数学导航高考数学大一轮复习 第二章 15导数与函数的最值及在生活实际中的优化问题课件 文.ppt

导数与函数的最值及在生活实际中的优化问题 温馨提示 请点击相关栏目 整知识 萃取知识精华 整方法 启迪发散思维 考向分层突破一 考向分层突破二 考向分层突破三 考向分层突破四 1 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 3 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤为 求函数y f x 在 a b 内的极值 将函数y f x 的各极值与端点处的f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 得出函数f x 在 a b 上的最值 整知识 考点 分类整合 结束放映 返回导航页 2 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 结束放映 返回导航页 最值与极值的区别与联系 1 极值 是个局部概念 是一些较邻近的点之间的函数值大小的比较 具有相对性 最值 是个整体概念 是整个定义域上的最大值和最小值 具有绝对性 2 最值和极值都不一定存在 若存在 函数在其定义域上的最值是唯一的 而极值不一定唯一 3 极值只能在定义域内部取得 而最值还可能在区间端点处取得 4 极值有可能是最值 但最值只要不在区间端点处取得 其必定是极值 整方法 考点 分类整合 结束放映 返回导航页 例1 已知函数f x ax3 x2 bx a b为常数 g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值 最小值 解析 1 由已知 f x 3ax2 2x b 因此g x f x f x ax3 3a 1 x2 b 2 x b g x 为奇函数 g x g x 2 由 1 知g x x3 2x g x x2 2 令g x 0 解得x1 x2 当x 时 g x 单调递减 当x 时 g x 单调递增 又g 1 g g 2 g x 在区间 1 2 上的最大值为g 最小值为g 2 考向分层突破一 利用导数求解函数的最值 结束放映 返回导航页 同类练 设函数f x alnx bx2 x 0 若函数f x 在x 1处与直线y 相切 1 求实数a b的值 2 求函数f x 在上的最大值 结束放映 返回导航页 变式练 2 已知函数f x lnx ax a 0 求函数f x 在 1 2 上的最小值 综上可知 当0 a ln2时 函数f x 的最小值是 a 当a ln2时 函数f x 的最小值是ln2 2a 解析 f x a x 0 1 当 1 即a 1时 函数f x 在区间 1 2 上是减函数 所以f x 的最小值是f 2 ln2 2a 2 当 2 即0 a 时 函数f x 在区间 1 2 上是增函数 所以f x 的最小值是f 1 a 3 当1 2 即 a 1时 函数f x 在上是增函数 在上是减函数 又f 2 f 1 ln2 a 所以当 a ln2时 最小值是f 1 a 当ln2 a 1时 最小值为f 2 ln2 2a 结束放映 返回导航页 拓展练3 2014 江西卷 已知函数f x 4x2 4ax a2 其中a 0 1 当a 4时 求f x 的单调递增区间 2 若f x 在区间 1 4 上的最小值为8 求a的值 结束放映 返回导航页 结束放映 返回导航页 归纳升华 1 求解函数的最值时 要先求函数y f x 在 a b 内所有使f x 0的点 再计算函数y f x 在区间内所有使f x 0的点和区间端点处的函数值 最后比较即得 2 可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况 结束放映 返回导航页 例2 2013 重庆卷 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为v立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将v表示成r的函数v r 并求该函数的定义域 2 讨论函数v r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 考向分层突破二 利用导数研究生活中的优化问题 结束放映 返回导航页 解析 1 因为蓄水池侧面的总成本为100 2 rh 200 rh 元 底面的总成本为160 r2元 所以蓄水池的总成本为 200 rh 160 r2 元 又根据题意200 rh 160 r2 12000 所以h 300 4r2 从而v r r2h 300r 4r3 因为r 0 又由h 0可得r 5 故函数v r 的定义域为 0 5 2 因为v r 300r 4r3 所以v r 300 12r2 令v r 0 解得r1 5 r2 5 因为r2 5不在定义域内 舍去 当r 0 5 时 v r 0 故v r 在 0 5 上为增函数 当r 5 5 时 v r 0 故v r 在 5 5 上为减函数 由此可知 v r 在r 5处取得最大值 此时h 8 即当r 5 h 8时 该蓄水池的体积最大 结束放映 返回导航页 跟踪训练 某银行准备新设一种定期存款业务 经预测 存款量与存款利率的平方成正比 比例系数为k k 0 贷款的利率为4 8 且银行吸收的存款能全部放贷出去 试确定当存款利率定为多少时 银行可获取最大收益 解析 设存款利率为x 则应有x 0 0 048 依题意 存款量是kx2 银行应支付的利息是kx3 贷款的收益是0 048kx2 所以银行的收益是y 0 048kx2 kx3 由于y 0 096kx 3kx2 令y 0 得x 0 032或x 0 舍去 又当00 当0 032 x 0 048时 y 0 所以当x 0 032时 y取得最大值 即当存款利率定为3 2 时 银行可获得最大收益 结束放映 返回导航页 归纳升华 利用导数解决生活中的优化问题时 1 既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示 还要注意确定出函数关系式中自变量的定义区间 2 一定要注意求得结果的实际意义 不符合实际的值应舍去 3 如果目标函数在定义区间内只有一个极值点 那么根据实际意义该极值点就是最值点 结束放映 返回导航页 变式训练3 已知函数f x ex ax 1 设曲线y f x 在x 1处的切线与直线x e 1 y 1垂直 求a的值 2 若对于任意实数x 0 f x 0恒成立 试确定实数a的取值范围 解析 1 由题知 f x ex a 因此曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线l的斜率为e a 又直线x e 1 y 1的斜率为 1 a 1 考向分层突破三 利用导数研究恒成立问题 2 当x 0时 f x ex ax 0恒成立 若x 0 a为任意实数 f x ex ax 0恒成立 若x 0 f x ex ax 0恒成立 即当x 0时 a 恒成立 设q x q x 当x 0 1 时 q x 0 则q x 在 0 1 上单调递增 当x 1 时 q x 0恒成立 a的取值范围为 e 结束放映 返回导航页 又x 0 a xlnx x3 x 1 时 h x 0 h x 在 1 上单调递减 h x h 1 2 0 即g x 0 g x 在 1 上也单调递减 g x g 1 1 当a 1时 f x x2在 1 上恒成立 同类练1 已知函数f x lnx 若f x x2在 1 上恒成立 求a的取值范围 解析 f x x2 lnx x2 令g x xlnx x3 h x g x 1 lnx 3x2 h x 结束放映 返回导航页 解析 1 f x x 0 令f x 0 得x 1 因此函数f x 的单调递增区间是 1 令f x 0 得0 x 1 因此函数f x 的单调递减区间是 0 1 2 依题意 ma f x max 由 1 知 f x 在x 1 e 上是增函数 f x max f e lne 1 变式练2已知函数f x lnx 1 1 求函数f x 的单调区间 2 设m r 对任意的a 1 1 总存在x0 1 e 使得不等式ma f x0 0成立 求实数m的取值范围 ma 即ma 0对于任意的a 1 1 恒成立 m的取值范围是 结束放映 返回导航页 拓展练3 2014 广东惠州4月模拟 已知函数f x ax lnx a r 1 若a 2 求曲线y f x 在x 1处的切线方程 2 求f x 的单调区间 3 设g x x2 2x 2 若对任意x1 0 均存在x2 0 1 使得f x1 g x2 求a的取值范围 又切点为 1 2 所以切线方程为y 2 3 x 1 即3x y 1 0 故曲线y f x 在x 1处的切线方程为3x y 1 0 当a 0时 由于x 0 故ax 1 0 f x 0 所以f x 的单调增区间为 0 解析 1 由已知得f x 2 x 0 所以f 1 2 1 3 所以斜率k 3 2 f x a x 0 结束放映 返回导航页 3 由已知知所求可转化为f x max g x max g x x 1 2 1 x 0 1 所以g x max 2 由 2 知 当a 0时 f x 在 0 上单调递增 值域为r 故不符合题意 当a0 在区间上 f x 0 所以函数f x 的单调递增区间为 单调递减区间为 当a 1 ln a 解得a 结束放映 返回导航页 归纳升华 利用导数解决参数问题主要涉及以下方面 1 已知不等式在某一区间上恒成立 求参数的取值范围 一般先分离参数 再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解 2 已知函数的单调性求参数的取值范围 转化为f x 0 或f x 0 恒成立的问题 结束放映 返回导航页 例4 2014 全国卷 已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 2 证明 当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 考向分层突破四 利用导数研究方程的根 或函数的零点 解析 1 f x 3x2 6x a f 0 a 曲线y f x 在点 0 2 处的切线方程为y ax 2 2 证明 由 1 知 f x x3 3x2 x 2 设g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由题设知1 k 0 当x 0时 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 单调递增 g 1 k 1 0 g 0 4 所以g x 0在 0 有唯一实根 由题设得 2 所以a 1 当x 0时 令h x x3 3x2 4 则g x h x 1 k x h x h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 所以g x h x h 2 0 所以g x 0在 0 没有实根 综上 g x 0在r有唯一实根 即曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 结束放映 返回导航页 解析 f x 2 a x 1 2lnx 令m x 2 a x 1 x 0 h x 2lnx x 0 则f x m x h x 由 得a 2 4ln2 amin 2 4ln2 跟踪练 已知函数f x 2 a x 2 1 lnx a 若函数f x 在区间上无零点 求实数a的最小值 2 当a 2时 在上m