高考数学 22圆内接四边形的性质与判定定理课件 新人教A版选修41.ppt

第2课时圆内接四边形的性质与判定定理 课标要求 1 理解圆内接四边形的两条性质定理 能应用定理解决相关的几何问题 2 理解圆内接四边形判定定理及推论 能应用定理及推论解决相关的几何问题 核心扫描 1 用圆内接四边形的判定定理判断四点共圆 重点 2 用圆内接四边形的性质定理解决相关问题 难点 自学导引1 圆内接多边形 1 如果多边形的所有顶点都在一个圆上 那么这个多边形叫做圆内接多边形 这个圆叫做多边形的外接圆 2 同样 如果四边形的四个顶点都在同一个圆上 则称该四边形为圆内接四边形 这个圆叫做四边形的外接圆 2 圆内接四边形的两个性质定理 1 定理1 圆的内接四边形的 2 定理2 圆内接四边形的外角等于 对角互补 它的内角的对角 3 圆内接四边形的判定定理 1 圆内接四边形的判定定理如果一个四边形的 那么这个四边形的四个顶点共圆 2 圆内接四边形的判定定理的推论如果四边形的一个外角等于 那么这个四边形的四个顶点共圆 对角互补 它的内角的对角 3 判断四点共圆的常用方法 如果四个点与一定点的距离相等 那么这四个点共圆 如果一个四边形的一组对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 如果一个四边形的一个外角等于它的内对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 如果两个三角形有公共边 公共边所对的角相等且在公共边的同侧 那么这两个三角形的四个顶点共圆 试一试 判断下列各命题是否正确 1 任意三角形都有一个外接圆 但可能不止一个 2 矩形有唯一的外接圆 3 菱形有外接圆 4 正多边形有外接圆 提示 1 错误 任意三角形有唯一的外接圆 2 正确 因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等 3 错误 只有当菱形是正方形时才有外接圆 4 正确 因为正多边形的中心到各顶点的距离相等 名师点睛1 1 要注意圆内接四边形的四个内角都是圆周角这一特点 利用圆周角定理 把圆周角与相应的圆心角联系起来 从而得出圆内接四边形性质定理1 然后在性质定理1的基础上 推出了性质定理2 2 圆内接四边形的性质定理为证明角的相等或互补提供了理论依据 因而也为论证角边关系提供了一种新方法 2 掌握圆的内接四边形需注意的问题 1 在圆内接四边形的判定定理的证明中 利用了穷举法 所谓的 穷举法 就是当问题的结论存在多种情形时 通过对每一种情况分别论证 最后获证结论的方法 在每一种情形的证明中都用到了反证法 要注意这些方法的应用 2 圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况 它们的关系可以用集合形式表示 圆内接四边形 圆内接多边形 3 掌握一些常见的结论 例如 正多边形一定存在外接圆 三角形一定存在外接圆 并且三角形的外接圆的圆心 即外心 是三条边的垂直平分线的交点 圆内接梯形一定是等腰梯形等 4 要注意圆内接四边形的性质定理和判定定理的综合应用 题型一用圆内接四边形的性质定理解决与线段长度有关的问题 例1 在 o中 ac ab e是弦bc延长线上的一点 ae交 o于点d 求证 ac2 ad ae 反思感悟要证明等积式 因比例式是等积式的一种特殊形式 故可转化为比例式 只需找到包含ac ad ae的两个三角形来证明 而要证三角形相似 可借助圆内接四边形的性质 得出对应的角相等 变式1 如图所示 ad是 abc外角 eac的角平分线 ad与三角形的外接圆 o交于点d 求证 db dc 证明 ad是 abc的外角 eac的平分线 又 ead bcd cad bcd cd bd dc bd 题型二利用圆内接四边形的性质定理求角 例2 如图所示 已知四边形abcd内接于圆 延长ab和dc相交于e eg平分 bec 且与bc ad分别相交于f g 求证 cfg dgf 思维启迪 已知四边形abcd内接于圆 自然想到圆内接四边形的性质定理 即 bce bad 又eg平分 bec 故 cfe age 下面易证 cfg dgf 证明因为四边形abcd是圆内接四边形 所以 ecf eag 又因为eg平分 bec 即 cef aeg 所以 efc ega 所以 efc ega 而 egd 180 ega cfg 180 efc 所以 cfg dgf 反思感悟利用圆内接四边形的性质定理求角 1 观察图形 找出圆内接四边形的对角或外角与其内对角 2 利用圆内接四边形的性质定理1或性质定理2求出所要求的角 3 当题目中出现圆内接四边形时 首先利用性质定理 再结合其他条件进行推理证明 变式2 如图所示 在圆内接四边形abcd中 ac平分bd 且ac bd bad 72 求四边形其余的各角 解 四边形abcd是圆内接四边形 bad bcd 180 又 bad 72 bcd 108 又 ac平分bd 并且ac bd ac是四边形abcd外接圆的直径 abc adc 90 题型三利用圆内接四边形的判定定理证明四点共圆问题 例3 如图所示 在 abc中 ad db df ab交ac于f ae ec eg ac交ab于g 求证 1 d e f g四点共圆 2 g b c f四点共圆 思维启迪 1 要证d e f g四点共圆 只需找到过这四点的外接圆的圆心 证明圆心到四点的距离相等 可取gf的中点h 证点h即为圆心 2 要证g b c f四点共圆 只需证 b afg 或 c agf 由d e为中点 可知de bc b ade 故只需证 ade afg 由d e f g四点共圆可得 证明 1 如图 连接gf 取gf的中点h df ab eg ac dgf egf都是直角三角形 又 点h是gf的中点 点h到d e f g的距离相等 点h是过d e f g的外接圆的圆心 d e f g四点共圆 2 连接de 由 1 知d g f e四点共圆 由四点共圆的性质定理的推论 得 ade afg ad db ae ec d是ab的中点 e是ac的中点 de bc ade b afg b g b c f四点共圆 反思感悟 1 判断四点共圆的步骤 观察几何图形 找到一定点 一对对角或一外角与其内对角 判断四点与这一定点的关系 判断四边形的一对对角的和是否为180 判断四边形一外角与其内对角是否相等 下结论 2 注意事项 在证明一个命题成立时 要根据命题中的条件和结论画出图形 并且写出已知和求证 变式3 已知四边形abcd为平行四边形 过点a和点b的圆与ad bc分别交于e f 求证 c d e f四点共圆 证明连接ef 因为四边形abcd为平行四边形 所以 b c 180 因为四边形abfe内接于圆 所以 b aef 180 所以 aef c 所以c d e f四点共圆 方法技巧综合运用圆内接四边形的性质定理与判定定理解决问题 示例1 已知cf是 abc的ab边上的高 fp bc fq ac 求证 a b p q四点共圆 思维启迪 首先 连接pq 要证a b p q四点共圆 只要利用判定定理或推论即可 而由题目中的垂直条件易得q f p c四点共圆 再考虑利用圆内接四边形的性质 证明连接pq 在四边形qfpc中 因为pf bc fq ac 所以 fqa fpc 90 所以q f p c四点共圆 所以 qfc qpc 又因为cf ab 所以 qfc与 qfa互余 而 a与 qfa也互余 所以 a qfc 所以 a qpc 所以a b p q四点共圆 反思感悟熟练掌握圆内接四边形的判定定理及其推论 示例2 2011 辽宁高考 如图 a b c d四点在同一圆上 ad的延长线与bc的延长线交于e点 且ec ed 1 证明 cd ab 2 延长cd到f 延长dc到g 使得ef eg 证明 a b g f四点共圆 思维启迪 利用圆内接四边形的性质与判定定理证明 证明 1 因为ec ed 所以 edc ecd 因为a b c d四点在同一圆上 所以 edc e