高考数学大一轮复习 13.3数学归纳法课件 理 苏教版.ppt

数学苏 理 13 3数学归纳法 第十三章推理与证明 算法 复数 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取 n0 n 时结论成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时结论成立 证明当时结论也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 第一个值n0 n k 1 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 归纳假设可以不用 4 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 5 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 6 用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时 n0 3 1 a a2 解析 例1求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 题型一用数学归纳法证明等式 思维点拨 解析 思维升华 n从k变到k 1 左边增乘了2 2k 1 例1求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 题型一用数学归纳法证明等式 思维点拨 解析 思维升华 证明 当n 1时 等式左边 2 右边 2 故等式成立 假设当n k时等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 例1求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 题型一用数学归纳法证明等式 那么当n k 1时 思维点拨 解析 思维升华 左边 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2k 1 3 5 2k 1 2k 1 2 2k 1 1 3 5 2k 1 2k 1 例1求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 题型一用数学归纳法证明等式 思维点拨 解析 思维升华 这就是说当n k 1时等式也成立 由 可知 对所有n n 等式成立 例1求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 题型一用数学归纳法证明等式 思维点拨 解析 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 1 明确初始值n0的取值并验证n n0时等式成立 2 由n k证明n k 1时 弄清左边增加的项 且明确变形目标 3 掌握恒等变形常用的方法 因式分解 添拆项 配方法 例1求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 题型一用数学归纳法证明等式 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练1 左边 右边 等式成立 假设n k时 等式成立 左边 右边 等式成立 即对所有n n 原式都成立 题型二用数学归纳法证明不等式 解析 思维点拨 利用题中条件分别确定a的范围进而求a 题型二用数学归纳法证明不等式 解析 思维点拨 所以a2 1 题型二用数学归纳法证明不等式 解析 思维点拨 题型二用数学归纳法证明不等式 解得a 1 又因为a2 1 所以a 1 解析 思维点拨 思维点拨 解析 思维升华 利用数学归纳法证明 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 故n 2时 原不等式也成立 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 所以当n k 1时 原不等式也成立 思维点拨 解析 思维升华 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 思维点拨 解析 思维升华 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 在归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法等证明 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练2 2014 陕西 设函数f x ln 1 x g x xf x x 0 其中f x 是f x 的导函数 1 令g1 x g x gn 1 x g gn x n n 求gn x 的表达式 解由题设得 g x x 0 下面用数学归纳法证明 当n 1时 g1 x 结论成立 假设n k时结论成立 由 可知 结论对n n 成立 2 若f x ag x 恒成立 求实数a的取值范围 解已知f x ag x 恒成立 当a 1时 x 0 仅当x 0 a 1时等号成立 x 在 0 上单调递增 又 0 0 x 0在 0 上恒成立 a 1时 ln 1 x 恒成立 仅当x 0时等号成立 当a 1时 对x 0 a 1 有 x 0 x 在 0 a 1 上单调递减 a 1 0 0 即a 1时 存在x 0 使 x 0 3 设n n 比较g 1 g 2 g n 与n f n 的大小 并加以证明 在 2 中取a 1 可得ln 1 x x 0 下面用数学归纳法证明 当n 1时 ln2 结论成立 假设当n k时结论成立 由 可知 结论对n n 成立 例3已知数列 an 的前n项和sn满足 sn 1 且an 0 n n 1 求a1 a2 a3 并猜想 an 的通项公式 题型三归纳 猜想 证明 思维点拨 解析 思维升华 通过计算a1 a2 a3寻求规律猜想 an 的通项公式 然后用数学归纳法证明 例3已知数列 an 的前n项和sn满足 sn 1 且an 0 n n 1 求a1 a2 a3 并猜想 an 的通项公式 题型三归纳 猜想 证明 思维点拨 解析 思维升华 解当n 1时 a1 1 a1 0 例3已知数列 an 的前n项和sn满足 sn 1 且an 0 n n 1 求a1 a2 a3 并猜想 an 的通项公式 题型三归纳 猜想 证明 思维点拨 解析 思维升华 例3已知数列 an 的前n项和sn满足 sn 1 且an 0 n n 1 求a1 a2 a3 并猜想 an 的通项公式 题型三归纳 猜想 证明 思维点拨 解析 思维升华 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 例3已知数列 an 的前n项和sn满足 sn 1 且an 0 n n 1 求a1 a2 a3 并猜想 an 的通项公式 题型三归纳 猜想 证明 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 例3已知数列 an 的前n项和sn满足 sn 1 且an 0 n n 2 证明通项公式的正确性 通过计算a1 a2 a3寻求规律猜想 an 的通项公式 然后用数学归纳法证明 例3已知数列 an 的前n项和sn满足 sn 1 且an 0 n n 2 证明通项公式的正确性 思维点拨 解析 思维升华 证明 由 1 知 当n 1 2 3时 通项公式成立 假设当n k k 3 k n 时 通项公式成立 例3已知数列 an 的前n项和sn满足 sn 1 且an 0 n n 2 证明通项公式的正确性 思维点拨 解析 思维升华 即当n k 1时 通项公式也成立 例3已知数列 an 的前n项和sn满足 sn 1 且an 0 n n 2 证明通项公式的正确性 思维点拨 解析 思维升华 例3已知数列 an 的前n项和sn满足 sn 1 且an 0 n n 2 证明通项公式的正确性 思维点拨 解析 思维升华 归纳 猜想 证明 的基本步骤是 试验 归纳 猜想 证明 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题 例3已知数列 an 的前n项和sn满足 sn 1 且an 0 n n 2 证明通项公式的正确性 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练3在数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 2 2n n n 0 1 求a2 a3 a4 解a2 2 2 2 2 2 22 a3 2 22 3 2 22 2 3 23 a4 2 3 23 4 2 23 3 4 24 2 猜想 an 的通项公式 并加以证明 解由 1 可猜想数列通项公式为an n 1 n 2n 下面用数学归纳法证明 当n 1 2 3 4时 等式显然成立 假设当n k k 4 k n 时等式成立 即ak k 1 k 2k 那么当n k 1时 ak 1 ak k 1 2 2k k 1 k 2k k 1 2k 1 2k k 1 k 1 k 1 2k 1 k 1 1 k 1 2k 1 所以当n k 1时 an n 1 n 2n 猜想成立 由 知数列的通项公式为an n 1 n 2n n n 0 典例 14分 数列 an 满足sn 2n an n n 1 计算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式an 答题模板系列9归纳 猜想 证明问题 规范解答 思维点拨 温馨提醒 由s1 a1算出a1 由an sn sn 1算出a2 a3 a4 观察所得数值的特征猜出通项公式 规范解答 思维点拨 温馨提醒 解当n 1时 a1 s1 2 a1 a1 1 规范解答 思维点拨 温馨提醒 解决数学归纳法中 归纳 猜想 证明 问题及不等式证明时 还有以下几点容易造成失分 在备考时要高度关注 1 归纳整理不到位得不出正确结果 从而给猜想造成困难 2 证明n k到n k 1这一步时 忽略了假设条件去证明 造成使用的不是纯正的数学归纳法 3 不等式证明过程中 不能正确合理地运用分析法 综合法来求证 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧 只有这样 才能快速正确地解决问题 规范解答 思维点拨 温馨提醒 2 用数学归纳法证明 1 中的猜想 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 用数学归纳法证明 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 证明 当n 1时 a1 1 结论成立 那么n k 1时 ak 1 sk 1 sk 2 k 1 ak 1 2k ak 2 ak ak 1 2ak 1 2 ak 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 这表明n k 1时 结论成立 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 归纳 猜想 证明问题的一般步骤 第一步 计算数列前几项或特殊情况 观察规律猜测数列的通项或一般结论 第二步 验证一般结论对第一个值n0 n0 n 成立 第三步 假设n k k n0 时结论成立 证明当n k 1时结论也成立 第四步 下结论 由上可知结论对任意n n0 n n 成立 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 解决数学归纳法中 归纳 猜想 证明 问题及不等式证明时 还有以下几点容易造成失分 在备考时要高度关注 1 归纳整理不到位得不出正确结果 从而给猜想造成困难 2 证明n k到n k 1这一步时 忽略了假设条件去证明 造成使用的不是纯正的数学归纳法 3 不等式证明过程中 不能正确合理地运用分析法 综合法来求证 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧 只有这样 才能快速正确地解决问题 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 方法与技巧 1 数学归纳法的两个步骤相互依存 缺一不可有一无二 是不完全归纳法 结论不一定可靠 有二无一 第二步就失去了递推的基础 2 归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时 对于归纳假设要注意以下两点 1 归纳假设就是已知条件 2 在推证n k 1时 必须用上归纳假设 方法与技巧 3 利用归纳假设的技巧在推证n k 1时 可以通过凑 拆 配项等方法用上归纳假设 此时既要看准目标 又要掌握n k与n k 1之间的关系 在推证时 分析法 综合法 反证法等方法都可以应用 失误与防范 1 数学归纳法证题时初始值n0不一定是1 2 推证n k 1时一定要用上n k时的假设 否则不是数学归纳法 1 用数学归纳法证明2n 2n 1 n的第一个取值应是 解析 n 1时 21 2 2 1 1 3 2n 2n 1不成立 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 n 2时 22 4 2 2 1 5 2n 2n 1不成立 3 n 3时 23 8 2 3 1 7 2n 2n 1成立 n的第一个取值应是3 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 如果命题p n 对n k k n 成立 则它对n k 2也成立 若p n 对n 2也成立 则下列结论正确的是 p n 对所有正整数n都成立 p n 对所有正偶数n都成立 p n 对所有正奇数n都成立 p n 对所有自然数n都成立 解析n 2时 n k n k 2成立 n为2 4 6 所有正偶数 2 4 5 6 7 8 9 10 1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 1 3 解析在n k 1时 没有应用n k时的假设 不是数学归纳法 当n k 1时 不等式成立 则上述证法 过程全部正确 n 1验得不正确 归纳假设不正确 从n k到n k 1的推理不正确 2 3 5 6 7 8 9 10 1 4 1 a a2 2 3 4 6 7 8 9 10 1 5 解析从n到n2共有n2 n 1个数 所以f n 中共有n2 n 1项 n2 n 1 6 设数列 an 的前n项和为sn 且对任意的自然数n都有 sn 1 2 ansn 通过计算s1 s2 s3 猜想sn 2 3 4 5 7 8 9 10 1 6 2 3 4 5 6 8 9 10 1 7 2 3 4 5 6 7 9 10 1 8 8 设平面内有n条直线 n 3 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过同一点 若用f n 表示这n条直线交点的个数 则f 4 当n 4时 f n 用n表示 解析f 3 2 f 4 f 3 3 2 3 5 f n f 3 3 4 n 1 2 3 4 n 1 n 1 n 2 5 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 证明 1 当n 1时 左边 12 1 右边 1 0 1 原等式成立 2 假设n k时 等式成立 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 那么 当n k 1时 则有 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 n k 1时 等式也成立 10 已知数列 an an 0 a1 0 a an 1 1 a 求证 当n n 时 an an 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 证明 1 当n 1时 因为a2是方程a a2 1 0的正根 所以a1 a2 2 假设当n k时 0 ak ak 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 即当n k 1时 an an 1也成立 根据 1 和 2 可知an an 1对任何n n 都成立 2 3 4 5 1 1 设f x 是定义在正整数集