2019高考数学一轮复习精编课件：直线、平面垂直的判定及其性质.ppt

一 直线与平面垂直1 直线和平面垂直的定义直线l与平面 内的一条直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 任意 2 直线与平面垂直的判定与性质 两条相交 直线 平行 a b a b O l b l a a b 它在平面内的射影 1 两条直线和一个平面所成的角相等 这两条直线的位置关系怎样 提示 平行 相交 异面三种情况都有可能 二 平面与平面垂直1 二面角的有关概念 1 二面角 从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角 在二面角的棱上任一点 以该点为垂足 在两个半平面内分别作的两条射线 这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 3 二面角的范围 0 两个半平面 垂直于棱 2 平面和平面垂直的定义两个平面相交 如果所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 3 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 垂线 交线 l l l a l a 2 垂直于同一平面的两平面是否平行 提示 不一定 可能平行也可能相交 1 设l m n均为直线 其中m n在平面 内 则 l 是 l m且l n 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析 当l 时 l m且l n 但当l m l n时 若m n不是相交直线 则得不到l 答案 A 2 将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到四面体ABCD 如图2 则在四面体ABCD中 AD与BC的位置关系是 A 相交且垂直B 相交但不垂直C 异面且垂直D 异面但不垂直解析 由题意知AD BD AD DC 又BD DC D 故AD 平面BCD 又BC 平面BCD 所以AD BC 又AD与BC异面 故选C 答案 C 3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 B1C与平面DD1B1B所成角的大小是 A 15 B 30 C 45 D 60 4 设 是空间两个不同的平面 m n是平面 及 外的两条不同直线 从 m n n m 中选取三个作为条件 余下一个作为结论 写出你认为正确的一个命题 用代号表示 解析 将 作为条件 构造长方体进行证明 即从长方体的一个顶点出发的两条棱与其对面垂直 这两个对面互相垂直 故 对于 可仿照前面的例子进行证明 答案 或 5 理 设P是60 的二面角 l 内一点 PA PB A B分别为垂足 PA 2 PB 4 则AB的长是 解析 如图所示 PA与PB确定平面 设平面 与l交于点E 则BE l AE l BEA即为二面角的平面角 5 文 在正三棱锥P ABC中 D E分别是AB BC的中点 有下列三个论断 AC PB AC 平面PDE AB 平面PDE 其中所有正确论断的序号为 解析 取AC中点O 连接PO BO 则AC PO AC BO 又PO BO O 所以AC 平面POB 故AC PB 由AC DE知AC 平面PDE 显然 不成立 答案 考向探寻 1 直线与平面垂直的判定 2 直线与平面垂直的性质 3 直线与平面垂直的判定与性质的综合应用 典例剖析 1 如图甲 在 ABC中 ABC 90 PA 平面ABC 则图中直角三角形的个数是 1 利用线面垂直的判定 性质寻求图中的垂直关系 2 证明PH AD PH AB即可 由 知PH为四棱锥的高 证四边形ABCD为直角梯形 根据公式求体积即可 取PA中点M 证DM 平面PAB及EF DM即可 1 解析 PA 平面ABC AB AC 平面ABC PA AB PA AC PA BC 又CB AB PA AB A CB 平面PAB CB PB PAB PAC PBC ABC均为直角三角形 答案 4 2 证明 因为AB 平面PAD PH 平面PAD 所以PH AB 因为PH为 PAD中AD边上的高 所以PH AD 因为PH 平面ABCD AB AD A AB AD 平面ABCD 所以PH 平面ABCD 解 因为PD AD 所以MD PA 因为AB 平面PAD 所以MD AB 因为PA AB A 所以MD 平面PAB 所以EF 平面PAB 1 证明直线和平面垂直的常用方法有 2 当直线和平面垂直时 该直线垂直于平面内的任意一条直线 常用来证明线线垂直 活学活用 1 理 如右图所示 已知PA 矩形ABCD所在平面 M N分别是AB PC的中点 1 求证 MN CD 2 若 PDA 45 求证 MN 平面PCD 2 如图所示 连接PM CM PDA 45 PA AD AP AD 四边形ABCD为矩形 AD BC PA BC 又 M为AB的中点 AM BM 而 PAM CBM 90 PM CM 又 N为PC的中点 MN PC 由 1 知 MN CD PC CD C MN 平面PCD 1 文 如图 已知三棱锥A BPC中 AP PC AC BC M为AB中点 D为PB中点 且 PMB为正三角形 求证 1 MD 平面APC 2 BC 平面APC 证明 1 M为AB中点 D为PB中点 MD AP 又MD 平面APC AP 平面APC MD 平面APC 2 PMB为正三角形 D为PB的中点 MD PB 又由 1 知MD AP AP PB 又已知AP PC PB PC P AP 平面PBC AP BC 又AC BC AC AP A BC 平面APC 考向探寻 1 平面与平面垂直的判定 2 平面与平面垂直的性质 3 平面与平面垂直的判定与性质的综合应用 典例剖析 1 2012 浙江高考 设l是直线 是两个不同的平面A 若l l 则 B 若l l 则 C 若 l 则l D 若 l 则l 2 2012 江苏高考 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 A1B1 A1C1 D E分别是棱BC CC1上的点 点D不同于点C 且AD DE F为B1C1的中点 求证 平面ADE 平面BCC1B1 直线A1F 平面ADE 1 解析 设 a 若直线l a 且l l 则l l 因此 不一定平行于 故A错误 由于l 故在 内存在直线l l 又因为l 所以l 故 所以B正确 若 在 内作交线的垂线l 则l 此时l在平面 内 因此C错误 已知 若 a l a 且l不在平面 内 则l 且l 因此D错误 答案 B 2 证明 因为ABC A1B1C1是直三棱柱 所以CC1 平面ABC 又AD 平面ABC 所以CC1 AD 又AD DE CC1 DE 平面BCC1B1 CC1 DE E 所以AD 平面BCC1B1 因为AD 平面ADE 所以平面ADE 平面BCC1B1 因为A1B1 A1C1 F为B1C1的中点 所以A1F B1C1 因为CC1 平面A1B1C1 且A1F 平面A1B1C1 所以CC1 A1F 又因为CC1 B1C1 平面BCC1B1 CC1 B1C1 C1 所以A1F 平面BCC1B1 由 1 知AD 平面BCC1B1 所以A1F AD 又AD 平面ADE A1F 平面ADE 所以A1F 平面ADE 1 证明平面和平面垂直的方法 利用定义证明 只需判定两平面所成的二面角为直二面角即可 利用线面垂直的判定定理 此种方法要注意平面内的两条直线必须相交 2 面面垂直的性质应用技巧 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 这是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 两个相交平面同时垂直于第三个平面 那么它们的交线也垂直于第三个平面 活学活用 2 如图所示 已知矩形ABCD中 AB 10 BC 6 将矩形沿对角线BD把 ABD折起 使A移到A1点 且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上 1 求证 BC A1D 2 求证 平面A1BC 平面A1BD 证明 1 A1在平面BCD上的射影O在CD上 A1O 平面BCD 又BC 平面BCD BC A1O 又BC CO A1O CO O BC 平面A1CD 又A1D 平面A1CD BC A1D 2 ABCD为矩形 A1D A1B 由 1 知A1D BC A1B BC B A1D 平面A1BC 又A1D 平面A1BD 平面A1BC 平面A1BD 理 考向探寻 1 与平行 垂直有关的综合问题 2 与垂直 平行有关的折叠 探索性问题 3 求二面角的大小 典例剖析 1 求证 AA1 BC 2 求AA1的长 3 求二面角A BC A1的余弦值 解答此题可按以下思路进行 1 先证CB DD1 BC AD 进而证得BC 平面AD1A1D 从而可得结论 2 延长A1D1到G 使GD1 AD 可求得AG及A1G 再利用勾股定理求解 3 作出二面角的平面角 用通过解三角形求解 1 证明 如图 取BC B1C1的中点分别为D和D1 连接A1D1 DD1 AD A1D AD1 由条件可知 BC AD B1C1 A1D1 由上可得AD 平面BB1C1C A1D1 平面BB1C1C 由此得AD A1D1 即AD A1D1确定平面AD1A1D 又因为DD1 BB1 BB1 BC 所以DD1 BC 又AD BC AD DD1 D 所以BC 平面AD1A1D 又AA1 平面AD1A1D 故BC AA1 2 解 延长A1D1到G点 使GD1 AD 连接AG 则AD GD1 所以四边形AGD1D为平行四边形 所以AG DD1 又DD1 BB1 所以AG BB1 由于BB1 平面A1B1C1 所以AG 平面A1B1C1 又A1G 平面A1B1C1 所以AG A1G 由条件可知 A1G A1D1 D1G 3 AG 4 所以AA1 5 活学活用 3 三棱锥P ABC中 PC AC BC两两垂直 BC PC 1 AC 2 E F G分别是AB AC AP的中点 1 求证 平面GFE 平面PCB 2 求二面角B AP C的正切值 1 证明 因为E F G分别是AB AC AP的中点 所以EF BC GF CP 因为EF GF 平面PCB 所以EF 平面PCB GF 平面PCB 又EF GF F 所以平面GFE 平面PCB 文 考向探寻 1 与垂直 平行有关的综合问题 2 与平行 垂直有关的折叠 探索性问题 3 求直线与平面所成角的大小 典例剖析 解答此题可按以下思路进行 1 先证C1B1 平面A1D1DA 再利用线面平行的性质证EF A1D1 证明BA1 B1C1 BA1 B1F即可 2 作出直线与平面所成的角 通过解三角形求解 因为BB1 平面A1B1C1D1 所以BB1 B1C1 又因为B1C1 B1A1 所以B1C1 平面ABB1A1 所以B1C1 BA1 在矩形ABB1A1中 F是AA1的中点 tan A1B1F tan AA1B 即 A1B1F AA1B 故BA1 B1F 所以BA1 平面B1C1EF 1 求线面角的方法根据线面角的定义作出直线与平面所成的角 然后通过解三角形的方法求出该角 其具体步骤是 作 证 求 2 解决垂直的综合问题时要注意三种垂直相互转化 具体为 活学活用 3 AB为圆O的直径 点E F在圆上 AB EF 矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直 已知AB 2 EF 1 1 求证 BF 平面DAF 2 求BF与平面ABCD所成的角 3 若AC与BD相交于点M 求证 ME 平面DAF 1 证明 AB为圆O的直径 BF AF 又 平面ABCD 圆O面 且平面ABCD 圆O面 AB DA AB DA 圆面O BF 圆面O DA BF DA AF A 所以BF 平面ADF 1 EF 平面ABC 证明 因为AB 平面BCD CD 平面BCD 所以AB CD 又 BCD中 BCD 90 所以BC CD 因为AB BC B 所以CD 平面ABC 2分 1 证明 取AD的中点G 连PG BG BD PAD为等边三角形 PG AD 2分又 平面PAD 平面ABCD PG 平面ABCD 在 ABD中 DAB 60 AD AB ABD为等边三角形 BG AD 5分又PG BG G AD 平面PBG PB 平面PBG AD PB 7分 2 连CG DE 设CG与DE相交于点H 在 PG