（理论物理专业论文）yangian对几何相位影响的研究.pdf

摘要 几何相的概念首先是由p a n c h a r a t n a m 在研究偏振光干涉时提出来的，b e r r y 在研究绝 热演化的量子体系时发现了b e r r y 绝热相。从此几何相理论日益引起了人们的重视。以后 人们对b e r r y 绝热相进行了推广得到了非循环非绝热的几何相。近来，几何相因子的研究 很快深入应用到物理学的各个方面，如分子动力学、线性响应理论、量子态波包恢复等。 几何相是量子力学的重要概念，甚至有着比几率幅更深刻的物理含义。深入研究几何相理 论有益于人们对量子力学更深层次的理解。 以量子杨巴克斯特方程为中心的有关理论，是比较系统的处理某些非线性模型的成功 理论。而y a n g i a n 理论是量子杨一巴克斯特方程理论的重要的发展和分支之一。它在描述物 理体系对称性和组成超出李代数范围的升降算符等方面由重要应用。 本论文的主要目的是探讨y a n g i a n 在几何相中的作用。首先研究了哈密顿形式为 h - - qs ：+ 国：s ，的几何相，讨论了这个系统几何相与纠缠度的关系。然后研究了含有 y a n g i a n 第三分量形式的哈密顿量的几何相，给出了一般的形式并与哈密顿量中含有s t s ， 的几何相进行了比较。讨论了y a n g i a n 对几何相的影响。 关键词：y a n g i a n ，几何相，b e r r y 相，纠缠度 a b s t r a c t t h ec o n c e p to f g e o m e t r i cp h a s e f i r s ti n t r o d u c e du yp a n c h a r a t n a mi nh i ss t u d yo fi n t e r f e r e n c e b e t w e e nl i g h tw a v e si nd i s t i n c ts t a t e so fp o l a r i z a t i o na n dr e d i s c o v e r e db yb e r r yf o r q u a n t a l s y s t e m su n d e r g o i n gc y c l i ca d i a b a t i ce v o l u t i o nh a sb e e nr e f i n e da n da p p l i e dd u r i n gt h ep a s ty e a r s a h a r e n o va n da n a n d a mr e m o v e dt h en e e do fa d i a b a t i ce x t e m a lp a r a m e t e r sa n dp o i n t e do u tt h a t t h eg e o m e t r i cp h a s ec o u l db ec o n s i d e r e dt h ea n h o l o n o m ya s s o c i a t e dw i t ht h ec u r v a t u r eo ft h e p r o j e c t i v eh i l b e r ts p a c e s a m u e le x t e n d e dt h eg e o m e t r i ct h eg e o m e t r i cp h a s et on o n c y c l i ca n d n o n u n i t a r ye v o l u t i o n s g e o m e t r i cp h a s ei na ni m p o r t a n tc o n c e p t i o ni nq u a n t u mm e c h a n i c s t h e d e e p l ys t u d ya b o u tg e o m e t r i cp h a s e w i l lh e l pp e o p l et ou n d e r s t a n dq u a n t u mm e c h a n i c s t h eq u a n t u my a n g b a x t e re q u a t i o ni so n es u c c e s s f u lt h e o r yw h i c hd e a l sw i t hn o l i n e a r q u e s t i o n t h et h e o r yo fy a n g i a ni s o n ei m p o r t a n td e v e l o p m e n to ft h et h e o r yo ft h eq u a n t u m y a n g b a x t e re q u a t i o n y a n g i a ni sm o s tu s e dt od e s c r i b es y m m e t r yt h ep h y s i c a ls y s t e m sa n ds o o n i nt h i sp a p e r , w em a i n l ys t u d yt h ei m p a c to fy a n g i a no ng e o m e t r i cp h a s e f i r s t l yw es t u d y t h eg e o m e t r i cp h a s eo f t h es y s t e mw i t hh a m i l t o n i a ni s h l 。国1 s l z + 6 9 2s2 z ，a n dw eg i v eg e n e r a lf o r m 。f t l l 。g 。t r i 。p h 。fh ：w l s ，：+ w ：s ：+ 五( r l 一s 2 ) a n d 也= w l ：+ w 2 s 2 ：+ g ( s 1 s 2 ) t h e d i f f e r e n c eb e t w e e nt h e mi ss t u d i e d k e yw o r d s ：y a n g i a n ，g e o m e t r i cp h a s e ，b e r r y sp h a s e ，e n t a n g l e m e n t i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东 北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：塑塑笪型日期：= 竺：! ：鉴 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的 规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：塑! 坠盟指导教师签名：i 盈一 日 期：2 旦$ ，西日期：2 塑生。2 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 第一章绪论 l 一1 引言 物理中存在着许多经典可积模型，目前常遇到的有十几种。人们长时间研究它们的孤子 解i l 。j 。但是，再复杂的具体经典解的发现也无助于力学系统的量子化。对于非线性问题的求 解，我们常可以在求解量子力学中的单体问题的基础上，使用微扰方法来求出修正部分，然 而，当相互作用比较强的时候，则要寻求问题的严格解。这不仅是求鳃的技术问题，更重要 的是严格解的性质和微扰论各阶叠加的结果常常有本质的不同，许多经典孤子解就提供了这 方面的例证。f d d e e v 学派在实现从经典到量子的研究方面做出了重要的贡献。而以y a n g b a x t e r 方程( 简称y b e ) 为中心的有关理论，是比较系统的处理某些非线性模型的成功理论，是解 决非线性问题理论发展的一个巨大飞跃，它的研究对象是多体系统。 q u a n t u my a n g 。b a x t e r 方程( 简称q y b e ) 的建立起源于两个方面的研究：一是一维量子 多体问题，二是统计力学中的二维精确可解问题。最早引入有实在物理意义的q v b e 的是杨 振宁，1 9 6 7 年他在处理具有6 一函数作用势的一维问题时，为保证多体散射的自治条件而引 k t q y b e 的原始形式 4 1 。1 9 7 2 年，澳大利亚学者r j b a x t e r 在研究统计力学中的二维精确模 型时，为了对角化他所定义的转移矩阵，从另一角度独立的得到了称之为t r i a n g l e - - s t a r 的关 系口 。当时这两种形式并未很好的结合起来。直到以l d f a d d e e v 为首的前苏联列宁格勒学派 进一步发展了量子逆散射方法【6 “】，发现杨振宁与r j b a x t e r 弓l 入的这类关系可以写成一般形 式，这对一大类低维量子可积模型有巨大的用途，定名为y a n g b a x t e r 方程。随着各方面研究 成果的积累，人们发现q y b e 普遍存在于量子可积问题中，并且起着核心作用。近三十年来， 有关q y b e 的研究取得了长足进展，作为处理一大类非线性量子可积模型的普遍理论，它己 成为理论物理研究中一个蓬勃发展的分支【9 。1 “。 在力学中，只要知道系统所有的运动积分，这个系统就是完全可积的。显然，完全可积 性给系统一种限制。最理想的情况是构造一个理论框架，从它出发，原则上可以进一步用物 理算符实现这些关系，从而可以将h a m i l t o n 量具体化。l d f a d d e e v 在统一杨振宁和r j b a x t e r 理论时，建立二次量子化逆散射方法理论并同时提出了r t t 关系。r 1 广r 关系就是我们所寻求 的理论框架。它是y b e 系统理论中的基本关系式，也是联系物理中模型的出发点。矗z 7 关 系的重要性是它不仅给出对易关系，还给出量子系统的守恒量，包括h a m i l t o n 量，因为它规 定了动力学，这正是物理性质的要点。q v b e 的解的重要意义在于确定了局域量子算符( 格点 上) 之间的交换关系，也决定了整体量子转移矩阵的交换关系。由r t t 关系出发，给定q y b e 的解矩阵r ( u ) 时，可以得到量子整体转移矩阵巧( 五) 的矩阵元之间的交换关系和h a m i l t o n 量， 之后，用具体的物理算符来实现这些关系，从而可以将h a m i l t o n 量具体化，因此，月玎关系 能够构造出h a m i l t o n 量，在更深的层次上建立了新型代数关系与h a m i l t o n 量守恒系统的联系， 此外，满足兄刀关系的系统一定是量子可积系统。 我们知道r z 丁关系规定了作为量子算符的乙( “) 代数关系，给定y b e 的一个解月( “) 矩阵 时，通过r 乃1 关系可以得到辅助空间中矩阵元乙( “) 之间的代数关系。如果取定r ( u ) 为u 的 多项式形式，则称为y b e 的有理解。对于有理解的情况，此时矩阵元乙( “) 所构成的代数并 不等同于李代数，它是由有限个生成元所决定的不封闭的无穷维代数。而“。1 与“ 2 阶的算符 间的对易关系是最基本的，只要满足这两阶所有的关系，那么所有高阶关系将由它们所决定， 这种代数称为y a n g i a n 。y a n g i a n 代数是比李代数更大的无穷维代数，李代数是y a n g i a n 代数 的子代数。它是由数学家v g d r i n f e l d 在1 9 8 5 年首先引入的，在y a n g 后面加j a n 是为了纪念 杨振宁教授在该研究领域的重大贡献。y a n g i a n 属于数学上霍普夫( h o p f ) 代数。 y a n g i a ”是由生成元。和以组成的集合，其中仉) 组成单李代数，它们遵从如下代数关 系： i j ，1 0 = c z a r l vv ，j # 1 = c 强v j ， ，。， ， 卜【，。，【，l ，】= ：a 舡嘶 l ，如，) 【， ，j 。】，【，j ， 】+ 【 j ，j ，1 ， j ，j f 】 = h - g ( “舢卿c 。，+ a 。卿。扣，) l ，i ，) 2 ( “舢卿c 。，+ w 卿。扣v ) a ，j 另外，还要满足下面的余乘法( c o p r o d u c t ) 定义： a ( i 2 ) ：l 。1 + 1 。la ( j 2 ) ：l 。l + 1 。厶+ ：c 枷，。 当。枷= 捃枷时，情况最为简单。 ( 1 1 ) ( 1 _ 2 ) ( 1 3 ) 对应与s ，( 2 ) 代数，y a n g i a n 物理实现的一个例子是自旋1 2 粒子对的系统，这时 1 = s 1 + s 2 j = i g l s l + 甜：瓦+ f 昙夏瓦 其第三分量= 甜。s 。：+ 甜：s ：一i h ( s ；j i s ? 丐) = l l l s i z 4 - b 1 2 s 2 z 1 - c k ( i 而) 这一嘻 y a n g i a n 以其具有超出李代数范围的一种无穷维代数的结构特点，给出有关物理中的量子 完全可积模型的对称性新的物理理解和理论结果，为研究非线性相互作用系统的新型对称性 提供了强有力的工具。如果体系的h a m i l t o n 量与y a n g i a n 的生成元对易，我们就说该体系具有 y a n g i a n 对称性。值得指出的是，杨巴克斯特系统保证了量子可积性质，但并不保证其 h a m i l t o n ；垦与y a n g i a n 对易，相反，如果h a m i l t o n i 与y a n g i a n 对易，也不一定是量子可积的。 这些性质依赖于具体的实现。以一维h u b b a r d 模型为例【。6 1 ，y a n g i a n 正是无穷长链h u b b a r d 模 型的对称性，并由此带来了新型简并度，正是3 的作用引起不同格点间自旋的耦合，y a n g i a n 的引入大大简化了这种新型对称性的描述。 除了描述物理体系的对称性之外，y a n g i a n 的另一个重要作用是它可以组成超出李代数范 围之外，在不同量子态z f 司l 拘升降算符。李代数算子只能在同一个权内变动，而y a n g i a n 却可 以以一种特定的方式将不同权之间的态联系起来，它正是量子力学中跃迁算子的推广。以h 原子为例【1 7 ，对于每个能量本征值，均有，呼对称性，对应着角动量的简并，由y a n g i a n 算子组成的角动量移动算子。将第1 1 个能级的角动量从f 跃迁到，+ 1 。最初由y a n g i a n 得到的 不同量子态之间的平移算子均是由不舍时间因子的算子所给出的，近年来，对于含时隋况下， y a n g i a n 的实现和随时间演化的平移算子的性质方面的研究也有很大进展，同时，也拓展了 y a n g i a n 在物理中的进一步应用。 另外，我们知道掌握了系统的全部对称性意味着可以得到能谱的重要信息，因此y a n g i a n 对称性还可以应用于能谱结构的研究。砌咖包含了极为丰富的物理内容，它早已存在于量 子力学之中，从量子力学的角度理解y a n g i a ”是最直观而有效的途径。 杨一巴克斯特方程包含了极为丰富的物理内容，近年来，越来越多的研究表明它是处理 一大类非线性量子可积模型的普遍理论，关于它的系统介绍请参阅 1 8 ，1 9 】。 相位是量子力学中的重要概念，它是所有干涉现象的根源，它和几率幅一样具有深刻的 物理意义。但是由于其物理含义较为晦涩难懂，所以在早期的量子力学的研究中，一般只重 视对于量子态几率幅的研究，而量子态的相位在很长时间内没有得到足够的重视，它是在量 子力学向着深层次的发展过程中逐渐被重视起来的，并且得到很快的发展和应用。近些年来， 随着对量子力学深层次的挖掘，量子的相位的研究是成为现代量子物理发展的重要方向之一。 几何相位的概念首先是p a n c h a r a t n a m 在1 9 5 6 年的论文中引入的，基于对偏振光的干涉 的研究，他提出了这样的问题，给出两束偏振光，是否有比较它们相位关系的自然方式，他 的回答是，让两束光干涉，如果合成的强度最大，则他们相位匹配( i np h a s e ) ，这实际上给 出了比较任意两束不正交偏振光的关系的一种方法( 比较相位的规则) ，不过，这个规则对于 比较正交的偏振光的相位就不适用了，它们不干涉且叠加强度对两束光的相位是不敏感的。 对于偏振光1 ，2 ，3 ，一般来说，如果1 和2 共相，2 和3 共相，那么1 和3 并不一定共相， 研究表明3 多出1 的相位是p o i n c a r e 球厦上由1 2 3 所围绕的立体角的1 2 ，后来的研究表明， 这个额外相位实际上是b e r r y 相的早期实例。 1 9 8 4 年，b e r r y 研究了量子态在循回绝热演化的系统中的变化规律时，得到一个非常深入 和有趣的结果1 2 ”。量子绝热定理告诉我们，如果体系起初处在一个含肘h a m i l t o n 的瞬时本征 态，且这个含时h a m i l t o n 随时间参数作缓慢变化，则这个瞬时本征态仍旧是系统的本征态。 而b e r r y 发现，如果h a m i l t o n ( 环境) 回到初始的值，则量子态也回到初始状态，但是除了获 得一个动力学相因子外，还有一个额外的相位，它和系统的具体变化过程有关，这个相位就 是著名的b e r r y 相位。随后，b s i m o n 给出了这个相位的几何解释口”，指出b e r r y 相因子具有几 何拓扑特征，它代表h e r m i t 线丛上的和乐( h o l o n o m y ) ，而绝热演化则自动定义了这个纤维丛 上的联络。从这个意义上说，b e r r y 相因子与规范结构有着密切的联系。b e r r y 相因子的存在不 久就被相应的光学实验以及核磁共振试验等所证实 1 9 8 7 年，a h a r o n o v 和a n a n d a n 将b e r r v 的发现的相位做了重要的推广“】，去除了对“绝 热”这个外部参数的依赖，得到了般情况的循回演化的相位，这个工作的关键在于，他们 区别出了对h a m i l t o n 量期望值的积分这个动力学相位，如果这个动力学相位被去除了( 一般 通过实现平行传输条件来去除) ，那么系统相位的演化仍旧可通过自然联络来决定，这样，这 个循回演化的相位就仍回到原来的b e r r y 相位。而又过不久，j s a m u e l 和rb h a n d a r i 基于 p a n c h a r a n a m 的早期工作又将此相位进一步推广到非循回以及非幺正的演化的体系中2 ”。他们 认为，如果体系初始状态为i 甲( o ) ) ，经过一段时间的演化，体系态矢量变为i 、王，( f ) ) ，i 、王，- ) ) 比 i 、壬，( o ) ) 多了一个总相位中，m ，= a 唱1 壬，( o ) | 甲0 ) ) ，总相位有两部分组成，动力学相中。和几何 相m a ，d 。2 一i d t ( 、主，o ) i 丢i 、壬，o ) ) ，巾。2 巾r 面。对于一个具体的= 态体系，几何相的绝 热近似极限应该给出b e r r y 相。文献上有时也称几何相中。为“非绝热的b e r r y 相”。最近，几何 相的研究深入到物理学的各个方面，在分子动力学，线性反映理论和波包再生理论等中得到广 泛应用 2 6 - 2 8 1 。 纠缠态是近年来在量子力学文献中经常出现的一个词汇，从历史讲，纠缠态概念最早在 著名的s c h o d i n g e r 猫态中0 9 】和“e p r 佯谬”两篇文献中提出来的。近年来在量子信息等 前沿研究中得到了广泛的应用。 纠缠态的共同点是它们状态相互纠缠不可分离，表现为纠缠双方各自状态均不确定，都依 赖于对方而定，反而言之，如果双方状态不互相影响，总的状态为双方的直积态，则就不存 在纠缠。纠缠度是表明纠缠程度的值。一般情况下，判断一个给定多体量子态是否为纠缠态， 以及怎样纠缠，是一个很复杂的问题。目前，纠缠度的定义有4 种： 1 ) 部分熵纠缠度( t h ep a r t i c a le n t r o p yo f e n t a n g l e m e n t ) 2 ) 相对熵纠缠度( t h er e l a t i v ee n t r o p yo f e n g l e m e n t ) 3 ) 形成纠缠度( e n t a n g l e m e n to f f o m a t i o n ) 4 ) 可提纯纠缠度( e n t a n g l e m e n t o f d i s t i l l a t i o n ) 对于两体纯态的情况，以上不同纠缠度定义给出的纠缠度数值都相等。在本论文中，我们主 要考虑的是两体双态系统的纯态，它的态矢量可写为 i 甲) 。= ，e ”l 竹) + ，：e “2 1 个山) + 儿e “lj ，个) + 儿e “4 l 上山) 其纠缠度为p ；2 y 4 e 怕“- ) ：y s e 懈+ 。i 。对于多体和两体混态系统情况，四种纠缠度定义 给出的纠缠度大小顺序就不一定了，甚至很难引入合理的纠缠度定义。 l 一2 论文的背景和意义 量子纠缠是存在于复合体系的子系统之间的一种奇妙关联，它必然会对各自体系产生 影响，对于各自的几何相位以及总的几何相位的影响是很值得探讨的问题。2 0 0 0 年e s j o q v i s t 首先研究了非绝热非循环的几何相位对于量子纠缠的依赖关系 3 j 1 ，他用s c m i d t 分解的的方法 考虑了一个无相互作用的，处于不依赖于时间的均匀磁场中的任意自旋1 2 的粒子对，他的 研究表明，对于非纠缠态即直积态的几何相位会简化为对两个粒子的几何相位的求和，对于 最大纠缠态，呈现两个值，对应因子+ 1 和一1 ，如果只有一个粒子被磁场影响，则纠缠对于 几何相的影响可以解释为对其影响的粒子的极化自由度的有效约化。 随后，d m t o n g 等人进一步将e s j o q v i s t 的研究推广到旋转磁场中的自旋l 2 粒子对的研 究( 3 2 1 ，得出了同样的结论，并且还发现，在循回演化条件下，不管纠缠度为何值，整个纠缠 体系的几何相总可以被分解为两个子体系各自几何相的和，但对于非循回的情况并不成立。 这些研究表明了纠缠在其中的重要影响。 目前为止，人们对于y a n g i a n 的研究主要集中于用它来描述物理体系的对称性和构造量 子力学升降算符等。因此，将y a n g i a n 引入研究几何相和b e r r y 绝热相是探讨y a n g i a n 其他应 用的一种有意尝试。另外，我们发现e s j o q v i s t 等人研究的都属于体系纠缠度恒定的情况，本 论文的工作表明y a n g i a n 可以引起体系的纠缠度作周期演化，进而影响到几何相，这也有益 于我们对纠缠度和几何相的关系有更深入的理解。 1 - - 3 论文的主要研究内容 本论文主要在研究了三种形式的哈密顿量的几何相，它们分别为h 。= w ，s 。：+ w ：j ：； 日j = w l s l 2 + w 2 s 2 z + j s ( j 3 = c k 辑 s 2 ) ) h 3 = w l s i ：+ w 2 s 2 ：+ g ( s 1 s 2 ) 分别求出了它们在初态选择为j 甲) 。= ? l er a t a i 竹) + 托e 2 t j t 山) + 以e “3 1 s t ) + r , e i a , jj ，j ，) 的几何 相的一般形式，并对结果进行了分析对比，初步讨论了y a n g i a n 第三分量j 3 ；c k 悟。s ：j ，和 g ( s ，s ：) 在几何相的不同作用。 第二章h 1 = w l s l ；+ w2 s2 ：统的几何相 2 1 h 1 = w 。s ，：+ w ：j 2 ：系统的j l , t g * f l 的求解 这个体系可以被理解为一个无相互作用的，处在不依赖于时间的均匀磁场中的任意纠缠的自 旋1 2 粒子对。这个模型在文献 3 1 1 0 0 已用s c m i d t 分解的的方法研究过，下面我们将用完全 不同的方法讨论其几何相问题。 首先，我们将其哈密顿量在卜个) ，1 个山) ，ij ，个) ，l 山j ，) 下写成矩阵形式， 旧】_ ； w 1 + w 2 0 0 o oo w l w 2 0 0 一w i + ”2 00 o o 0 一w 1 一w 2 容易求得其本征值分别为，；w t + w 2 ) ，j 1 ( w 一) ，一；( w 。一w ：) ，一j 1 ( w ，+ w ：) 对应的本征矢分别为 即分别为l 竹) ，1 个山) ，m ) ，m ) 设t = 0 时刻，体系处于i 、壬，( o ) ) l 甲) 。= e “1 个个) + 儿e “2 i t s ) + y s e “ lj ，个) + ，。e 。i 上山) ， ( 2 1 ) 这里，。，口。，0 = 1 234 ) 均为实数，且以2 = 1 则t 时刻系统处于 i 甲o ) ) = y l e , a , e 一出2 + y 2 e * 2 e r 一2 + 扎。慨e4 半+ ，4 e , m e 塑2 ( 2 2 ) 我们假设此体系从t = 0 时刻演化到t = f 时刻，则 一( o ) i 甲o = o h ；) c o s 半r + ，；) c o s 半h l h ：蛔半r + p h ；硒半r l 由此我们得到体系总的相位 中，= a r g ( 、：i ( o ) lv ( o ) 一y ；) s i n 鼍导r + 钯一孵) s i n 粤r = - a r c t a n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ：! ：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ：! ：- - - - - - - - 一 + 一) c 。s 半件钯+ 店) c o s 半r 一庀+ ，；+ y ；) t a n _ w f + 一龙一庀+ 圬) t a n 半 arctan i 一+ 疗一店一疗) t a n w 2 1 2 t a l l 等 如果归( o ) i 甲( ) ) 是实数，则有 。，粥e 喇力= 絮0 耐 动力学相西。2 ；i 出( 甲o ) l 昙甲o ) 矿 矿 蛩 ( 甲( o ) l 甲( f ) ) 卜0 ( 甲( 0 ) j 甲( f ) ) = o 一( 0 ) i 甲( f ) ) _ ( 0 = ；眇? 一疗m + w ：) 十一店x w 。 ( 2 3 ) = 一下w 1 2 旷2 力+ 店一圬) 一等以一y ；一孵) ( 2 4 ) 体系的几何相位中。= 中，一中。 卜力) s j n 半甜钯一疗) s i n r = - a r c t a n - j 二! 二一 n ，抽半什m 力) c o s 半r + 昙盼一力x w + w ：) + 一，；x w 。一w ：) 】 一力+ 龙一疗) 据n w _ l l 十一正一疰+ 露) t a n _ w 2 - a r c t a n l 一+ 小庀一躬) t a n w ：l r t a n 孚 8 + 等以+ y ；一疗) + t w 2 r 旷2 力一庀+ 孵) ( 2 5 ) 以上是我们得到的h l = w l s l ：+ w2 32 ：任意纠缠度时的几何相的一般表达式，从结果来 看，由于总的相位一般不能被分解为含有w 。和w 2 两部分之和，所以几何相也不能被分解为两 部分之和，尽管动力学相总可以。 2 2 h l = w 。s 。：+ w ：s ：系统几何相与纠缠度的关系 f 面我们讨论体系纠缠度为零的情况。所谓纠缠度为零，就是两个子体系无相互关联，不 相互依赖，总体系的态矢量是两个子体系态矢量的直积，即所谓的直积态，我们假定子体系 1 和2 的初始态矢量分别为 i 甲( 0 ) ) 。和l 、壬，( 0 ) ) ：， l 甲( o ) ) 。2 而e 碱1 个) 。+ z ：e 如l 山) 。 l 甲( o ) ) ：= y 。e 喝h 奶e 慨h 这里z ? + z ；= 1 ，y ? + y ；= 1 则复合体系的态矢量为f 甲( o ) ) 。： 1 、王，( o ) ) ，：= l 甲( 0 ) ) 。o l 妒( o ) ) ：= z t y 。e “ 剐i 竹) y ：s “卧”) + 屁坩她训) + z ：脚蛳且i 山山) 经过t 时间，子体系1 和2 的态矢量分别演化为 f 甲螂，= 2 , t e 晒e 一2f t ) l + 筋e 啦e j - 2 1 , h i y o ) ) ：= y 。e 强e _ t l 2 2 lj 个) 。一十y ：e 帆e _ 1 2 2 2 2 _ jj ，) 。 相应的复合体系的态矢量演化为 m ) ) ，：= 眦) ) 。el e ( o ) ：耶，惦+ 岛0 “乎塌邶忡皿) e 1 孚r + z 2 y t p 训f 芋，j 山个) + 躬彤蛳风) f7 半，卜d 通过比较( 2 1 ) 与( 2 6 ) ，( 2 2 ) 与( 2 7 ) ，可得如下关系 励 眨 q 门= z 1 y 1 ，2 = 2 f l y 2 儿= z 2 儿t 4 = z 2 y 2 a i = p 1 + p 3a 2 = j 凸l + 口4 a 3 = ；b 2 + p 3a 4 = p 1 + 日4( 2 8 ) 于是我们计算出体系的纠缠度p = 2 门y 。e 。”一起儿p7 k 2 + 4 j = o 这也说明直积态确实是纠缠 度为零的态 现在我们计算两个子体系的几何相 子体系1 的总相位中。= a r g ，( v ( o ) j j v ( 0 ) ，= 一 a r 咖陋幺) 伽爿 动力学相巾。=-iidt(甲o)i磊d甲(f)=一writ哳201 i 、i ， 山 几何相吨。吨= 一一n o h 知爿+ 等锗一定) ( 2 ，) 子体系2 的总相位o r l = a r g 2 ( 喇f 甲t ) ) z = - a r c t a n ( 冉局t a n 等 动力学相 刊舯o ) f 丢甲( f ) ) ：= 一等一y 2 2 ) 几何相巾矿也。一r c t a n ( y h 2 2 ) t a n 等 + 丁w 2 7 7 旷2y ；) ( 2 ，。) 我们已知一个关系式，a r c t a n 旦1 - a 鱼b = a r c t a n a + a r c t a n 6 4 我们可以证明在以2 = 1 月2 l 帮y j y 4 2 = 旌戎甑条锌下， y ：+ y ；一y ；x 嫒一y j 一畦+ y j 、) = y ；y j y ；一y ； 简要证明如下 ( 2 1 1 ) 舻一力+ y ；一y 3 2 y v v l 2 一庀一y ；+ 疗) = 疗+ 疗- y ；一y ；一2 d i 疗一圬2 乃z ) 因为疗+ ，；+ 疗+ 圬= 1 和拜，：一y ；疗 所以有行= 1 一庀一秀一力，；= 1 - r ? 一店一，；躬= 1 一y ? 一庀一圬，；= l 一，? 一y ；一疗 将此分别代入z ? r ；一y ；力得 力= ，：一，：y ，2 一托2 y 。2 一z g r ：刀= 店一，。2 ，；一巧2 ，。2 一，? 店y ：= ，；一，。2 ，。2 一y ：2 y ；一，? ，： y ：= y ；一y j y j y ；y j y ；y ； 由此我们得 b ；一y ：+ y ；一y ；? b ；一y ：一y ；十y j 、= y ；+ y i y ；一y ； 1 0 而对于直积态，即纠缠度为零的时，由( 8 ) 可得，。，。= y 2 y ，于是复合体系的几何相可以写 为蛤t ”卜”2 躬一疗) t a n 哥卜驴2 ”2 疗) t ”爿 + t w ! t 矿- 2 一露+ 龙一力) + 等一走一疙十疗) ( 2 1 2 ) 并且由( 2 8 ) 得，y 一店+ y ；一y ；= z ：一x ； 疗一疗一疗+ 孵= y ? 一y ； 对比( 2 9 ) 和( 2 1 2 ) 可以看出对于纠缠度为零的态即直积态，复合体系的几何相可以写 为，两个子体系的几何相的和。我们可以这样理解，即由于这两个体系之间并无相互作用， 若复合体系的纠缠度再为零，则这两个体系之没有任何的关系，互相完全独立。这时测量复 合体系的几何相当然也就等于单独测量两个子体系所得的几何相之和。若复合体系的纠缠度 不为零，尽管两个子体系之间并无相互作用，但由于纠缠的奇妙影响，一般来说，复合体系 的几何相并不能被分解为含有子体系参说的两部分的和。 4 我们还要指出我们在证明( 2 1 1 ) 时，用的条件仅是z r 。2 = l 和行y ；_ y 2 2 ，对于纠缠 n - i 度为零的情况，即y l y 4 e 1 扛，+ q ) = ，：y 3 e 缸：+ w ，仅是( 2 5 ) 可以被分解为含有w 。，w ：两部分之的 充分条件，而不是必要条件，即虽然在，? 疗= 店力时，几何相可以被分解为各含有w ，w ：的 两部分之和，只有在纠缠度为零时，我们才可以认为所得的两部分分别是两个子体系的几何 相，在有纠缠时，由于两个子体系互相依赖，互相关联，我们不能确定两个子体系分别处于 什么状态，即使从形式上看复合体系几何相被分解为各含有，w 2 的两部分之和，我们也不能 说这两部分就是两个子体系的几何相。这是文献【3 l 】中没有得出的结论。 2 - - 3 i - i = h = w l 丽i t + w 2 雨i z 的b e r r y 相 在上一章里，我们考虑的是无相互作用的处于不依赖于时间的恒定磁场中的自旋1 2 粒子对 几何相的问题。在这一章里我们将考验处于旋转磁场的无相互作用的自旋1 2 粒子对b e r r y 。 p h a 。，即硒：? s i n o c o s w f + ；s i n o s i n w f + ；c 。s 0 我们先将h = w ，面丽j - + w ：面仍i z 在卜个) ，1 个山) ，l 上千) ，l 山j ，) 下写为矩阵形式 1 h 】- ： ( w t + w 2 ) c o s o w 、e “1s i n e we “”f 0 w ，e “s i n 0 一w 2 ) c o s e 0 w ，口s i n 护 于是我们可以计算出其本征值为 w l + w 2w 1 一w 2 对应的本征矢分别为 妒o ) ) 。= p “( ”m 妒e ) ) 。= e 。“啦 1 + c o s 目 2 s i n p ， 2 s i n op m f 2 1 - c o s o8z h + m i s i n 口 2 1 - c o s 8 p 2 ， 2 一! ! 竺翌。m r 2 一s i n 0p r “+ 也x 砒p 1 ”s i n 分 0 w l + w 2 ) c o s o w ，e s i n 口 一w + w 2 o w p 一7 ”f w e f 一l + w 2 ) c o s 护 一w 1 一w 2 妒o ) ) 。= p ”： 矽( r ) 。= 口“瓴+ 也 s i n 曰 一l + c o s op ，w ：r 1 - c o s o g 州 一s i n op ，+ w 2 ) t l c o s 曰 2 一s i n 0p ”z f 2 一s i n oe i 2 l + c o s o e f f “, l + w 2 i 根据纠缠度的定义，这四个瞬时本征矢的纠缠度都为零，这意味着它们都可以写为两个子体 系瞬时本征态的直积形式。事实上， i 伊o ) 。= 1 妒o ) 。o i 妒g ) ：l 矿( f 。= l 妒o ) o i 一( f ) ：i 伊o ) 。= i 一妒( f ) 。i ( f ： i p ( f ) ) 。= 卜( f ) ) 。o 卜_ ( f ) ) ： 0 ) ，= e 岫 墨r n 彰“f 隼j n 4 0 ：= e i m 2 。 删，卜露， f 矿e ) ) ，利一声o ) ) ， ， i 庐o ) ) ：和卜_ ( f ) ：) 分别是日( f ) ，：w 】羽瓦和日o ) 2 ：m 西魂i 的本 下面我? 掣尊算对应于复a 体系四个瞬时本征矢的b e 丌y 相 以= 7 l ( 妒o ) f 妄伊( ) 。出= 三【2 。+ 埘：) 十( 1 一c 。s 臼x + 妒 以可7 。( 伊e ) f 罢妒e ) ) 。衍= 三【2 。+ 力：) + ( 1 一。曰h 。+ ( 1 + 。曰k p 如刮7 。( 妒o ) f 妄矽o ) ，功= 三 2 如+ ) + ( 1 一c 。矽k + ( 1 + c 。秒加。j z l 刮了。( 伊( f ) 丢矽。) 。破= 圭f 2 瓴+ 恐) + ( 1 + c 稍毋x + ) p t 是复合体系的周期 对应于子体系l 和2 的本征矢的b e n y 分别为 以刮舯叫鲁( f ) ) ，础= 三+ ( 1 - c 础h f 量t 刮一，( ( ，) f 丢矿p ) 一卉= 吉f 2 ”。+ o + c 。s 口加。p 也2 能( 声( r ) o ) ) ，班= ；【2 ”( 1 - c o s 扫k f 九z2 ，j 一：( e ) 协o ) ) 一，出= ；【2 他+ ( 1 + c o s 叭p 不难验证，以2 + 也，如= + 五：，& = 五+ ，如：z 一。+ t ： 这就说明由于复合体系的瞬时本征态都是纠缠度都为零的态，因此复合体系的b e r r y 相是子 体系b 。n y 相的和。这和在上一章里讨论的几何相有一样的性质，因为b e n y 相在本质上和 几何相是样的。通过上面两章的讨论，我们看出几何相和b e n y 相与纠缠存在着密切的妥粟 第三章h ：= w 1 毛。+ w ：s ：+ 厶系统的几何相 3 1 h ：= w ，s ：+ w 2 s ：+ ，系统几何相的求解 在上第一章中我们讨论复合体系，其- q 缠度是不随时间改变的，我们通过分析( 2 1 ) ， ( 2 2 ) 和纠缠度的定义p = 2 1 y 。，。p “慨一y ：y 3 9 。时4 1 i 可以得出这样的结论。下面我们将讨论 h ：s l ：+ w 2 s ：+ ，( j ，= 矗g x s 2 ) ) 的几何相。 首先我们仍首相将h 在基卜个) | 个j ，) ，卜个) ，卜山) 下展开成矩阵 h i ：丢 蟛手哟 o o 0 0 m w 2 2 i c o o 2 缸 一w l + 。 o 其本征值为t w l + w 2 ，一半毒一考 这里e = 扛百丽 对应的本征矢分别为 2 ) = 0 o 0 一蟛一蟛 3 ) = 假定复合体系初始时刻态矢量为 l y ( o ) ) = p l p 涵1 1 ) + p ：p 诌j 2 ) + p ，8 喝j 3 ) + p 。p 慨1 4 ) 则复合体系的在任意时刻的态矢量可写为 1 4 4 ) = ( 3 1 3 ) 南焉。 一 一。 少o)：柏丁wi+w2mp：。慢e-i；12)pie e - i + p 3 。惦。，争1 3 ) + p 4 e 慨。4 半1 4 ) ( 3 1 4 ) 少o ) = 柏 丁1 1 ) + p 2 8 慢 7 + p 3 p 惦p 专慨已4 1 上产1 4 ) ( 3 1 4 ， 于是我们计算 ( 矿( o ) j 少( = 跏s 半，+ m 训c o s 等一恤h 抽半r + 妊曲n 了e t 所以从0 时刻到f 时刻，体系态矢量获得的总相位是 中g，=arsc。，lyg=一arctan丢霉妻芝兰主兰萋篆cs-s，簖+ 引c o s 旦f + + p ；j c o s 等 如果( 、壬，( o ) i 甲( f ) ) 是实数，则有 卟删斗章莩 动力学相巾( r ) ，= 一，k阑j瓤)o 、【， ( 甲( o ) f 甲( f ) ) 卜0 ( v ( o )