 连接oa ob 则oa ob ae be cd ab 2 不是直径 这个条件能去掉吗 如果不能 请举出反例 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 1 已知p为 o内一点 且op 2cm 如果 o的半径是3cm 那么过p点的最短的弦等于 2 过 o内一点m的最长弦长为4厘米 最短弦长为2厘米 则om的长是多少 o m a 3 如图 点p是半径为5cm的 o内一点 且op 3cm 则过p点的弦中 1 最长的弦 cm 2 最短的弦 cm 3 弦的长度为整数的共有 a 2条b 3条c 4条d 5条 巩固 a o c d 5 4 p 3 b 4 如图 点a b是 o上两点 ab 8 点p是 o上的动点 p与a b不重合 连接ap bp 过点o分别作oe ap于e of bp于f ef 4 这节课你有什么收获 还有哪些疑问 1 过 o内一点m的最长的弦长为10 最短弦长为8 那么 o的半径是 2 已知 o的弦ab 6 直径cd 10 且ab cd 那么c到ab的距离等于 3 已知 o的弦ab 4 圆心o到ab的中点c的距离为1 那么 o的半径为 4 如图 在 o中弦ab ac om ab on ac 垂足分别为m n 且om 2 0n 3 则ab ac oa b a m c o n 5 1 或9 6 4 cm 5 弓形的弦长为6cm 弓形的高为2cm 则这弓形所在的圆的半径为 cm 7 一条公路的转变处是一段圆弧 即图中弧cd 点o是弧cd的圆心 其中cd 600m e为弧cd上的一点 且oe cd垂足为f ef 90m 求这段弯路的半径 解 连接oc 8 已知在 o中 弦ab的长为8cm 圆心o到ab的距离为3cm 求 o的半径 解 连结oa 过o作oe ab 垂足为e 则oe 3cm ae be ab 8cm ae 4cm在rt aoe中 根据勾股定理有oa 5cm o的半径为5cm a e b o 9 在以o为圆心的两个同心圆中 大圆的弦ab交小圆于c d两点 求证 ac bd 证明 过o作oe ab 垂足为e 则ae be ce de ae ce be de 所以 ac bd e 5 如图 o中cd是弦 ab是直径 ae cd于e bf cd于f 求证 ce df 一个圆的任意两条直径总是互相平分 但它们不一定互相垂直 因此这里的弦如果是直径 结论不一定成立 o a b m n c d 注意 为什么强调这里的弦不是直径 垂径定理的推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 m o a b n c d 证明 作直径mn垂直于弦ab ab cd 直径mn也垂直于弦cd 两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的两侧 垂径定理的推论2有这两种情况 课堂小结 1 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 2 垂径定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 3 垂径定理的推论 经常是过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 连结半径等辅助线 为应用垂径定理创造条件 4 解决有关弦的问题 cd是直径 cd ab am bm 如果具备上面五个条件中的任何两个 那么一定可以得到其他三个结论吗 一条直线满足 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 不是直径 4 平分弦所对优弧 5 平分弦所对的劣弧 推广 课堂讨论 根据已知条件进行推导 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 3 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 2 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 只要具备上述五个条件中任两个 就可以推出其余三个 4 若 cd是直径 则 1 若cd ab cd是直径 则 2 若am mb cd是直径 则 3 若cd ab am mb 则 1 如图所示 练习 am bm cd ab cd是直径 cd ab am bm 2 判断 1 垂直于弦的直线平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 2 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧 3 经过弦的中点的直径一定垂直于弦 4 圆的两条弦所夹的弧相等 则这两条弦平行 5 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 直径过圆心 平分弦所对优弧 平分弦 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 垂径定理的推论1 2 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 直径过圆心 平分弦所对的劣弧 平分弦 平分弦所对优弧 垂直于弦 垂径定理的推论1 2 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 垂直于弦 平分弦 直径过圆心 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧 3 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论1 垂直于弦 平分弦所对优弧 直径过圆心 平分弦 平分弦所对的劣弧 推论1的其他命题 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 直径过圆心 平分弦 平分弦所对优弧 4 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦 平分弦所对优弧 直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 5 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦 平分弦所对的劣弧 直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧 直径过圆心 垂直于弦 平分弦 6 平分弦所对的两条弧的直径过圆心 并且垂直平分弦 船能过拱桥吗 例3 如图 某地有一圆弧形拱桥 桥下水面宽为7 2米 拱顶高出水面2 4米 现有一艘宽3米 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里 此货船能顺利通过这座拱桥吗 船能过拱桥吗 解 如图 用表示桥拱 所在圆的圆心为o 半径为rm 经过圆心o作弦ab的垂线od d为垂足 与相交于点c 根据垂径定理 d是ab的中点 c是的中点 cd就是拱高 由题设得 在rt oad中 由勾股定理 得 解得r 3 9 m 在rt onh中 由勾股定理 得 此货船能顺利通过这座拱桥 已知a b c是 o上三点 且ab ac 圆心o到bc的距离为3厘米 圆的半径为5厘米 求ab长 d d 已知 o的半径为5厘米 弦ab的长为8厘米 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离 e e d d 练习 1 判断 1 垂直于弦的直线平分这条弦 并且平分弦所对的两