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第四章导数 第1讲 导数的意义及运算 1 函数导数的定义 2 导数的几何意义和物理意义 y f x0 f x0 x x0 1 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 也就是说 曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率是f x0 相应地 切线方程为 2 导数的物理意义 在物理学中 如果物体运动的规律是s s t 那么该物体在时刻t0的瞬时速度v 如果物体运动的速度随时间变化的规律是v v t 则该物体在时刻t0的瞬 时加速度为a v t0 s t0 3 几种常见函数的导数 cosx sinx ex axlna 4 运算法则 u v u v uv u v uv 0 nxn 1 f u x y x y u u x c 1 已知函数f x 4 2x2 则f x a 4 xb 8 xc 8 2xd 16 x a a d 4 曲线y 4x x3在点 1 3 处的切线方程是 a y 7x 4b y 7x 2c y x 4d y x 2 c 考点1 导数的概念 答案 b 互动探究 b a f x0 c f x0 b f x0 d f x0 考点2 导数的计算 例2 求下列函数的导数 1 y x 1 2x2 x 4 2 y exlnx 3 y 1 sinx 1 cosx 求函数的导数时 要准确地把函数分割为基本函数的和差积商 再利用运算法则求导数 对于不具备求导法则的结构形式要适当恒等变形 如第 1 题利用积的求导法则 也可以转化成y x 1 2x2 x 4 2x3 3x2 5x 4后再求导 第 2 题利用积的求导法则 第 3 题利用商的求导法则 互动探究 2 设f x xlnx 若f x0 2 则x0 b a e2 b e ln2c 2 d ln2 考点3 曲线的几何意义 互动探究 a 3 2011年江西 曲线y ex在点a 0 1 处的切线斜率为 a 1 b 2 c e d 1e 易错 易混 易漏 7 过点求切线方程应注意该点是否为切点 1 求曲线在x 2处的切线方程 2 求曲线过点 2 4 的切线方程 故所求的切线方程为x y 2 0或4x y 4 0 1 导数的几何意义是切线的斜率 物理意义是速度与加速度 代数意义就是瞬时增长率 瞬时变化率等 2 求导的具体步骤 1 求函数的改变量 y f x0 x f x0 3 取极限 得导数 3 过点求切线方程应注意该点是否为切点 特别提醒 求 在某点处的切线方程 时 该点为切点 求 过某点的切线方程 时 该点有可能是切点 也有可能不是切点 如例4 1 求函数的导数 尤其是对含有多个字母的函数 时 一定要清楚函数的自变量是什么 对谁求导 如f x x2 sin 自变量为x 而f x2 sin 自变量为 2 通过例4的学习 要彻底改变 切线与曲线有且只有一个公共点 直线与曲线只有一个公共点 则该直线就是切线
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