高中数学 3.3.2 基本不等式与最大（小）值同步课件 北师大版必修5.ppt

1 进一步掌握基本不等式 会应用此不等式求某些函数的最值 能够解决一些简单的实际问题 重点 2 利用基本不等式求最大值 最小值 难点 3 基本不等式求最值的使用条件 易错点 易混点 两个正数的积为定值 它们的和一定能在两个数相等时取得最小值吗 提示 不一定 应用基本不等式求最值时还要看等号能否取到 如 sinx与 x 0 两个都是正数 乘积为定值 但是由0 sinx 1知sinx 2 所以不能在两数相等时取得最小值 利用基本不等式求最值应注意的问题 1 代数式中 各项必须都是正数 例如函数式x 当x 0时 不能错误地认为x 2成立 并由此得出x 的最小值是2 事实上 当x 0时 x 的最大值是 2 2 代数式中 含变量的各项的和或积必须是常数 3 只有当各项相等时 才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值 利用基本不等式求函数的最值1 基本不等式求最值的条件 1 各数 或式 均为正 2 和为定值或积为定值 3 等号能成立 即 一正 二定 三相等 这三个条件缺一不可 2 利用基本不等式求最值应注意的问题 1 若题目条件中无明显 定值 常用的技巧有 拆项 添项 常值代换 等方法 使其和为定值或积为定值 2 若等号取不到 可利用求函数最值的其他方法 如单调性法 数形结合法 换元法 判别式法等 解题过程中一定要注意 等号 成立的条件 例1 1 已知x 求y 1 4x 的最小值 2 已知0 x 求x 4 3x 的最大值 审题指导 1 利用添项法把1 4x变为5 4x 使其能利用基本不等式 2 通过变形使其和为定值 规范解答 1 x0 y 5 4x 4 2 4 2 当且仅当5 4x 即x 1时 x 舍 上述不等式等号成立 当x 1时 y有最小值 2 2 已知0 x 0 3x 4 x 4 3x 3x 4 3x 当且仅当3x 4 3x 即x 时 成立 当x 时 x 4 3x 的最大值为 变式训练 1 当x 1时 求y 3x 1的最小值 2 设0 x 2 求函数y 的最大值 解题提示 1 函数化为y 3 x 1 4即可 2 可利用及3x 8 3x 8 和 为定值这一条件求解 解析 1 由x 1得x 1 0 则y 3x 1 3 x 1 4 4 当且仅当3 x 1 即x 时 取等号 当x 时 y 3x 1的最小值是 2 02 0 y 当且仅当3x 8 3x 即x 时取等号 当x 时 y 的最大值是4 利用基本不等式求条件最值利用基本不等式求条件最值的方法 1 配凑法 根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件 2 函数法 把已知条件代入所求的式子 再把所求的问题转化为求函数的最值问题 3 构造法 通过不等式的放缩将所给等量关系变为不等式 利用配凑法时 主要是根据条件把式子配成 和为定值 或 积为定值 的形式 例2 已知x 0 y 0 且 求x y的最小值 审题指导 本题中已知 需求x y的最小值 可借助 1 的特性求解 把x y转化为 x y 求解即可 规范解答 x y x y x 0 y 0 当且仅当 即y 3x时 取等号 又 x 4 y 12 当x 4 y 12时 x y取得最小值16 互动探究 若把本例中的条件改为 其他条件不变 求x y的最小值 解析 x y x y 1 x y 2 8 x 0 y 0 x y 10 18 当且仅当时等号成立 即y2 4x2 y 2x 又 x 6 y 12 当x 6 y 12时 x y有最小值18 例 已知x 0 y 0 且3x 4y 12 求lgx lgy的最大值及此时x y的值 审题指导 本题中已知3x 4y 12 要求lgx lgy的最大值及对应的x y的值 即求xy的最大值及取最大值时 对应的x y的值 可借助基本不等式结合3x 4y 12求解 规范解答 x 0 y 0 3x 4y 12 xy 3x 4y lgx lgy lgxy lg3 由解得 当x 2 y 时 lgx lgy取得最大值lg3 变式备选 已知x y r 且满足 则xy的最大值为 解析 x 0 y 0且1 xy 3 当且仅当时取等号 答案 3 利用基本不等式解应用题1 在应用基本不等式解决实际问题时 要注意以下四点 1 设变量时一般把要求最值的变量定为函数 2 建立相应的函数关系式 确定函数的定义域 3 在定义域内 求出函数的最值 4 回到实际问题中去 写出实际问题的答案 2 利用基本不等式解决实际问题的关键是使用变量表示求解目标 可以建立一个变量的函数关系 也可以建立满足一定条件的二元函数关系 解决实际问题时一定要注意自变量的取值范围 例3 如图 某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室 在温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道 沿前侧内墙保留3米宽的空地 当矩形温室的长宽各为多少时 蔬菜的种植面积最大 最大种植面积是多少 审题指导 本题可用未知量表示温室的一边长 把种植面积表示为自变量的函数 利用基本不等式求解 规范解答 设矩形的一边长为x米 则另一边长为米 则种植蔬菜的区域一边长为 x 4 米 另一边长为 米 由得4 x 400 其面积为s x 4 2 808 2x 808 2 648当且仅当2x 即x 40 4 400 时等号成立 答 当矩形温室的长宽分别为40米 20米时 蔬菜的种植面积最大 为648平方米 变式训练 2011 盐城模拟 如图 互相垂直的两条公路am an旁有一矩形花园abcd 现欲将其扩建成一个更大的三角形花园apq 要求p在射线am上 q在射线an上 且pq过点c 其中ab 30米 ad 20米 记三角形花园apq的面积为s 1 当dq的长度是多少时 s最小 并求出s的最小值 2 要使s不小于1600平方米 则dq的长应在什么范围内 解题提示 设dq为x 根据 qdc和 qap相似 用x表示aq和ap 再利用基本不等式求最值 解析 1 设dq x x 0 则aq x 20 ap 则s ap aq 15 x 40 1200 当且仅当x 20时取等号 2 s 1600 3x2 200 x 1200 0 0 x 或x 60答 1 当dq的长度是20米时 s最小 且s的最小值为1200 2 要使s不小于1600平方米 则dq的取值范围是0 dq 或dq 60 典例 12分 求函数f x 4x x 0 的最值 审题指导 本题主要考查利用基本不等式求函数的最值 解题时要注意基本不等式成立的条件 规范解答 x0 由基本不等式得 f x 4x 3分 4x 12 所以 f x 12 8分当且仅当 4x 即x 时 f x 4x 取得最大值 12 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 求函数y 1 2x x 0 的最值 解析 x 0 y 1 2x 1 2x 1 当且仅当x 时取等号 故y有最小值1 1 设x y为正实数且x 4y 40 则xy的最大值为 a 200 b 100 c 10 d 400 解析 选b 40 x 4y 10 即 100 当且仅当x 4y 20 即x 20 y 5时 等号成立 2 已知x 1 则f x 有 a 最大值2 b 最小值 2 c 最大值 4 d 最小值4 解析 选d f x x 1 4 当且仅当x 1 即x 3时等号成立 3 已知t 0 则函数y 取得最小值时t的值为 解析 y