高中数学 1．31．3.2 空间几何体的体积课件 苏教版必修2.ppt

第1章立体几何初步1 3空间几何体的表面积和体积1 3 2空间几何体的体积 栏目链接 空间几何体的度量是几何研究的重要内容之一 在生活中有着重要应用的不仅是度量几何体的表面积还要度量体积 如下图 在一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋 如果冰淇淋融化了 会溢出杯子吗 在实际操作中如何解答呢 栏目链接 栏目链接 1 了解柱 锥 台 球的体积的计算方法 2 能用柱 锥 台 球的体积公式解决相关问题 栏目链接 栏目链接 1 几何体的体积是几何体占有空间部分的大小 其主要性质有 完全相同的几何体的体积 体积相等的几何体叫 两个等积体的形状 相同 底面积相等 高相等的两个柱体 或锥体 体积 2 棱柱的体积公式 v棱柱 s为底面面积 h为柱体的高 相等 等积体 不一定 相等 sh 栏目链接 棱锥的体积公式 v棱锥 s为底面面积 h为棱锥的高 棱台的体积公式 v棱台 s s为两底面面积 h为棱台的高 3 圆柱的体积公式 v圆柱 r为底面圆的半径 h为圆柱的高 sh r2h 栏目链接 圆锥的体积公式 v圆锥 r为底面圆的半径 h为圆锥的高 圆台的体积公式 v圆台 r r为两底面圆半径 h为圆台的高 4 球的体积公式 v球 r为球半径 表面积公式为 s球 栏目链接 栏目链接 棱体 锥体 台体和球的体积公式 栏目链接 祖暅原理 幂势既同 则积不容异 是推出以上公式的基础 由此我们不难概括出多面体和旋转体的体积性质 完全相同的几何体的体积相等 体积相等的几何体叫等积体 两个等积体的形状不一定相同 底面积相等 高相等的两个柱体 或锥体 体积相等 等积转化是今后求相关几何体的体积的重要策略 栏目链接 对于柱 锥 台的体积公式可以从它们间的转化关系上加强记忆 栏目链接 栏目链接 题型1柱体的体积 例1如图 一个正三棱柱形容器中盛有水 且侧棱aa1 8 若侧面aa1b1b水平放置时 液面恰好过ac bc a1c1 b1c1的中点 当底面abc水平放置时 液面高为多少 栏目链接 栏目链接 题型2锥体的体积 例2如右下图所示 三棱锥的顶点为p pa pb pc为三条侧棱 且pa pb pc两两互相垂直 又pa 2 pb 3 pc 4 求三棱锥pabc的体积v 栏目链接 栏目链接 规律总结 锥体的高实质上是与锥体底面垂直的线段 由前面知识可知 只要一条直线与一个平面的两条相交直线垂直 则它就与这个平面垂直 本例中 不是先求出以abc为底面的三棱锥的高 而是把它转化为三棱锥apbc的高 这种方法的依据是 三棱锥又称为四面体 它的每一个面都可当做底面来处理 这一方法叫做体积转移法 或称等积法 随着知识的增多 它的应用越来越广 因此必须熟练掌握 栏目链接 变式训练 栏目链接 题型3台体的体积 例3三棱台abca1b1c1中 ab a1b1 1 2 则三棱锥a1abc ba1b1c ca1b1c1的体积之比为 分析 如右图 三棱锥a1abc的顶点看作a1 底面看作abc 三棱锥ca1b1c1的顶点看作c 底面看作a1b1c1 三棱锥ba1b1c可看作棱台截去两个三棱锥a1 abc和ca1b1c1后剩余的几何体 分别求几何体的体积 然后相比即可 栏目链接 栏目链接 栏目链接 规律总结 1 求台体体积的常用方法有三种 一是利用台体的体积公式来求解 这就需要知道台体的上 下底面积和高 二是抓住台体是由锥体截割而来的这一特征 把它还原成锥体 利用锥体体积公式来求其相应台体的体积 三是利用割补法来求其体积 如本例 2 三棱柱 三棱台都可以分割成三个三棱锥 分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积 在立体几何中 割补法是重要的思想方法 栏目链接 变式训练 栏目链接 题型4球体的体积 例4三个球的半径之比是1 2 3 求证 最大球的体积等于其他两个球体积和的三倍 分析 由三个球的半径之比为1 2 3 可设三个球半径分别为r 2r和3r 则三个球的体积都可以表示成r的代数式 然后再研究它们体积的数量关系 栏目链接 栏目链接 规律总结 解决球的体积问题 首先要熟练掌握球的体积公式 它可以想象成以球的半径为高 球面为底面的圆锥 在求球的体积时 其关键是求球的半径 栏目链接 变式训练 3 一平面截一球得直径是6cm的圆面 球心到这个平面的距离是4cm 则该球的体积是 栏目链接 题型5球的表面积 例5已知球的两平行截面的面积分别为5 和8 它们位于球心的同一侧 且距离为1 求这个球的表面积 分析 要求球的表面积 只需求出球的半径 因此要抓住球的轴截面 过球的直径的截面 栏目链接 栏目链接 规律总结 球的轴截面 球的过直径的截面 是将球的问题 立体问题 转化为平面问题 圆的问题 的关键 因此在解决球的有关问题时 我们必须抓住球的轴截面 并充分利用它来分析解决问题 栏目链接 变式训练 4 用两个位于球心异侧的平行平面去截半径为r的球面 两个截面圆半径为r1 24cm r2 15cm 两截面间的距离为d 27cm 求球的表面积 栏目链接 变式训练 栏目链接 题型6有关组合体的表面积和体积 例6求体积为v的正方体的外接球的表面积和体积 分析 如右图所示 显然正方体的中心为其外接球的球心 过球心作平行于正方体任一面的截面 则其截面为圆内一正方形 正方形的各顶点均在圆内 而不是在圆上 因此这样的截面无法反映球的半径与正方体的棱长的关系 注意到球心必在正方体的一个对角面上 因此 以正方体的一个对角面作截面即可 栏目链接 栏目链接 规律总结 正方体外接球的轴截面有多种情形 因此在解决棱柱内切球和外接球的有关问题时 必须谨慎地作其轴截面 切忌想当然地作图 平时学习时最好是自己动手做实物模型 由模型作出相应的轴截面进行练习 栏目链接 变式训练 栏目链接 变式训练 分析 这个多面体是一个不规则的图形 其形状犹如木工常用的木楔 立体几何中把这种几何体称为楔体 所以必须运用割补的方法 将其化归为棱柱或棱锥进行体积计算 栏目链接 变式训练 栏目链接 变式训练 栏目链接 变式训练 方法点拨 1 本题充分结合图形的特征 强化割补的思想方法 考查多面体体积的计算以及空间想象能力 运算能力 2 某些立体几何问题 如果直接根据原有的