高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1.ppt

第三章函数的应用 3 1函数与方程3 1 1方程的根与函数的零点 1 理解函数零点的概念 以及了解函数的零点与方程根的关系 易混点 2 会求函数的零点 重点 3 掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数 难点 1 函数的零点对于函数y f x 把使 的实数 叫做函数y f x 的零点 2 函数的零点与方程的根的联系函数y f x 的零点就是方程f x 0的 也就是函数y f x 的图象与x轴交点的 f x 0 x 实数根 横坐标 3 函数零点存在性定理如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 f a f b 0 f c 0 1 想一想 1 函数的 零点 是一个 点 吗 提示 函数的零点是一个实数而非一个点 是函数图象与x轴交点的横坐标 当自变量取该值时 其函数值等于0 2 是不是所有函数都有零点 3 如果函数y f x 在 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 则y f x 在 a b 内一定没有零点吗 提示 不一定 如y f x x2在 1 1 上 虽有f 1 f 1 1 0 但其有零点x 0 答案 1 3 2 1 1 对函数零点概念的认识 1 函数的零点的本质是方程f x 0的实数根 因此 函数的零点不是点 而是一个实数 当函数的自变量取这个实数时 函数值为零 2 函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的 若方程没有实数根 则函数没有零点 反映在图象上就是函数图象与x轴无交点 如函数y 3 y x2 1就没有零点 3 方程有几个解 则其对应的函数就有几个零点 如果方程有二重实数根 可以称函数有二重零点 若函数y f x 有零点 则零点一定在其定义域内 2 当函数y f x 的图象在闭区间 a b 上是连续曲线 但是不满足f a f b 0时 函数y f x 在区间 a b 内可能存在零点 也可能不存在零点 3 当函数y f x 同时满足 函数的图象在闭区间 a b 上是连续曲线 f a f b 0 则可以判断函数y f x 在区间 a b 内至少有一个零点 但是不能明确说明有几个零点 4 函数在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 且在区间 a b 上单调 若f a f b 0 则函数y f x 在区间 a b 内有且只有一个零点 函数零点及求法 1 函数的零点是一个实数 当自变量取该值时 其函数值等于零 2 根据函数零点定义可知 函数f x 的零点就是f x 0的根 因此判断一个函数是否有零点 有几个零点 就是判断方程f x 0是否有实根 有几个实根 即函数y f x 的零点 方程f x 0的实根 函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 3 函数零点的求法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 2 几何法 与函数y f x 的图象联系起来 图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 判断函数零点所在的区间 答案 1 b 2 c 1 确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点 方程的根所在的区间时 通常利用零点存在性定理 转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反 2 判断函数零点所在区间的三个步骤 1 代 将区间端点代入函数求出函数的值 2 判 把所得函数值相乘 并进行符号判断 3 结 若符号为正且函数在该区间内是单调函数 则在该区间内无零点 若符号为负且函数连续 则在该区间内至少有一个零点 答案 c 答案 c 判断函数f x 2x lg x 1 2的零点个数 判断函数零点的个数 解 方法一 f 0 1 0 2 10 f x 在 0 2 上必定存在零点 又f x 2x lg x 1 2在 0 上为增函数 故f x 有且只有一个零点 方法二 在同一坐标系下作出h x 2 2x和g x lg x 1 的草图 由图象知g x lg x 1 的图象和h x 2 2x的图象有且只有一个交点 即f x 2x lg x 1 2有且只有一个零点 互动探究 将本例中函数解析式改为f x x 3 lnx呢 解 方法一 令f x x 3 lnx 0 则lnx 3 x 在同一平面直角坐标系内画出函数y lnx与y x 3的图象 如图所示 判断函数零点个数的方法判断函数零点的个数主要有以下几种方法 法一 直接求出函数的零点进行判断 法二 结合函数图象进行判断 法三 借助函数的单调性进行判断 若函数f x 在区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 且在区间 a b 上单调 满足f a f b 0 则函数f x 在区间 a b 上有且仅有一个零点 如图所示 思维创新系列 四 二次函数的零点分布问题关于x的方程ax2 2 a 1 x a 1 0 求a为何值时 1 方程有一正一负根 2 方程两根都大于1 解 令f x ax2 2 a 1 x a 1 1 方程有一正一负根时 f x 对应的图象只有如图 1 2 两种情况 2 方程两根都大于1时 f x 对应的图象只有如图 3 4 两种情况 借题发挥 解决有关二次方程根的分布问题应注意以下几点 1 构造相应的二次函数 转化为函数零点所在区间问题 2 结合函数的大致图象考虑四个方面 与0的大小 对称轴与所给端点值的关系 端点的函数值与零的关系 开口方向 3 写出由题意得到的不等式 4 由得到的不等式去验证图象是否符合题意 这类问题充分体现了函数与方程的思想 也体现了方程的根就是函数的零点 在写不等式时要注意条件的完备性 5 几类常见二次方程根的分布情况需满足的条件 只讨论a 0的情况 a 0时可变形为a 0的情况 见下表 多维探究1 本例已知条件不变 求a为何值时 1 方程有唯一实根 2 方程一根大于1 一根小于1 多维探究2 已知关于x的