高中数学 第1部分 第二章 2.4 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法二分法课件 新人教B版必修1 .ppt

2 4函数与方程 把握热点考向 应用创新演练 第二章函数 考点一 考点二 2 4 2求函数零点近似解的一种计算方法 二分法 理解教材新知 知识点一 知识点二 已知y f x 的图象 问题1 函数y f x 有几个零点 提示 三个 问题2 观察图象 在零点两侧函数值有何不同 提示 在x1 x3的两侧函数值异号 在x2的两侧函数值同号 变号零点与不变号零点如果函数y f x 在一个区间 a b 上的 并且在它的两个端点处的函数值异号 即 则这个函数在这个区间上至少有一个零点 即存在一点x0 a b 使f x0 0 如果函数图象通过零点时 则称这样的零点为变号零点 如果没有 则称这样的零点为不变号零点 图象不间断 f a f b 0 穿过x轴 穿过x轴 在一个风雨交加的夜里 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障 这是一条10km长的线路 如果沿着线路一小段一小段查找 困难很多 每查一点就要爬一次电线杆子 10km长 大约有200多根电线杆子 如图 问题1 维修线路的工人师傅怎样工作最合理 提示 首先从ab的中点c查 随带话机向两端测试 若发现ac正常 断定故障在bc段 再取bc的中点d 再测cd和bd 问题2 在有限次重复相同的步骤下 能否最快地查出故障 提示 能 1 二分法的原理我们把每次取区间的中点 将区间一分为二再经比较 按需要留下一个小区间的方法称为 它是通过不断地把函数的零点所在区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到近似值的方法 二分法 2 二分法的步骤第一步 在d内取一个闭区间 a0 b0 d 使f a0 与f b0 异号 即f a0 f b0 0 零点位于区间 a0 b0 中 继续实施上述步骤 直到区间 an bn 函数的零点总位于区间 an bn 上 当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时 这个相同的近似值就是函数y f x 的近似零点 计算终止 这时函数y f x 的近似零点满足给定的精确度 1 二分法就是通过不断逼近的办法 找到零点附近足够小的区间 根据所要求的精确度 用此区间的某个数值近似地表示零点 2 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用 对函数的不变号零点不适用 例1 下列函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中函数零点的是 思路点拨 解答本题可根据二分法的定义 判断是否具备用二分法求零点的条件 精解详析 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号 在b中 不满足f a f b 0 不能用二分法求零点 a c d中零点两侧函数值异号 故可采用二分法求零点 答案 b 一点通 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是 其图象在零点附近是连续不断的 且该零点为变号零点 因此 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用 对函数的不变号零点不适用 1 函数f x 的图象如图所示 函数f x 的变号零点个数为 a 0b 1c 4d 3解析 由图可知 图象与x轴有4个公共点 3个穿过x轴 共有4个零点 其中有3个变号零点 答案 d 例2 用二分法求函数f x x3 x 2的一个正实数零点 精确到0 1 思路点拨 解答本题可先确定函数的一个零点所在的大致区间 然后将区间不断一分为二使其零点的范围越来越小 直至所得区间两端点按精确度要求取得同一个值时 求解结束 精解详析 由f 1 20 可以确定区间 1 2 作为计算的初始区间 用二分法逐步计算 具体如表 由表中数据可知 区间 1 5 1 53125 的左 右端点精确到0 1所取的近似值都是1 5 所以1 5可作为所求函数的一个正实数零点的近似值 一点通 1 用二分法求函数的零点应遵循的原则 首先要选好计算的初始区间 这个区间既要包含所求的零点 又要使其长度尽量小 其次要根据给定的精确度 及时检验所得区间的端点值按照所给的精确度所取的近似值是否相同 以决定是停止还是继续计算 2 用二分法求函数的零点的近似值 可借助于计算器一步步求解即可 在计算时可借助表格或数轴清晰地描述逐步缩小零点所在的区间的过程 在区间两端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时 运算结束 2 用二分法研究函数f x x3 3x 1的零点时 第一次经计算f 0 0 可得其中一个零点x0 第二次应计算 以上横线应填的内容为 a 0 0 5 f 0 25 b 0 1 f 0 25 c 0 5 1 f 0 75 d 0 0 5 f 0 125 解析 因为f 0 0 故x0 0 0 5 依二分法 第二次应计算f 0 25 答案 a 3 用二分法求方程x2 8 0在区间 2 3 内的近似解 经过 次二分后精确度能达到0 1 解析 设f x x2 8 取 2 3 的中点x1 2 5 f 2 5 0 取 2 75 2 875 的中点x4 2 8125 f 2 8125 0 零点在 2 8125 2 84375 内 2 8125与2 84375精确到0 1均为2 8 x2 8 0在 2 3 内精确到0 1的近似解为2 8 从而可知 经过5次二分即可得x2 8 0精确到0 1的近似解 答案 5 1 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是 其图象在零点附近是连续不断的 且该零点为变号零点 因此 用二