（理论物理专业论文）yangian在量子简并态的量子跃迁中的应用.pdf

摘要 f 自从杨振宁和r j b a x t e r 分别于1 9 6 7 年与1 9 7 2 年创建了量子杨一 巴克斯特方程以来，量子可积模型方面的研究取得了很大进展，特别是 v g d r i n f e l d 所建立的y a n g i a n 和量子群理论对物理中的量子完全可 积模型的对称性研究提供了强有力的数学工具。自从1 9 9 2 年以来，人 们在y a n g i a n 各种物理实现和量子完全可积模型的研究方面取得了重要 的进展，并给出新的物理理解和理论结果。例如我们所熟悉的氢原子问 ， 题中就存在y a n g i a n 对称性及r z 丁意义下的量子完全可积性。y 本论文主要是将y a n g i a n 理论应用量子力学之中去，利用y a n g i a n 代 数的方法来研究一种量子简并态体系的量子跃迁。首先，通过二角动量 耦合状况下的y a n g i a n 实现来确定h = 天i 模型( 一个轨道角动量和自旋 角动量以一种特定方式耦合的两格点物理体系) 的量子态，以任意的轨 道角动量与1 2 的角动量耦合为例，来讨论具体到某一量子态下该体系 的简并问题。利用已有的y a n g i a n 对称性，寻求其可行的y a n g i a n 实现 ，了 ，进一步寻找由 7 ，7 ) 组成的不同量子简并态之间的跃迁算符，实 现了其不同量子简并态之间的跃迁，得到了很好的结果。 由此可见，y a n g i a n 可以以一种特定的方式将不同权之间的态联系 起来，它正是量子力学中跃迁算子的推广。 关键词：量子简并基7y 口略砌寿轹量子； 量子跃迁， a b s t r a c t s i n c e c n y a n g 1 a n dr j b a x t e rs e p a r a t e l y e s t a b l i s h e d q u a n t u my a n g b a x t e re q u a t i o ni n1 9 6 0 s ，t h ei n v e s t i g a t i o n so n q u a n t u mi n t e g r a b l em o d e l sh a v eb e e ng r e a t l yp r o m o t e d e s p e c i a l l y t h e t h e o r y o f y a n g i a na n dq u a n t u ma l g e b r at h e o r yt h a t w e r e e s t a b l i s h e db yv g d r i n f e l do f f e r e dap o w e r f u lm a t h e m a t i cm e t h o d f o rt h er e a c ha b o u tt h es y m m e t r yo fq u a n t u mi n t e g r a b l em o d e l si n p h y s i c s p e o p l eh a v em a d eg r e a tp r o g r e s sb o t hi nd i f f e r e n tk i n d s o fr e a l i z a t i o n so f y a n g i a n a n di nt h es t u d i e so n q u a n t u m i n t e g r a b l e m o d e l ss i n c e 1 9 9 2 ，a n d h a v e g i v e n n e w p h y s i c s u n d e r s t a n d i n ga n dt h e o r e t i c a lr e s u l t s f o re x a m p l e ，t h ey a n g i a n s y m m e t r y a n d r 刀i n t e g r a b l i l i t yo fh y d r o g e n a t o mh a db e e n r e p o r t e da tl e n g t h i nt h is p a p e r ，w em a i n l ya p p l yt h et h e o r yo fy a n g i a nt oq u a n t u m m e c h a n i c s ，s t u d y i n gt h eq u a n t u mt r a n s i t i o no faq u a n t u ms y s t e m w i t hq u a n t u md e g e n e r a t es t a t e sb ym e a n so fy a n g i a n a l g e b r a f i r s t u s i n gak i n do fr e a l i z a t i o no fy a n g i a no fat w oa n g u l a rm o m e n t u m c o u p l i n gs y s t e m ，w ec a nw o r ko u tt h eq u a n t u ms t a t e so ft h e = 五j m o d e l ，a t w o l a t t i c e p h y s i c ss y s t e mw h o s eo r b i t a l a n g u l a r m o m e n t u ma n ds p i nc o u p l e di nas p e c i a lw a y t h e n w es e l e c tt h a t s i t u a t i o nt h a tao r b i t a la n g u l a rm o m e n t u mo fa n yv a l u ec o u p l e d w i t ha n o t h e ro ft h ev a l u eo f 1 2 a sa n e x a m p l e 。d i s c u s st h e d e g e n e r a t es t a t e so ft h em o d e l w e t r yt o f i n dar e a l i z a t i o n 7 ，j ) o fy a n g i a no ft h i ss y s t e mb yu s i n gt h ey a n g i a ns y m m e t r yw e h a v ef o u n db e f o r e ，a n dt r yt oc o n s t r u c tt h es h i f to p e r a t o r sb a s e d o n ，“ f o rd e g e n e r a t es t a t e s ，a sar e s u l t ，w ea b l et os h i f to n e d e g e n e r a t es t a t et oa n o t h e r i i t h u s ，i tc a nb es e e nt h a tw eg a i n e dg o o dr e s u l t sf r o my a n g i a n a n dy a n g a nc o n n e c tt h es t a t e sw i t hd i f f e r e n tw e i g h tf a c t o r s i ti st h ee x t e n s i o no ft h eo p e r a t o r s i n q u a n t u mm e c h a n i c s k e yw o r d s ：q u a n t u md e g e n e r a t e s t a t e y a n g i a ns y m m e t r y q u a n t u mi n t e g r a b i l i t y q u a n t u mt r a n s i t i o n i i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：至鏖霆日期：丝! ! ：! ! ! ! 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文 的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阕和借阅。本人授权东北师范 大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) ：至塑： 日舰垫j ! ：! !日飙 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 第一章绪论 1 1 引言 物理中存在着许多经典可积模型，目前常遇到的有十几种。人 们长时间研究它们的孤子解。但是，再复杂的具体经典解的发现也 无助于力学系统的量子化。对于非线性问题的求解，我们常可以在 求解量子力学中的单体问题的基础上，使用微扰方法来求出修正部 分，然而，当相互作用比较强的时候，则要寻求问题的严格解。这 不仅是求解的技术问题，更重要的是严格解的性质和微扰论各阶叠 加的结果常常有本质的不同，许多经典孤子解就提供了这方面的例 证。f d d e e v 学派在实现从经典到量子的研究方面做出了重要的贡献。 而以y a n g - b a x t e r 方程( 简称y b e ) 为中心的有关理论，是比较系 统的处理某些非线性模型的成功理论，是解决非线性问题理论发展 的一个巨大飞跃，它的研究对象是多体系统。 q u a n t u my a n g b a x t e r 方程( 简称q y b e ) 的建立起源于两个方 面的研究：一是一维量子多体问题，二是统计力学中的二维精确可 解问题。最早引入有实在物理意义的q y b e 的是杨振宁，1 9 6 7 年他 在处理具有6 一函数作用势的一维问题时，为保证多体散射的自洽条 件而引入了q y b e 的原始形式。，1 9 7 2 年，澳大利亚学者r j b a x t e r 在研究统计力学中的二维精确模型时，为了对角化他所定义的转移 矩阵，从另一角度独立的得到了称之为t r i a n g l e - - s t a r 的关系。当时 这两种形式并未很好的结合起来。直到以l d f a d d e e v 为首的前苏联 列宁格勒学派进一步发展了量子反散射方法，发现杨振宁与 r j b a x t e r 引入的这类关系可以写成一般形式，这对一大类低维量子 可积模型有巨大的用途，定名为y a n g b a x t e r 方程。随着各方面研究 成果的积累，人们发现q y b e 普遍存在于量子可积问题中，并且起 着核心作用。近三十年来，有关q y b e 的研究取得了长足进展，作 为处理一大类非线性量子可积模型的普遍理论，它已成为理论物理 研究中一个蓬勃发展的分支。 在力学中，只要知道系统所有的运动积分，这个系统就是完全 可积的。显然，完全可积性给系统一种限制。最理想的情况是构造 一个理论框架，从它出发，原则上可以进一步用物理算符实现这些 关系，从而可以将h a m i l t o n 量具体化。l d f a d d e e v 在统一杨振宁和 r j b a x t e r 理论时，建立二次量子化逆散射方法理论并同时提出了 尺7 丁关系。r t t 关系就是我们所寻求的理论框架。它是y b e 系统理 论中的基本关系式，也是联系物理中模型的出发点。r 刀关系的重 要性是它不仅给出对易关系，还给出量子系统的守恒量，包括 h a m i l t o n 量，因为它规定了动力学，这正是物理性质的要点。q y b e 的解的重要意义在于确定了局域量子算符( 格点上) 之间的交换关系， 也决定了整体量子转移矩阵的交换关系。由r t t 关系出发，给定 v q y b e 的解矩阵r ( u ) 时，可以得到量子整体转移矩阵凡( 五) 的矩阵 元之间的交换关系和h a m i l t o n 量，之后，用具体的物理算符来实现 这些关系，从而可以将h a m i l t o n 量具体化，因此，r ”关系能够构造 出h a m i l t o n 量，在更深的层次上建立了新型代数关系与h a m i l t o n 量 守恒系统的联系，此外，满足r 丁丁关系的系统一定是量子可积系统。 我们知道r 订关系规定了作为量子算符的l ( “) 代数关系，给 定y b e 的一个解尺( ”) 矩阵时，通过胄丌1 关系可以得到辅助空间中 矩阵元乙( “) 之间的代数关系。如果取定r ( u ) 为“的多项式形式，则 称为y b e 的有理解。对于有理解的情况，此时矩阵元乙( “) 所构成 的代数并不等同于李代数，它是由有限个生成元所决定的不封闭的 无穷维代数。而u 1 与“。阶的算符间的对易关系是最基本的，只要 满足这两阶所有的关系，那么所有高阶关系将由它们所决定，这种 代数称为y a n g i a n 。y a n g i a n 代数是比李代数更大的无穷维代数，李 代数是y a n g i a n 代数的子代数。它是由数学家v g d r i n f e l d 在1 9 8 5 年 首先引入的，在y a n g 后面加j a n 是为了纪念杨振宁教授在该研究领 域的重大贡献。y a n g i a n 属于数学上霍普夫( h o p f ) 代数。从物理角 度看，它描述了完全量子可积问题中一类非线性相互作用模型所特 有的新型对称性。 y a n g i a n 以其具有超出李代数范围的种无穷维代数的结构特 点，给出有关物理中的量子完全可积模型的对称性新的物理理解和 理论结果，为研究非线性相互作用系统的新型对称性提供了强有力 的工具。如果体系的h a m i l t o n 量与y a n g i a n 的生成元对易，我们就 说该体系具有y a n g i a n 对称性。值得指出的是，杨- 巴克斯特系统保 证了量子可积性质，但并不保证其h a m i l t o n 量与y a n g i a n 对易，相 反，如果h a m i l t o n 量与y a n g i a n 对易，也不一定是量子可积的。这 些性质依赖于具体的实现。以一维h u b b a r d 模型为例，y a n g i a n 正是 无穷长链h u b b a r d 模型的对称性，并由此带来了新型简并度，正是了 的作用引起不同格点间自旋的耦合，y a n g i a n 的引入大大简化了这种 新型对称性的描述。 除了描述物理体系的对称性之外，y a n g i a n 的另一个重要作用是 它可以组成超出李代数范围之外，在不同量子态之间的升降算符。 李代数算予只能在同一个权内变动，而y a n g i a n 却可以以一种特定的 方式将不同权之间的态联系起来，它正是量子力学中跃迁算子的推 广。以h 原子为例，对于每个能量本征值，均有y a n g i a n 对称性， 对应着角动量的简并，由y a n g i a n 算子组成的角动量移动算子，将第 n 个能级的角动量从，跃迁到“1 。最初由y a n g i a n 得到的不同量子 态之间的平移算子均是由不含时间因子的算子所给出的，近年来， 对于含时情况下，y a n g i a n 的实现和随时间演化的平移算子的性质方 面的研究也有很大进展，同时，也拓展了y a n g i a n 在物理中的进一步 应用。 另外，我们知道掌握了系统的全部对称性意味着可以得到能谱 的重要信息，因此y a n g i a n 对称性还可以应用于能谱结构的研究。 r a n g i 册包含了极为丰富的物理内容，它早已存在于量子力学之中， 从量子力学的角度理解y a n g i a ”是最直观而有效的途径。 杨一巴克斯特方程包含了极为丰富的物理内容，近年来，越来 越多的研究表明它是处理一大类非线性量子可积模型的普遍理论。 l 一2 论文的选题背景及意义 y a n g i a n 的作用是描述物理体系的对称性，除此之外，它还有另 一种直观的物理含义：它可以组成量子力学中能谱的升降算符( s h i f t o p e r a t o r s ) 。这个方面的研究刚刚起步。况且从量子力学、多体问题、 链模型等角度理解y a n g i a n 的物理实质仍是发展中的研究课题。 y a n g i a n 属于数学上的霍普夫( h o p f ) 代数。从物理角度看，它 描述了完全量子可积问题中的一类非线形相互作用模型的所特有的 新型的严格对称性。同时，y a n g i a n 的引入大大简化了这种新型对称 性的描述。而知道了系统的全部对称性意味着可以得到能谱的重要 值得促剑的是，x x x 模型谱的实验研究已经获得相当的成功。因而， y a n g i a n 算符在跃迁行为中的作用是值得研究的。 本文主要是讨论y a n g i a n 在量子简并态的量子跃迁中的应用。在 量子力学中对于角动量耦合一般讨论的都是角动量以相同权重进行 耦合情况，而对于不同权重的情况则很少涉及。h = 人s 系统恰恰 就是这样一个量子模型，两格点的定域轨道角动量分别以不同的权 重与自旋角动量进行耦合。对于一个确定的能量本征值，体系存在 着比较复杂的简并问题，即存在着一组特殊的本征态，这组本征态 可以由二角动量体系的y a n g i a n 算子生成，并且对于每一个确切的总 角动量，存在着一组简并的量子态，这一组量子态之间的跃迁可 以由李代数算子来实现。由于这组量子态是由y a n g i a n 算子生成，直 接的结果是导致我们获得的只是对应着能量本征值的简并量子态中 的一部分。本文将y a n g i a n 理：论应用到h = 人s 系统，构造其本征函 数，讨论其简并问题，分析其不同量子态之间的跃迁算符。将y a n g i a n 理论应用到具体的物理模型之中，研究其在跃迁行为中的作用，进 一步明确和了解了y a n g i a n 代数的物理实质和意义。 1 3 论文的主要研究内容 本文主要研究砌培协代数理论在h 2 人s 系统中的应用问题。 我们用已有的多角动量体系的鸭i 口”代数实现，来寻求2 人s 系 统的本征函数，讨论该体系对应于某一能量本征值的量子态的简并 问题，并研究了其不同量子态之间的跃迁问题。在第二章中，我们 利用y a n g i a n 代数生成了h = 人s 系统所对应的能量的本征函数，并 以任意轨道角动量与轨道角动量为1 2 的耦合为例，讨论了量子态的 简并问题，指出对应着每一个由j ，晰) ( j 是两个轨道角动量耦合的 总角动量) 生成的能量的本征函数，都存在着2 ，+ 1 个简并态，这些 简并态之间的跃迁，我们可以由普通的李代数的升降算子来实现。 但是对于不同的总角动量，所对应的简并态之间的跃迁，需要利用 y a n g i a n 才能完成。在第三章中，我们简单介绍了y a n g i a n 理论，着 重讨论了日= a s 系统中存在的功略i 口n 对称性，以轨道角动量分别 为1 和l 2 的耦合为例，指出对应着不同能量本征值的，由同样的轨 道角动量耦合两组量子态之间的跃迁可以由y a n g i a n 代数来实现，即 使用y a n g i a n 代数，我们可以把体系不同h a m i l t o n 量所对应的量子 态联系起来。 第二章h ：天雪模型及其量子态 2 1 h 2 人s 模型 我们来考虑一个轨道角动量与自旋相互作用的模型。体系的 h a m i l t o n i a n 由下式给出， h = a s 其中， ( 2 1 ) 其中，a 、口：、是两个确定的参数，丘、三：是定域的轨道角动量。 s a u f = f 占枷“， ( 2 3 ) r o 1 o 、 驴执 跏去盱割 。， 驴 i o _ ， 那么满足( 2 3 ) 式的矢量厅就可以给出 2 - - 2h = a s 模型的能量本征值及其本征态 ( 2 5 ) 下面我们来考虑该模型的h a m i l t o n i a n 的本征值和本征态。假 定本征态。可以这样构成： 中= j 砣 其中， ( 2 6 ) 了2 z 丘+ 三z + 础- 三： ( 2 7 ) 在这里，z 是由三一、三：确定的空间中的确定的态函数，i 、 、 蜀：是确定的系数，一般情况下，我们把蜀：的值取为鲁。 把作用在本征态中_ i ：i s ，我们可以得到， h o = 入j e s a u z = f 占枷仁。曰+ 口：e 鼽掣+ 五巧+ g j 2 巧e - ，z = f 占抽， 口l z 曰研+ 口2 f 2 l 2 。l 2 + 口l 以三鹾+ 口2 f l l 2 l l 。 + 蜀：气a t g 。日+ 口：e k c r l 2 r 】虬z = 【f 喁z ( 三五) ，+ f 五( 丘丘) ，+ ，q 五( 二丘) ，+ i o t 2 f l 画z o ， + 瞎1 2 ( 以，一以，“) ( 口1 日+ 口2 l 2 ) l il 2 u 。z = 【一口- 一 丘一口：厶 厶+ f ( c h 正一c r ：) ( 丘丘) z z + 哲t ：心五五爿一口五2 9 + 口：丘2 耳一c z 2 三i 丘e 协，z 、，阳、 = ln u ，万 = 、l，ll 一 0 ，、，l 上压 i | 甜 = 卜a l 蝎一口2 危厶+ f ( 一口2 ：) ( 厶三2 ) 】露z + 堙1 2 【a l 彳厶工2 一口2 ：三1 2 一口、厶；三12 + a 2 i 2 2 + i c z ， s l ? l r 2 一f 邙2 壳s t v 口l l ；l u ，z = - a l d , h l l 一口2 a h 2 十f ( a l 一a 2 ) ( 三l l 一2 ) 厅z + 幅：b 丘二厶一吒己五厶一q 丘二2 + 呸五丘2 + f ( q + 呸) 蜢厶 - 泌 ( 2 8 ) 考虑到z 是仁j 的本征函数，故有 ( 2 9 ) 由于z 也是三。三：的本征函数，考虑到其本征值的不确定 性，设其本征值为z ，即有： 丘互：z = 则( 2 8 ) 可以变为， 肿= “一口l a + i g l 2 ( 口l z + a 2 _ ，2 ( ，2 + 1 ) 2 ) 】丘 + 【a 2 ，2 a i 9 1 2 ( 口2 z + a 1 ，l ( + 1 ) a 2 ) 1 三2 + 【f ( 口l 办一口2 石) 一9 1 2 亢( a l + 口2 ) 】上l l 2 厅z = 肺 = 饥z 三l 十 三：+ 蜀2 丘三：】露z 待定系数，我们可以得到， ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) f ( a + 口l 自) z i a i z + a 2 ，2 ( j 2 + 1 ) a2 】9 1 2 = 0 ( 五+ 口：a ) j + f 口：z + a 。( ，+ 1 ) a2 g 。：= 0 由于五是h 的本征值，z ， ，g t z 是确定的常数，则方程组( 2 1 2 ) p + 口l 壳0一i a l z + 口2 _ ，2 ( 2 + 1 ) 壳2 】| l 0 旯+ 口2 壳 i a 2 z + 口l y l ( ，l + 1 ) 壳2 】l = 0 fi a 2一i c e l五十( 口l + 1 2 2 ) i ( 五+ q 壳) ( 旯+ 壳) ( 五+ q 亢+ 口2 亢) 一q ( 五十喁壳) a 2 z + a l j l u l + 1 ) 壳2 由于旯不含z ，故可令z 前系数为零，即： 五：一鱼丝壳 罕2 2 “幽+ 1 ) h 2 _ a 2 j 2 + 1 ) 船。( 2 1 7 ) 在考虑口l 1 2 2 的情况下有。 盯，2 ( ，- + ；) 2 = 口z2 ( ，：+ ；) 2 ( 2 1 8 ) 把( 2 1 6 ) 式代入( 2 1 2 ) 式，可有， 。 = i ：i ! ：墨【a ，+ a z j ：( ，：+ 1 ) 2 】 ，2 = i 云；! ：莎陋z x + a - ( ，+ t ) n 2 】 ( 2 1 9 ) 所以，该体系的h a i l m t o n i a i l 的本征值为a = 一鱼 鱼 所对应 的的量子本征态。为， m = j a z 2 丢 f 【a i x + a 2 蹦”啪2 厄 + z a 2 z + 口l ，l ( 1 + 1 ) 壳2 】三2 + ( d i 一口2 ) 三l 三2 ) 厅z ( 2 2 0 ) 2 - - 3 对日2 a - s 模型量子态的讨论 下面我们来讨论h 2 a s 体系量子态的简并态。 由( 2 1 8 ) 式，易知 a i = - + ( j 2 + ) ( 2 2 1 ) a 2 = ( - ，l + 婶 ( 2 2 2 ) 因此我们可以分两种情况进行讨论： ( 1 ) 取铲( j 2 + i ) h ，甜：= ( ”圭) ，则由( 2 1 6 ) 式妣 五：一址2 ! ：一盟 ： 11 ( 2 ) 取口t = ( ：+ 抄1a ：= 一( n 护1 ，则由 ( 2 2 3 ) ( 2 1 6 ) 式知， = 掣 2 ( 2 2 4 ) 为简便起见，我们讨论一种比较简单的角动量耦合，令j ：= i 1 ， 在以下的讨论中，取a = 1 。 对于角动量分别为，和1 2 的耦合，本征函数z 取两种形式： z 。= 卜圭，m ) 。! ! ；j 辛，l ，。一) 1 ， ) + c ! ! ；j 等，；i ，。+ ) 1 ，一) ( 2 2 5 ) z ：= 卜，m ) ；一。! ：；革，；l ，。一) i ，) + t ! i ；等，i ，。+ ) l ，一) ( 2 2 6 ) 为了研究问题的方便，根据( 2 - 3 ) 式，我们引入 ”千击( ”u ( 2 2 7 ) 即有： s a u 。= 0 ( a = ，3 ) s 。= 厄3 s ，“3 = 厄+ ( 2 2 8 ) s 3 ”= l f 其中，s + 是基伽+ ，“， 的升降算符。由( 2 2 8 ) 式， “+ = i l ，1 ) ，“一= 1 1 , - 1 ) ，也= 1 1 ，0 ) ( 2 2 9 ) 1 2 故有： 叫击( 岫! - j _ u + m 批 z 对应于第( 1 ) 种情况，我们有： 丑= 一! ! 1 2 ：一4 十三、 、24 7 对于z ，而言，计算有 ( 2 3 0 ) z 2 害，一2 尚例一+ 五= 尚2 + 5 舶旺， 计算巾得： 1 扯【右( ，以一“+ ) + j 3 u 3 z ， 2 尚南t 知扣”挑，m + 驰挑- 1 ) + 、 3 i 1 ，( 2 j r + 1 ) i ，m + ；) i ；，一；，一) 厨可石甭码。斗m 韶扣；) 2 c ，+ 聊+ 丢，c 3 一卅+ 圭，c 2 + ，i ，m 一圭) l 圭，一三- ，) + ( 4 j l m + 4 ，l 2 + 2 m + ( 4 j l m 一4 j 1 2 + 2 ，”+ ，、卜 1 u 、l + j ，f 爰i 几m 一拈扣。) 1 11 朋+ j 脏 经检验可知z l = | + 吉，聊) 生成的中确是日的本征函数。 1 3 )2 ， 3 妨 、， l 一2 对于z ：而言，重复上面的过程有 z j 1 ( ”1 ) ，一= 一譬， 一i g l 2 ( j 川) ( 2 3 3 ) m = 击( 咖一一+ j 3 u 3 z ： = 0( 2 3 4 ) 显然，由z 2 = l j 。一互1 ，埘) 生成的中并不是鼍的本征函数a 对应于第( 2 ) 种情况，重复上面的过程，我们可得： 五：直一三 24 对于z ，而言，计算有 z = 拿，= 一警， = l _ g l ：， ( 2 3 5 ) 显然，由z ，= 卜+ j 1 ，m ) 生成的巾并不是的本征函数。 对码* 驯俺 。 p 如+ 1 ) 一一_ 一而i g l 2 何- + 争 4 ( 2 3 6 ) 。习t g ， + 2 ) ( 6 贫+ 7 ”l ( 2 3 7 ) m 1 2 + ， ”，+”，一“ 晓。 l | i l t - 去2 ( j + u _ - j - u + ) + j 3 u 3 卜矿1 ) ：i ；j i 薪t c + t ，( 3 j l - m + i ，j ：；i i ：i ：习 ，m + i ；，j ) l ，一d cz+dj：ii：i：ii；i：丽i，m+割i，一与i，一1) 唯”t ，j 2 ( j , - m + 1 ) ( j , + m - 1 ) ( j t - m + 3 ) b 一潞扣) + c 2 ，。+ ，c ，。+ 5 ) 2 ( j i - m + 1 ) n +2 ) l j , , m - 去) i 圭，一丢，) + ( 2 ，+ 1 ) ( 3 ，t + 五i 一j y l 1 ) 州，1 2 - 8 ”a ，i m + 2 m - 3 ，f 矗卜跳埘，o ) 一t a ，2 + 8 ，。+ 。，。m + 2 m + 3 ，j j i ：夏l ，”+ ；) i ；，一；t ，。) ) ( 2 3 8 ) 经检验可知，由z ：= l j ，一去，聊) 生成的确是h 的本征函数。 o 由上面的讨论可知，( 2 3 2 ) 、( 2 3 8 ) 是我们所研究的日= 人s 系 统分别对应于“= ( ，：+ ；) 、a ：= ( ，+ ；) 和a - = ( ，z + ；) 、吼。刈t + j ) 6 2 两种情况下的本征函数。这些本征函数由算子，。( a = ，3 ) 所生成。 由此可知，系统的本征函数由+ j 2m ) 决定。考虑到= ，+ ，：为 总轨道角动量的主量子数，因为系统的能量本征值只与，、：的值 有关，所以对于每一组确定的( ，、小，：) 而言，m 导致了量子 态的简并，即体系的该量子态共存在着2 + 1 个简并态，可以证明应 用通常的李代数可以实现这些简并态之间的跃迁。但是对于不同的 所对应的量子态之间的跃迁，通常的李代数的升降算子并不能够 完成。 本章小结 本章主要研究了片2 a s 模型的能量本征值以及本征函数，讨 论了该物理体系的量子态，指出了在种特定的情况下，对于每一 个能量本征值，存在着2 ，+ 1 个简并态，这些简舞态之间的跃迁可以 用李代数来完成，进而为下一章的研究内容做准备。 6 第三章y a n g i a h 理论及其在h = a 一蜃体系中的应用 3 一ly a n g i a n 理论简介 砌馏豇m 属于数学上h o p f 代数，来源于y a n g b a x t e r 方程的有 理解。它是由数学家v g d r i n f e l d 在1 9 8 5 年首先引入的，在y a n g 后 面加i a n 是为了表征杨振宁教授在研究多体可积模型( 1 9 6 7 年) 中 的杰出贡献。 砌增i 口行是由生成元，。和山组成的集合，其中 ，。) 组成单李代 数，它们遵从如下代数关系： 【， ，f 】= 。枷， ， ，j p 】_ 。枷j ， ( 3 1 ) 【， ， ，p ，。】一【， ，【，j ，】 = i h 珂舡。q 伢 l ，j ，) ( 3 2 ) 【 ， ，。 ，【，。，j ，】p 【l ，。，】， ， ，。】 h 2 詈( 口舢v a , s r c 。，+ 口。竹c 舡，) ，。，) ( 3 3 另外，还要满足下面的余乘法( c o - p r o d u c t ) 定义： a ( 2 ) = ， 0 1 + 1 圆， a ( j z ) = ， 圆l + l 。t ，2 + h c 枷j ，。p ( 3 4 ) 当f 枷= ，占m 时，情况最为简单。 y a n g i a n 是一种不封闭的无穷维代数，通常的李代数是y a n g i a n 的子代数。这种代数结构的存在是有深刻根源并和一个普遍的原则 相联系的。它的重要性恰恰在于它本质上反映了一大类非线性模型 的特点。它是无穷维代数，但由有限个生成元构成，两组基本的生 成元7 和1 7 决定了所有更高阶算符的行为。这种现象来源于系统存在 1 7 某种强烈限制，并非每阶的元素都是独立的；而这种限制又是很巧 妙的，即只有7 和1 7 才是独立的生成元。 y a n g i a n 为研究非线性相互作用系统的新型对称性提供了强有 力的方法。它以其具有超出李代数范围的一种无穷维代数的结构特 点，给出有关物理中的量子完全可积模型的对称性新的物理理解和 理论结果。以一维h u b b a r d 模型为例，y a n g i a n 是无穷长链h u b b a r d 模型的对称性，并由此带来了新型简并度，正是7 的作用引起不同 格点见自旋的耦合，y a n g i a n 的引入大大简化了这种新型对称性的描 述。又如，在我们所熟知的氢原子中，就存在着这种y a n g i a n 对称性。 除了可以描述物理体系的对称性之外，y a n g i a n 的另一个重要作用是 它可以组成超出李代数范围之外，在不同量子态之间的升降算符。 y a n g i a n 算符及其组合实际上就是李代数空间的跃迁算符。李代数算 子只能在同一个权内变动，而砌馏面行却可以以一种特定的方式将不 同权之间的态联系起来，它正是量予力学中跃迁算子的推广。以h 原子为例，对于每个能量本征值，均有y a n g i a n 对称性，对应着角动 量的简并，由y a n g i a n 算子组成的角动量移动算子，将第n 个能级的 角动量实现从，到，+ 1 的跃迂。 y a n g i a n 包含了极为丰富的物理内容，它早已存在于量子力学之 中，从量子力学的角度理解y a n g i a n 是最直观而有效地途径。 3 2h 2 a s 模型中的y 口愕伽对称性 在h = a s 模型中，存在着两组y a n g i a n 的具体实现，对于二角 动量耦合系统，我们很容易找到其y a n g i a n 实现： ，= 三+ 三：，7 = 三。+ ：三：+ f 皇三三： ( 3 5 ) ( 2 7 ) 式就是7 的一种表达形式。亦即，在2 - 2 中，我们所求得 的量子态函数。就是由物馏f 口n 代数的7 算子所生成的。 同样，如果把自旋考虑进去，就可以得n - 种新的y a n g i a n 实现， 即： 7 = l + s ，j = l i l t + “：雪+ f 鲁三s 一 ( 3 6 ) 其中，三= 丘+ 三：为总的轨道角动量。 3 - 3h = a s 模型量子态的跃迁 我们继续讨论= 人s 模型的量子态。 考虑系统的h a m i l t o n 量h 与总角动量，的对易关系，有： 【h ，】= b 曰+ 口：三：，l ，b 。+ 。日+ 口：e ) p 。，s ，】 = f 占i 面( a l 矸+ 0 2 e ) s + 皓i 坩( 口1 日+ t x 2 e ) s 。 = 0 ( f = 1 , 2 ，3 ) 即： 陋，列= o ( 3 7 ) 故巾是，的本征态。 、 考虑到l 3 z = m z ，z = i 。m 。j ：m ：，j m ) ，所以 l q ，3 = l 3 山z + j s 3 z = 2 “ l 3 l + l e 3 2 f j f “z + 1 1 7 3 a f j 甜r = m o o ( 3 8 ) 即通过y a n g i a n子1 7 所生成的本征函数并不包含最高权态。显而易 见，最高权态对应着= ：+ ；，口：= 一( + j 1 ) ，本征值为 旯= 直亏立的情况，为系统的量子态。讨论一种比较简单的情况， 取，z = j 1 ，e h 2 3 ，l + 兰，m ) 、i 一j 1 ，川) 分别生成能量本征值 为a = 一( 害+ 丢) 、五= j _ 2 l 一1 4 的量子态。亦即通过砌增加算子t 7 所 生成的本征函数只是量子简并态的一部分。 由于 ，2 m = 了掰z + 了s 2 泌+ 西1 l p 2 ，以扭一_ 【r ，正协+ ) + 阮州蚝) z + ( l + s _ + + 2 l a s 3 ) 后2 1 - - ，+ “一一l ，一“+ + j 3 u 3 】) z + ，+ “一一l ，一材+ +】) z = ( ，+ 1 ) 中 ( 3 9 ) 所以，对于确定的j ，的简并是由坍引起的，这些简并态之间的跃 迁可以由通常的李代数算子来实现，即： ，+ 中( ，m ) = 7 露l 工m ) = u 击( 咖一一，+ 地l 加) = 1 7 g l + f - ，m ) 2 0 。( ，千m ) ( _ ，州+ 1 ) m ( ，卅+ 1 ) ( 3 1 0 ) 但是，对于不同j 所对应的简并态之间的跃迁以及对应不同能 量本征值的量子态之间的跃迁，利用通常的李代数算子就不可能实 现。只有由y a n g i a n 算子所组成的算符才能完成这些态之间的跃迁， 下面，我们以，：1 ，：昙为例进行说明。 对于最高权态，取中。= h 1 ) 怯，吉) 1 1 ，1 ) ， ( 3 1 1 ) 对应日= ( 三。一互3 l ：) 雪的情况。 对于由1 吾，吾) 生成的态， m ：娟g i 2 ( | ，啦跏) 棚1 j 1 ) 畦) h 1 ) - ：h ，) h o ) ) 对应着h = ( 三。+ 吾三：) 蜃的情况。 利用馏蛔玎算子j 一，作用在m 。上面有， 上巾。= 【：( 巧+ 历) + s 一+ e ( 葺+ e ) 豇一( e + 与) 墨) p 。 却：2 _ 斯加) h 1 ) + 砩每，1 ) 畦) h ) 忡。+ 争帅) 性) h 。) 限 上式中，利用了“。“。是算子的函数的性质，即， “。：i ，。) f 去，三) | ，) = “：l ，。) 吉，丢) l ，) | 1 ，1 ) 卜1 i u ) j 1 ，1 ) 卜扣) 由( 3 1 3 ) 式，如果适当选取“1 2 、u 。的形式，使其满足： 压( “f ：一i h ) = f 6 瞄 “j 一兰= f 6 佤心 + i 3 h = f 6 压：f 我们就可以得到 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 即可成功的从量子态巾。跃迁到中：，它们分别属于不同的h a m i l t o n 量，对应着不同的h a m i l t o n 量本征值。 由上，我们可以清晰的看到y a n g i a n 超出李代数的独特性质，它 可以实现不同h a m i l t o n 量的本征态之间的跃迁，它正是量子力学中 跃迁算子的推广。 3 4 存在的问题 对于h 2 人s 模型，还存在着很多问题函待解决，主要表现在 以下几个方面： 1 由y a n g i a n 算子7 只能生成体系的部分简并态，是否存在一种 比较完善的体系或者算子组合，使其能够生成该模型的全部量子 态? 2 对于y a n g i a n 算子生成的量子态，分别对应着口取值所决定的 两种情况，对于确定的小，：，分别由i j ，+ j 2 , m ) 、1 j 。+ ，：- 1 ，m ) 1 j + ：一女，聊) 一_ ，：l ，聊) 所生成的量子态是如何分配的? 这些量 子态之间的跃迁只有y a n g i a n 才能够实现。 3 对于y a n g i a n 算子生成的量子态，某些情况下，例如2 3 中 ，：= i 1 的情况，厶l ，m ) = 0 ，出现这样的结果意味着什么物理意义? 二 本该出现的量子态为什么会消失? 本章小结 本章以l 、1 2 耦合为例，讨论了量子态的跃迁问题。由体系的 性质所决定，对应着同一总轨道角动量所生成的量子态，简并由第 三分量引起，李代数可以实现简并态的跃迁。对于不同的h a m i l t o n 量，量子态可以由y a n g i a n 算子联系起来。并且指出了还没有解决的 一些问题。 第四章总结 本文中，我们把y a n g i a n 理论应用到h = a s 模型的量子态中， 1 通过y a n g i a n 算子生成了该物理体系的部分量子态。以，：= 去为例， 上 1 讨论了量子态的简并问题，并以j = 1 、，：= = 1 为例，指出了