高中数学 第二章 推理与证明章末归纳总结课件 新人教A版选修12.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 选修1 11 2 推理与证明 第二章 章末归纳总结 第二章 1 归纳推理和类比推理都是合情推理 归纳推理是由特殊到一般 由部分到整体的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 二者都能由已知推测未知 都能用于猜测 得出新规律 但推理的结论其正确性有待于去证明 2 演绎推理与合情推理不同 演绎推理是由一般到特殊的推理 是数学证明中的基本推理形式 只要前提正确 推理形式正确 得到的结论就正确 3 合情推理与演绎推理既有联系 又有区别 它们相辅相成 前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法 后者为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据 1 进行类比推理时 可以从 问题的外在结构特征 图形的性质或维数 处理一类问题的方法 事物的相似性质等入手进行类比 要尽量从本质上去类比 不要被表面现象迷惑 否则 只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比 就会犯机械类比的错误 2 进行归纳推理时 要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式 以便于作出归纳猜想 3 推理证明过程叙述要完整 严谨 逻辑关系清晰 不跳步 4 注意区分演绎推理和合情推理 当前提为真时 前者结论一定为真 后者结论可能为真 合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证 合情推理中运用猜想时要有依据 5 用反证法证明数学命题时 必须把反设作为推理依据 书写证明过程时 一定要注意不能把 假设 误写为 设 还要注意一些常见用语的否定形式 6 分析法的过程仅需要寻求某结论成立的充分条件即可 而不是充要条件 分析法是逆推证明 故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性 一般地 用分析法书写解题步骤的基本格式是 要证 只需证 只需证 显然成立 所以 成立 1 合情推理与演绎推理合情推理分为归纳推理和类比推理 是基本的分析和解决问题的方法 合情推理是合乎情理的推理 通过归纳 猜测发现结论 为解决问题提供了思路和方向 归纳推理和类比推理的特点与区别 类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的 归纳推理是由特殊到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 演绎推理是数学证明中的基本推理形式 三段论 是演绎推理的一般模式 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 归纳推理 他们研究过图1中的1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似的 称图2中的1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 a 289b 1024c 1225d 1378 答案 c 类比推理 答案 a b c a b a c 1 证明函数f x x2 2x在 1 上是增函数 2 当x 5 2 时 f x 是增函数还是减函数 分析 1 证明本题的大前提是增函数的定义 即增函数f x 满足 在给定区间内任取自变量的两个值x1 x2且x1 x2 f x1 f x2 小前提是函数f x x2 2x x 1 结论满足增函数定义 2 关键是看 5 2 与f x 的增区间或减区间的关系 演绎推理 证明 1 方法一 任取x1 x2 1 x10 f x 0在x 1 上恒成立 故f x 在 1 上是增函数 2 f x 在 1 上是增函数 而 5 2 是区间 1 的子区间 f x 在 5 2 上是增函数 点评 三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是 若集合m的所有元素都具有性质p s是m的子集 那么s的所有元素都具有性质p 三段论推理中包含三个判断 第一个判断叫大前提 第二个判断叫小前提 它指出了一个特殊情况 这两个判断联合起来 揭示了一般原理和特殊情况的内在联系 从而产生了第三个判断 结论 2 直接证明综合法与分析法是证明命题的两种最基本 最常用的直接证明方法 综合法常用于由已知推论较易找到思路时 分析法常用于条件复杂 思考方向不明确且用综合法较难证明时 单纯应用分析法证明并不多见 常常是用分析法寻找思路 用综合法表述过程 因为综合法宜于表达 条理清晰 在实际应用中 经常要把综合法与分析法结合起来使用 本考点在高考中每年都要涉及 主要以考查直接证明中的综合法为主 求证 当一个圆和一个正方形的周长相等时 圆的面积比正方形的面积大 分析法证明不等式 已知a b 0 求证 a b2 c2 b c2 a2 4abc 证明 因为b2 c2 2bc a 0 所以a b2 c2 2abc 又因为c2 a2 2ac b 0 所以b c2 a2 2abc 所以a b2 c2 b c2 a2 4abc 综合法证明不等式 3 用反证法证题反证法是间接证明的一种基本方法 它不去直接证明结论 而是先否定结论 在否定结论的基础上 运用正确的推理 导出矛盾 从而肯定结论的真实性 在证明一些否定性命题 唯一性命题或含有 至多 至少 等字样的命题时 正面证明往往较难 此时可考虑反证法 即 正难则反 已知f x x2 px q 1 求证 f 1 f 3 2f 2 2 反证法 答案 c 解析 上述推理过程中 第一步 第三步是错误的 忽视了不等式性质成立的条件 答案 b 答案 b 4 若p是两条异面直线l m外的任意一点 则 a 过点p有且仅有一条直线与l m都平行b 过点p有且仅有一条直线与l m都垂直c 过点p有且仅有一条直线与l m都相交d 过点p有且仅有一条直线与l m都异面 答案 b 解析 对于a 若存在直线n 使n l且n m 则有l m 与l m异面矛盾 对于c 过点p与l m都相交的直线不一定存在 反例如图 l 对于d 过点p与l m都异面的直线不唯一 解析 该题通过观察前几个特殊式子的特点 通过归纳推理得出一般规律 写出结果即可 6 如图 已知命题 若矩形abcd的对角线bd与边ab和bc所成的角分别为 则cos2 cos2 1 则在长方体abcd a1b1c1d1中 可写出类似的命题 答案 长方体abcd a1b1c1d1中 若对角线bd1与棱ab bb1 bc所成的角分别为 则cos2 cos2 cos2 1或sin2 sin2 sin2 2 或 长方体abcd a1b1c1d1中 若对角线bd1与平面abcd abb1a1 bcc1b1所成的角分别为 则cos2 cos2 cos2 2或sin2 sin2 sin2 1 7 设f x x ex a e x x r 是偶函数 则实数a 答案 1 解析 本题考查函数的奇偶性 演绎推理等知识 由条件知 g x ex a e x为奇函数 故g 0 0 解得a 1 三 解答题8 设f n n2 n 41 n n 计算f 1 f 2 f 3 f 10 的值 同时作出归纳推理 并用n 40验证猜想是否正确 解析 f 1 12 1 41 43 f 2 22 2 41 47 f 3 32 3 41 53 f 4 42 4 41 61 f 5 52 5 41 71 f 6 62 6 41 83 f 7 72 7 41 97 f 8 82 8 41 113 f 9 92 9 41 131 f 10 102 10 41 151 由于43 47 53 61 71 83 97 113 131 151都为质数 于是猜想当n取任何非负整数时f n n2 n 41的值为质数 因为当n 40时 f 40 402 40 41 41 41 所以f 40 为合数 因此 上面由归纳推理得到的猜想不正确 9 数列 an 的前n项和sn满足sn 2an 3n n n 1 求 an 的通项公式 2 数列 an 中是否存在三项 它们按原顺序可以构成等差数列 若存在 求出一组适合条件的项 若不存在 请说明理由 2