高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用课件 湘教版.ppt

第二章函数 导数及其应用 2 1函数及其表示2 2函数的单调性与最值2 3函数的奇偶性与周期性2 4函数的图象2 5二次函数与幂函数2 6指数函数2 7对数函数2 8函数与方程2 9函数模型及其应用2 10变化率与导数 导数的计算2 11导数的应用 一 2 12导数的应用 二 2 13定积分与微积分基本定理 知识点 考纲下载 函数及其表示 1 了解构成函数的要素 了解映射的概念 2 在实际情景中 会根据不同的需要选择恰当的方法 如图象法 列表法 解析法 表示函数 3 了解简单的分段函数 并能简单的应用 函数的定义域与值域 1 会求一些简单的函数的定义域与值域 2 理解函数最大值 最小值及其几何意义 单调性 理解函数的单调性及其几何意义 奇偶性 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 指数与指数函数 1 了解指数函数模型的实际背景 2 理解有理数指数幂的含义 了解实数指数幂的意义 掌握幂的运算 3 理解指数函数的概念 理解指数函数的单调性与指数函数图象通过的特殊点 4 体会指数函数是一类重要的函数模型 对数与对数函数 1 理解对数的概念及其运算性质 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 了解对数在简化运算中的运用 2 理解对数函数的概念 理解对数函数的单调性 掌握对数函数图象通过的特殊点 3 体会对数函数是一类重要的函数模型 4 知道指数函数y ax与对数函数y logax互为反函数 a 0 且a 1 幂函数 函数与方程 1 了解幂函数的概念 2 结合函数y x y x2 y x3 y y 的图象 了解它们的变化情况 3 结合二次函数的图象 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 了解函数的零点与方程根的关系 4 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 函数的图象 会运用函数图象理解和研究函数的性质 函数的应用 1 了解指数函数 对数函数以及幂函数的增长特征 知道直线上升 指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含义 2 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 导数及导数的运算 1 了解导数概念的实际背景 理解导数的几何意义 2 能根据导数定义求函数y c y x y x2 y x3 y y 的导数 3 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 导数的应用 1 了解函数单调性与导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 会求给定区间上函数的最大值 最小值 3 会利用导数解决某些实际问题 定积分与微积分基本定理 1 了解定积分产生的实际背景 了解定积分的基本思想 了解定积分的概念 2 了解微积分基本定理的含义 2 1函数及其表示 1 函数与映射的概念 数集 集合 任意 数x 都有唯一确定 数f x 任意 元素x 都有唯 一确定 元素y f a b f a b 思考探究 1 映射与函数有什么区别 提示 函数是特殊的映射 二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合 可以不是数集 而函数中的两个集合必须是非空数集 2 函数的定义域 值域在函数y f x x a中 x叫做自变量 叫做函数的定义域 与x的值相对应的y值叫做函数值 叫做函数的值域 3 函数的构成要素为 和 由于值域是由定义域和对应关系决定的 所以 如果两个函数的相同 并且完全一致 我们就称这两个函数 x的取值范围a 函数值的集合 f x x a 定义域 对应关系 值域 定义域 对应关系 相等 思考探究 2 若两个函数的定义域与值域相同 是否为相等函数 提示 不一定 如函数y x与y x 1 其定义域与值域完全相同 但不是相等函数 再如y sinx与y cosx 其定义域都为r 值域都为 1 1 显然不是相等函数 因此判断两个函数是否相等 关键是看定义域和对应关系 4 函数的表示法 解析法 图象法 列表法 5 分段函数若函数在其定义域的不同子集上 因不同而分别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的是函数 对应关系 一个 2 2013 惠州三调 某学校开展研究性学习活动 一组同学获得了下面的一组实验数据 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律 其中最接近的一个是 a y 2x 2b y c y d y x2 1 解析 直线是均匀的 故选项a不是 指数函数y 是单调递减的 也不符合要求 对数函数y 的增长是缓慢的 也不符合要求 将表中数据代入选项d中 基本符合要求 答案 d 求函数的定义域 1 求函数定义域的步骤对于给出具体解析式的函数而言 函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x取值的集合 求解时一般是先寻找解析式中的限制条件 建立不等式 再解不等式求得函数定义域 当函数y f x 由实际问题给出时 注意自变量x的实际意义 2 求抽象函数的定义域 1 若已知函数f x 的定义域为 a b 其复合函数f g x 的定义域由不等式a g x b求出 2 若已知函数f g x 的定义域为 a b 则f x 的定义域为g x 在x a b 时的值域 求解下列各题 1 求函数y 的定义域 2 已知函数f x 的定义域是 a b 且 b a 0 求函数f x f x f x 的定义域 变式训练 1 1 求函数的定义域 2 已知f x 的定义域是 2 4 求f x2 3x 的定义域 求函数的解析式 函数解析式的求法 1 凑配法 由已知条件f g x f x 可将f x 改写成关于g x 的表达式 然后以x替代g x 便得f x 的解析式 2 待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 可用待定系数法 3 换元法 已知复合函数f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意新元的取值范围 4 方程思想 已知关于f x 与f 或f x 的表达式 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组 通过解方程组求出f x 变式训练 2 1 若f x 1 2x2 1 求f x 的表达式 2 若2f x f x x 1 求f x 的表达式 3 若函数f x f 2 1 又方程f x x有唯一解 求f x 的表达式 分段函数 对于分段函数给定自变量求函数值时 应根据自变量的范围 利用相应的解析式直接求解 若给定函数值求自变量 应根据函数每一段的解析式分别求解 但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内 1 2014 东北三校联考 定义在r上的函数f x 满足f x log2 4 x x 0 f x 1 f x 2 x 0 则f 3 的值为 a 1b 2c 1d 2 2 已知实数a 0 函数f x 2x a x 1 x 2a x 1 若f 1 a f 1 a 则a的值为 解析 1 依题意 3 0 得f 3 f 3 1 f 3 2 f 2 f 1 又2 0 所以f 2 f 2 1 f 2 2 f 1 f 0 所以f 3 f 1 f 0 f 1 f 0 又f 0 log2 4 0 2 所以f 3 f 0 2 2 当a 0时 1 a 1 1 a 1 此时f 1 a 2 1 a a 2 a f 1 a 1 a 2a 1 3a 由f 1 a f 1 a 得2 a 1 3a 解得a 不合题意 舍去 当a 0时 1 a 1 1 a 1 此时f 1 a 1 a 2a 1 a f 1 a 2 1 a a 2 3a 由f 1 a f 1 a 得 1 a 2 3a 解得a 综上可知 a的值为 答案 1 b 2 变式训练 3 2013 济南外国语学校质检 据气象中心观察和预测 发生于m地的沙尘暴一直向正南方向移动 其移动速度vkm h与时间th的函数图象如图所示 过线段oc上一点t t 0 作横轴的垂线l 梯形oabc在直线l左侧部分的面积即为th内沙尘暴所经过的路程skm 1 当t 4时 求s的值 2 将s随t变化的规律用数学关系式表示出来 3 若n城位于m地正南方向 且距m地650km 试判断这场沙尘暴是否会侵袭到n城 如果会 在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到n城 如果不会 请说明理由 解析 1 由图象可知 当t 4时 v 3 4 12 所以s 4 12 24 2 当0 t 10时 s t 3t 当10 t 20时 s 10 30 30 t 10 30t 150 当20 t 35时 s 10 30 10 30 t 20 30 t 20 2 t 20 t2 70t 550 1 若两个函数的对应关系一致 并且定义域相同 则两个函数为同一函数 2 函数有三种表示方法 列表法 图象法和解析法 三者之间是可以互相转化的 求函数解析式比较常见的方法有代入法 换元法 待定系数法和解函数方程等 特别要注意将实际问题化归为函数问题 通过设自变量 写出函数的解析式并明确定义域 还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法 针对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视 3 映射不一定是函数 而函数是特殊的映射 求映射作用下的象就是代换 代入法 而求映射作用下的原象就是解方程或解方程组 4 求用解析式y f x 表示的函数的定义域时 常有以下几种情况 1 若f x 是整式 则函数的定义域是实数集r 2 若f x 是分式 则函数的定义域是使分母不等于0的实数集 3 若f x 是二次根式 则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合 4 若f x 是由几个部分的数学式子构成的 则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 5 若f x 是由实际问题抽象出来的函数 则函数的定义域应符合实际问题 5 求实际问题的函数定义域时 除了使解析式有意义 还要考虑实际问题对函数自变量的制约 从近几年的高考试题看 本节内容在高考中始终占有一席之地 命题形式也呈多样性 通常会有一大一小题与之相关 或是利用选择题或填空题来考查函数的基础知识 如定义域 值域的求法 函数解析式的确定和函数图象的运用等 或是利用解答题在函数的载体之下考查函数方程 分类讨论 数形结合等知识与方法的综合运用能力 分段函数在考查中常被涉及到 2013 全国新课标 卷 已知函数f x x2 2x x 0 ln x 1 x 0 若 f x ax 则a的取值范围是 a 0 b 1 c 2 1 d 2 0 规范解答 分析条件一 f x x2 2x x 0 ln x 1 x 0 转化为二次函数与对数函数的图象问题 如图 1 分析条件二 f x ax 由f x 的图象得到 f x 的图象如图 2 分析图形 观察知要使y ax的图象总在y f x 的下方 则当a 0时 不合题意 当a 0时 符合题意 当a 0时 若x 0 f x x2 2x 0 所以 f x ax化简为x2 2x ax 即x2 a 2 x 所以a 2 x恒成立 所以a 2 综上 2 a 0 答案 d 阅后报告 1 问题中参数值影响变形时 往往要分类讨论 分类需有明确的标准 全面的考虑 2 求解过程中 求出的参数的值或范围并不一定符合题意 因此要检验结果是否符合要求 2 2013 全国大纲卷 已知函数f x 的定义域为 1 0 则函数f 2x 1 的定义域为 a 1 1 b 1 12c 1 0 d 12 1 解析 对于f 2x 1 1 2x 1 0 解得 1 x 即函数f 2x 1 的定义域为 1 答案 b 3 2014 江西卷 将连续正整数1 2 n n n 从小到大排列构成一个数123 n f n 为这个数的位数 如n 12时 此数为123456789101112 共有15个数字 f 12 15 现从这个数中随机取一个数字 p n 为恰好取到0的概率 1 求p 100 2 当n 2014时 求f n 的表达式 3 令g n 为这个数中数字0的个数 f n 为这个数中数字9的个数 h n f n g n s n h n 1 n 100 n n 求当n s时p n 的最大值 解析 1 当n 100时 这个数中总共有192个数字 其中数字0的个数为11 所以恰好取到0的概率为p 100 11192 2 f n n 1 n 9 2n 9 10 n 99 3n 108 100 n 999 4n 1107 1000 n 2014 3 当n b 1 b 9 b n g n 0 当n 10k b 1 k 9 0 b 9 k n b n 时 g n k 当n 100时 g n 11 即g n 0 1 n 9 k n 10k b 1 1 k 9 0 b 9 k n b n 11 n 100 同理有f n 0 1 n 8 k n 10k b 1 1 k 8 0 b 9 k n b n n 80 89 n 98 20 n 99 100 由h n f n g n 1 可知n 9 19 29 39 49 59 69 79 89 90 所以当n 100时 s 9 19 29 39 49 59 69 79 89 90 当n 9时 p 9 0 当n 90时 p 90 当n 10k 9 1 k 8 k n 时 p n 由y k20k 9关于k单调递增 故当n 10k 9 1 k 8 k n 时 p n 的最大值为p 89 又 所以当n s时 p n 的最大值为 课时作业 2 2函数的单调性与最值 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 f x1 f x2 f x1 f x2 2 单调性 单调区间的定义若函数f x 在区间d上是或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做f x 的单调区间 思考探究 1 单调区间与函数定义域有何关系 提示 单调区间是定义域的子区间 增函数 减函数 区间d 2 函数的最值 思考探究 2 最值与函数的值域有何关系 提示 函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素 任何一个函数 其值域必定存在 但其最值不一定存在 f x m f x0 m f x m f x0 m 1 下列函数中 在区间 0 上不是增函数的是 a y 2x 1b y 3x2 1c y d y x 解析 y 在 0 上为减函数 答案 c 2 若函数f x 4x2 mx 5在 2 上递增 在 2 上递减 则f 1 a 7b 1c 17d 25 解析 依题意 知函数图象的对称轴为x 2 即m 16 从而f x 4x2 16x 5 f 1 4 16 5 25 答案 d 3 2014 佛山月考 若函数y ax与y bx在 0 上都是减函数 则y ax2 bx在 0 上是 a 增函数b 减函数c 先增后减d 先减后增 解析 y ax与y 在 0 上都是减函数 a 0 b 0 y ax2 bx的对称轴方程x 0 y ax2 bx在 0 上为减函数 答案 b 4 已知f x 为r上的增函数 且满足f f 2 则x的取值区间是 解析 f x 为r上的增函数 2 得0 x 答案 0 5 函数f x 在 2 3 上的最小值为 最大值为 判断或证明函数的单调性 用定义证明函数单调性的一般步骤 1 取值 即设x1 x2是该区间内任意两个值 且x1 x2 2 作差 即f x2 f x1 或f x1 f x2 并通过通分 配方 因式分解等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 3 定号 根据给定的区间和x2 x1的符号 确定差f x2 f x1 或f x1 f x2 的符号 当符号不确定时 可以进行分类讨论 4 判断 根据定义得出结论 试讨论函数f x x 1 1 的单调性 其中a 0 解析 任取x1 x2 1 1 且x1 x2 则f x2 f x1 1 x1 x2 1 x1 1 x2 1 x1 x2 0 x12 1 0 x 1 0 x1x2 1 即 1 x1x2 1 x1x2 1 0 0 因此 当a 0时 f x2 f x1 0 即f x2 f x1 此时函数为减函数 当a 0时 f x2 f x1 0 即f x1 f x2 此时函数为增函数 函数的单调性有如下几个方面的基本应用 1 利用定义确定函数的单调区间 并同时确定单调性 2 利用函数的单调性求解函数不等式 3 在已知函数单调性的条件下求待定参数的取值范围 函数单调性的基本应用 已知函数f x a 1 且a 0 1 若a 0 试确定函数的单调区间 并指出相应的单调性 2 若f x 在区间 0 1 上是减函数 试求实数a的取值范围 即在区间上 函数y 是减函数 当01时 a 1 0 f x 在上单调递减 变式训练 2 已知函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 且当x 0时 f x 0 f 1 1 求证 f x 在r上是减函数 2 求f x 在 3 3 上的最大值和最小值 解析 1 证明 方法一因为函数f x 对于任意x y r总有f x f y f x y 所以令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x 在r上任取x1 x2 则x1 x2 0 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 又由x 0时 f x 0 而x1 x2 0 所以f x1 x2 0 即f x1 f x2 因此f x 在r上是减函数 方法二任取x1 x2 r且x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 又由x 0时 f x 0 而x1 x2 0 所以f x1 x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在r上为减函数 2 因为f x 在r上是减函数 所以f x 在 3 3 上也是减函数 所以f x 在 3 3 上的最大值和最小值分别为f 3 与f 3 而f 3 3f 1 2 f 3 f 3 2 所以f x 在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 函数的最值 值域 求下列函数的值域 1 y x 2 y x2 2x 3 x 1 4 3 y x 3 5 4 y x 1 解析 1 换元法 设 t t 0 则y t2 2 t t 2 当t 时 y有最小值 故所求函数的值域为 2 配方法 配方 得y x 1 2 4 因为x 1 4 结合图象知 所求函数的值域为 4 5 3 方法一由y 结合图象知 函数在 3 5 上是增函数 所以ymax ymin 故所求函数的值域是 方法二由y 得x 因为x 3 5 所以3 5 解得 y 即所求函数的值域是 4 基本不等式法 令t x 1 则x t 1 t 0 所以y t 0 因为t 2 当且仅当t 即x 1时 等号成立 故所求函数的值域为 2 变式训练 3 求下列函数的值域 1 f x 2 g x 3 y log3x logx3 1 解析 1 由1 x 0 x 3 0 解得 3 x 1 f x 的定义域是 3 1 y 0 y2 4 2 即y2 4 2 3 x 1 令t x x 1 2 4 3 x 1 x 3 1 由t 3 0 t 1 4 t 1 0 0 t x 4 从而y2 4 8 即y 2 函数f x 的值域是 2 2 g x x 3且x 4 x 3且x 4 g x 1且g x 6 函数g x 的值域是 6 6 1 1 3 函数的定义域为 x x 0且x 1 当x 1时 log3x 0 y log3x logx3 1 2 1 1 当0 x 1时 log3x 0 y log3x logx3 1 log3x logx3 2 1 3 所以函数的值域是 3 1 已知函数f x 1 2 1 2的定义域为 m n 且1 m n 2 1 讨论函数f x 的单调性 2 证明 对于任意的实数x1 x2 m n 不等式 f x1 f x2 1恒成立 解析 1 f x 1 2 1 2 2 2 2 令 t 则t 函数t 在 m 上单调递减 在 n 上单调递增 t 2 1 且f x 化为关于t的函数为g t t2 2t 2 t 1 2 1 t 2 1 由于1 m2 故g t 是定义域上的单调增函数 f x 与t 有相同的增减性 即f x 在 m 上单调递减 在 n 上单调递增 2 证明 当x m或x n时 f x 有最大值f x max 1 2 而当x 时 f x 有最小值f x min 2 1 2 1 m n 2 1 2 1 f x max f x min 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 1 4 5 1 即0 f x max f x min 1 从而对于任意x1 x2 m n 不等式 f x1 f x2 1恒成立 变式训练 4 2013 南京调研 已知函数f x 常数a 0 1 设m n 0 证明 函数f x 在 m n 上单调递增 2 设0 m n且f x 的定义域和值域都是 m n 求常数a的取值范围 解析 1 证明 任取x1 x2 m n 且x1 x2 则f x1 f x2 因为x1 x2 x1 x2 m n 所以x1x2 0 即f x1 f x2 故f x 在 m n 上单调递增 2 因为f x 在 m n 上单调递增 f x 的定义域 值域都是 m n f m m f n n 即m n是方程 x的两个不等的正根a2x2 2a2 a x 1 0有两个不等的正根 所以 2a2 a 2 4a2 0且 0a 即常数a的取值范围是 1 求函数的单调区间首先应注意函数的定义域 函数的增减区间都是其定义域的子集 其次掌握一次函数 二次函数等基本初等函数的单调区间 常用方法有 根据定义 利用图象和单调函数的性质 还可以利用导数的性质 2 复合函数的单调性对于复合函数y f g x 若t g x 在区间 a b 上是单调函数 且y f t 在区间 g a g b 或者 g b g a 上是单调函数 若t g x 与y f t 的单调性相同 同时为增或减 则y f g x 为增函数 若t g x 与y f t 的单调性相反 则y f g x 为减函数 简称为 同增异减 3 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减 单调区间要分开写 即使在两个区间上的单调性相同 也不能用并集表示 4 两函数f x g x 在x a b 上都是增 减 函数 则f x g x 也为增 减 函数 但f x g x 等的单调性与其正负有关 切不可盲目类比 从近两年的高考试题来看 函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度中等偏高 客观题主要考查函数的单调性 最值的灵活确定与简单应用 主观题在考查基本概念 重要方法的基础上 又注重考查函数方程 等价转化 数形结合 分类讨论的思想方法 2013 全国大纲卷 若函数f x x2 ax 在 是增函数 则a的取值范围是 a 1 0 b 1 c 0 3 d 3 d 规范解答 由条件知f x 2x a 0在 上恒成立 则a 2x在 上恒成立 函数y 2x在 上为减函数 ymax 2 3 a 3 故选d 答案 d 1 2014 福建卷 已知函数f x x2 1 x 0 cosx x 0 则下列结论正确的是 a f x 是偶函数b f x 是增函数c f x 是周期函数d f x 的值域为 1 d 解析 由函数f x 的解析式知 f 1 2 f 1 cos 1 cos1 f 1 f 1 则f x 不是偶函数 当x 0时 f x x2 1 则f x 在区间 0 上是增函数 且函数值f x 1 当x 0时 f x cosx 则f x 在区间 0 上不是单调函数 且函数值f x 1 1 函数f x 不是单调函数 也不是周期函数 其值域为 1 答案 d a 4 2014 四川卷 以a表示值域为r的函数组成的集合 b表示具有如下性质的函数 x 组成的集合 对于函数 x 存在一个正数m 使得函数 x 的值域包含于区间 m m 例如 当 1 x x3 2 x sinx时 1 x a 2 x b 现有如下命题 设函数f x 的定义域为d 则 f x a 的充要条件是 b r a d f a b 函数f x b的充要条件是f x 有最大值和最小值 若函数f x g x 的定义域相同 且f x a g x b 则f x g x b 若函数f x aln x 2 x 2 a r 有最大值 则f x b 其中的真命题有 写出所有真命题的序号 解析 若f x a 则f x 的值域为r 于是 对任意的b r 一定存在a d 使得f a b 故 正确 取函数f x x 1 x 1 其值域为 1 1 于是 存在m 1 使得f x 的值域包含于 m m 1 1 但此时f x 没有最大值和最小值 故 错误 当f x a时 由 可知 对任意的b r 存在a d 使得f a b 所以 当g x b时 对于函数f x g x 如果存在一个正数m 使得f x g x 的值域包含于 m m 那么对于该区间外的某一个b0 r 一定存在一个a0 d 使得f a0 b g a0 即f a0 g a0 b0 m m 故 正确 对于f x aln x 2 x 2 当a 0或a 0时 函数f x 都没有最大值 要使得函数f x 有最大值 只有a 0 此时f x x 2 易知f x 所以存在正数m 使得f x m m 故 正确 答案 课时作业 2 3函数的奇偶性与周期性 1 函数的奇偶性 f x f x y轴 原点 f x f x 思考探究 奇函数 偶函数的定义域具有什么特点 它是函数具有奇偶性的什么条件 提示 定义域关于原点对称 必要不充分条件 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x t 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 存在一个最小 f x 1 2013 郑州模拟 已知函数f x 1 2 x x 0 2x 1 x 0 则该函数是 a 偶函数 且单调递增b 偶函数 且单调递减c 奇函数 且单调递增d 奇函数 且单调递减 c 解析 当x 0时 x0 f x f x 1 2x 2x 1 0 易知f 0 0 因此 对任意x r 均有f x f x 0 即函数f x 是奇函数 当x 0时 函数f x 是增函数 因此函数f x 单调递增 选c 答案 c 2 2014 武汉一模 已知定义在r上的奇函数f x 和偶函数g x 满足f x g x ax a x 2 a 0且a 1 若g 2 a 则f 2 a 2b c d a2 b 解析 1 g x 为偶函数 f x 为奇函数 g 2 g 2 a f 2 f 2 f 2 g 2 a2 a 2 2 f 2 g 2 f 2 g 2 a 2 a2 2 联立 解得g 2 2 a f 2 a2 a 2 22 2 2 答案 b 4 函数f x 是周期为4的偶函数 当x 0 2 时 f x x 1 则不等式xf x 0在 1 3 上的解集为 解析 f x 的图象如图 当x 1 0 时 由xf x 0 得x 1 0 当x 0 1 时 由xf x 0 得x 当x 1 3 时 由xf x 0 得x 1 3 x 1 0 1 3 答案 1 0 1 3 5 设函数f x x ex ae x x r 是偶函数 则实数a的值为 解析 因为f x 是偶函数 所以恒有f x f x 即 x e x aex x ex ae x 化简得x e x ex a 1 0 因为上式对任意实数x都成立 所以a 1 答案 1 函数奇偶性的判定 1 函数奇偶性的分类任一函数必属于其中一类 是奇函数而非偶函数 是偶函数而非奇函数 既是奇函数又是偶函数 既非奇函数又非偶函数 2 用定义判断 或证明 函数的奇偶性的一般步骤 1 验证是否关于原点对称 若不关于原点对称 则为非奇非偶函数 2 证明f x f x 是否成立 若f x f x 则f x 为偶函数 若f x f x 则f x 为奇函数 函数的奇偶性与单调性的综合应用 1 利用函数的奇偶性可以在已知函数的部分解析式的条件下 求出该函数完整的解析式 2 求解抽象函数不等式时 一般需要利用函数的单调性来帮助 脱 去函数符号 f 此时常利用奇偶性处理函数前的正负号 3 奇函数在对称的单调区间上具有相同的单调性 而偶函数在对称的单调区间上具有相反的单调性 解析 1 由f x y f x f y 得f 1 0 f 1 f 0 f 0 0 f x x f x f x 0 此即对任意实数x有f x f x 成立 故知f x 是奇函数 设x1和x2是任意两个实数 且x10使得x2 x1 x f x2 f x1 x f x1 f x 由 x 0 f x 0 f x2 f x1 f x f x1 即当x1f x1 成立 f x 为r上的增函数 函数的周期性 求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法 形如y asin x 的函数 用公式计算 递推法 若f x 2 f x 则f x 4 f x 2 2 f x 2 f x 周期t 4 换元法 若f x 2 f x 2 令x 2 t x t 2 f t f t 4 周期t 4 设f x 是定义在r上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 2 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 3 计算f 0 f 1 f 2 f 2016 解析 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 2 x 2 4 x 4 2 4 x 0 2 f 4 x 2 4 x 4 x 2 x2 6x 8 又f 4 x f x f x f x x2 6x 8 即f x x2 6x 8 x 2 4 3 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又f x 是周期为4的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2012 f 2013 f 2014 f 2015 0 f 0 f 1 f 2 f 2016 f 0 0 变式训练 3 已知函数f x 是定义在 上的偶函数 且当x 0时 都有f x 2 f x 若当x 0 2 时 f x log2 x 1 求 1 f 2014 f 2015 的值 2 f x 在区间 2k 2 2k k z 上的解析式 解析 1 f x 是定义在 上的偶函数 f 2014 f 2014 又对于x 0 都有f x 2 f x f 2014 f 2015 f 2014 f 2015 f 0 f 1 log21 log22 1 2 由已知x 2k k z 时 总有f 2k 0 设x 2 0 由 x 0 2 f x log2 x 1 又函数是偶函数 x 2 0 f x log2 1 x 由对称性易知当x 0时 总有f x 2 f x 成立 设2k 2 x 2k k 0 则 2 x 2k 0 f x 2k log2 1 x 2k 即f x log2 1 x 2k 设2k 2 x 2k k 1 则0 x 2k 2 2 f x 2k 2 log2 x 2k 2 1 log2 x 2k 3 即f x log2 x 2k 3 综上可知f x log2 1 x 2k 2k 2 x 2k k 0 0 x 2k k z log2 x 2k 3 2k 2 x 2k k 1 1 正确理解奇函数和偶函数的定义 必须把握好两个问题 1 定义域在数轴上关于原点对称是函数f x 为奇函数或偶函数的必要非充分条件 2 f x f x 或f x f x 是定义域上的恒等式 2 奇偶函数的性质 1 奇函数的图象关于原点成中心对称图形 偶函数的图象关于y轴成轴对称图形 反之亦真 因此 也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性 2 奇函数与奇函数的和差确定的函数还是奇函数 偶函数与偶函数的和差确定的函数还是偶函数 3 奇函数与奇函数的积确定的函数是偶函数 偶函数与偶函数的积确定的函数是偶函数 奇函数与偶函数的积确定的函数是奇函数 4 函数y f x 当x 0时有意义 则f 0 0为y f x 是奇函数的必要条件 因此判断函数的奇偶性 一般有三种方法 定义法 图象法 性质法 3 周期常用结论f x a f x f x 的周期t 2a f x a 1f x f x 的周期t 2a f x a f x a f x 的周期t 2a 从近两年的高考试题分析 1 对函数奇偶性的考查 主要涉及函数奇偶性的判断 利用奇偶函数图象的特点解决相关问题 利用函数奇偶性求函数值 根据函数奇偶性求参数值等 解答此类问题时 要先判断函数的定义域是否关于原点对称 再研究f x 与f x 的关系 2 对函数周期性的考查 主要涉及判断函数的周期 利用周期性求函数值 以及解决与周期有关的函数综合问题 充分利用题目提供的信息 迁移到有定义的范围上进行求值是解答此类问题的关键 3 由于导数知识的应用 本知识点近几年在高考中少见大题出现 应重点关注在选择题或填空题中出现的综合考查奇偶性 单调性和周期性的小题 2013 四川卷 已知f x 是定义域为r的偶函数 当x 0时 f x x2 4x 那么 不等式f x 2 5的解集是 规范解答 设x0 当x 0时 f x x2 4x f x x 2 4 x f x 是定义在r上的偶函数 f x f x f x x2 4x x 0 f x x2 4x x 0 x2 4x x 0 由f x 5得x2 4x 5 x 0 或x2 4x 5 x 0 x 5或x 5 观察图象可知由f x 5 得 5 x 5 由f x 2 5 得 5 x 2 5 7 x 3 不等式f x 2 5的解集是 x 7 x 3 答案 x 7 x 3 阅后报告 1 本题中 作函数f x 及y 5的图象 求出f x 5的x值 利用图象写出f x 5的解集 2 函数性质中应用数形结合思想的常见题目类型 已知函数的单调性和周期性 常画出函数的图象求解 已知函数的奇偶性和相应函数的对称性 常画出函数的图象求解 求函数的最值或值域时 常结合相应函数在待求区间上图象的最高点 最低点的纵坐标求解 1 2014 湖北卷 已知f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x2 3x 则函数g x f x x 3的零点的集合为 a 1 3 b 3 1 1 3 c 2 1 3 d 2 1 3 d 解析 设x0 所以f x f x x 2 3 x x2 3x 求函数g x f x x 3的零点等价于求方程f x 3 x的解 当x 0时 x2 3x 3 x 解得x1 3 x2 1 当x 0时 x2 3x 3 x 解得x3 2 故选d 答案 d 2 2014 全国大纲卷 奇函数f x 的定义域为r 若f x 2 为偶函数 且f 1 1 则f 8 f 9 a 2b 1c 0d 1 解析 因为f x 2 为偶函数 所以其对称轴为直线x 0 所以函数f x 的图象的对称轴为直线x 2 又因为函数f x 是奇函数 其定义域为r 所以f 0 0 所以f 8 f 4 f 4 f 0 0 故f 8 f 9 0 f 5 f 5 f 1 f 1 1 答案 d 3 2013 江苏卷 已知f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x2 4x 则不等式f x x的解集用区间表示为 解析 设x0 因为f x 是奇函数 所以f x f x x2 4x 又f 0 0 于是不等式f x x等价于x 0 或xx x2 4x x 解得x 5或 5 x 0 故不等式的解集为 5 0 5 答案 5 0 5 课时作业 2 4函数的图象 高中所要求的作函数图象的方法主要有如下两种1 描点作图法通常在已知函数图象的基本特征或欲探求函数的图象特征时使用 其一般步骤是 要注意准确计算点的坐标 合理运用函数的性质 结合图形的数量特征 以保证图形的准确性 列表 描点 连线 成图 2 图象变换法利用已知函数的全部或部分图象 通过一系列的变换得到新函数图象的方法称为图象变换法 通常有如下三类变换 1 平移变换a y f x 的图象向左平移a a 0 个单位得到函数的图象 b y f x b b 0 的图象可由y f x 的图象向平移b个单位得到 c y f x a a 0 的图象可由y f x 的图象向平移a个单位得到 d y f x b b 0 的图象可由y f x 的图象向平移b个单位得到 y f x a 右 上 下 2 对称变换 在f x 有意义的前提下 a y f x 与y f x 的图象对称 b y f x 与y f x 的图象对称 c y f x 与y f x 的图象对称 d 作y f x 的图象可将y f x 的图象在x轴下方的部分 其余部分不变 关于y轴 关于x轴 关于原点 翻折到x轴上方 e 作y f x 的图象可先作出y f x 当x 0时的图象 再利用偶函数的图象关于y轴对称 作出的图象 3 伸缩变换a y af x a 0 的图象 可将y f x 的图象上所有点的变为原来的a倍 横坐标不变而得到 b y f ax a 0 的图象 可将y f x 的图象上所有点的变为原来的倍 不变而得到 y f x x 0 纵坐标 横坐标 纵坐标 1 函数y 5x与函数y 的图象关于 a x轴对称b y轴对称c 原点对称d 直线y x对称 解析 y 5 x 可将函数y 5x中的x y分别换成 x y得到 故两者图象关于原点对称 答案 c 2 已知图 中的图象对应的函数为y f x 则图 中的图象对应的函数为 a y f x b y f x c y f x d y f x c 解析 y f x f x x 0 f x x 0 答案 c 4 已知函数f x 2 x m x2 4x 2 x m的图象与直线y x恰有三个公共点 则实数m的取值范围是 解析 令x2 4x 2 x 解得x 1或x 2 所以三个解必须为 1 2和2 所以有 1 m 2 答案 1 2 识图 有如下三类识图问题 一是给定图象认识函数 二是给定函数认识图象 三是给定图象认识图象 对于给定函数的图象 要能从图象的左右 上下分布范围 变化趋势 对称性等方面来获取图中所提供的信息 解决这类问题的常用方法有 1 定性分析法 也就是通过对问题进行定性的分析 从而得出图象的上升 或下降 的趋势 利用这一特征来分析解决问题 2 定量计算法 也就是通过定量的计算来分析解决问题 3 函数模型法 也就是由所提供的图象特征 联想相关函数模型 利用这一函数模型来分析解决问题 函数y 2x x2的图象大致是 a 解析 由于2x x2 0在x 0时有一解 在x 0时有两解 分别为x 2和x 4 因此函数y 2x x2有三个零点 故应排除b c 又当x 时 2x 0 而x2 故y 2x x2 因此排除d 故选a 答案 a d 作图 1 画函数图象通常有列表 描点 连线三个步骤 用描点法作图在选点时通常选特殊点 如最值点 图象与x轴的交点等 有时要考虑利用函数的性质 如单调性 奇偶性 周期性等 以便于简便准确的画出函数的图象 2 可利用基本初等函数的图象进行变换作图 已知函数y f x 的图象如图所示 写出它的解析式 并作出函数y f x y f x 和y f x 1 1的图象 变式训练 2 分别画出下列函数的图象 1 y lgx 2 y 2x 2 3 y x2 2 x 1 4 y 解析 1 y lgx x 1 lgx 0 x 1 图象如图 2 将y 2x的图象向左平移2个单位 图象如图 3 y x2 2x 1 x 0 x2 2x 1 x 0 图象如图 4 因y 1 先作出y 的图象 将其图象向右平移1个单位 再向上平移1个单位 即得y 的图象 如图 用图 函数的图象是函数关系的一种直观表示形式 它从 图形 方面刻画了函数的变化规律 通过观察函数的图象 可以形象地揭示函数的有关性质 充分利用函数的图象 既有助于记忆函数的性质和变化规律 又能利用数形结合的方法去解决某些问题 1 当0 x 时 4x logax 则a的取值范围是 a 0 b 1 c 1 d 2 2 已知函数y f x 的周期为2 当x 1 1 时f x x2 那么函数y f x 的图象与函数y lgx 的图象的交点共有 a 10个b 9个c 8个d 1个 3 直线y 1与曲线y x2 x a有四个交点 则a的取值范围是 解析 1 方法一 04x 1 0f 即loga 2 a 1 方法二 04x 1 0 a 1 排除答案c d 取a x 则有 2 1 显然4x logax不成立 排除答案a 故选b 2 观察图象可知 共有10个交点 3 y x2 x a x 0 x2 x a x 0 作出图象 如图所示 此曲线与y轴交于 0 a 点 最小值为a 要使y 1与其有四个交点 只需a 1 a 1 a 答案 1 b 2 a 3 1 a 方法三解方程由g x m 得x2 mx e2 0 此方程有大于零的根 故 0 m2 4e2 0 等价于m 0 m 2e或m 2e 故m 2e 1 对于函数的图象应注意的问题函数图象是对函数关系的一种直观 形象的表示 是体现数形结合思想的基础 应解决好以下几个方面的问题 1 作图 应注意在定义域内依据函数的性质选取关键的一部分点 2 识图 在观察 分析图象时 要注意图象的分布及变化趋势 具有的性质 解析式与图象关系 3 用图 函数的图象形象地显示了函数的性质 充分利用图象提供的信息 探求解题的途径 进而可确定问题的结果 4 平移变换影响的仅是函数解析式中的常数项 伸缩变换影响的是x或y的系数 对称变换影响的是符号的变化 5 左右平移时 发生变化的仅是x本身 如果x的系数不是1时 需要把系数提出来 再进行变换 上下平移时 发生变化的仅是y本身 如果y的系数不是1 需要把系数提出来 再进行变换 6 左右伸缩或上下伸缩时 发生变化的仅是x或y本身 也要注意系数不是1时的情况 2 图象的应用 1 对基本初等函数或由它们通过简单变换所得到的函数 可画草图研究其性质 如 单调区间 区间最值 画图 截取 观察 2 构造函数 数形结合研究方程根的分布或根的个数问题 研究某些代数式 有明显几何意义 的最值 f x g x 的根是y f x 与y g x 图象交点的横坐标 f x g x 的解集从两函数图象上也能直观反映出来 使y f x 在y g x 图象上方的x的集合 交点坐标要通过解方程来求得 从近两年的高考试题来看 图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质 方程 不等式的解是高考的热点 多以选择题 填空题的形式出现 属中低档题 主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想 2013 山东卷 函数y xcosx sinx的图象大致为 d 规范解答 函数y xcosx sinx在x 时为负 排除a 易知函数为奇函数 图象关于原点对称 排除b 再比较c d 不难发现当x取接近于0的正数时y 0 排除c 答案 d 阅后报告 函数图象始终是高考命题的一个热点 要求能 由式定形 或 看形定式 解题时 常常从形与数的相互吻合度方面去分析 一般地需要考虑的有 特殊点的位置 数值的正负 图形的上升与下降等诸多因素 解析 因为当x 0时 f x x a2 x 2a2 3a2 所以当0 x a2时 f x a2 x 2a2 x 3a2 x 当a2 x 2a2时 f x x a2 2a2 x 3a2 a2 当x 2a2时 f x x a2 x 2a2 3a2 x 3a2