2019-2020学年市一中高三第五次模拟考试数学（理）试题—附答案

2019-2020学年市一中高三第五次模拟考试数学试题（理科）（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数为纯虚数，若（为虚数单位），则实数的值为（ ）A. B. C. D.2.已知，则（ ）.A. B. C. D.3.若非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）.A. B. C. D. 4.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）.A. B.C. D.5. 已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差为（ ）A.1 B.2 C.4 D.66. 直线与圆相交于M，N两点，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.7.中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）A.种 B.种 C.种 D.种8.函数的图象大致是（ ）A. B.C. D.9.设，满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）A. B. C. D.10.我国古代数学名著九章算术中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似.执行该程序框图，若输入的分别为14，18，则输出的等于（ ）A.2 B.4 C.6 D.811. 设是一个正整数，在的展开式中，第四项的系数为，记函数与的图象所围成的阴影部分面积为，任取，则点恰好落在阴影区域内的概率是（ ）.A. B. C. D.12.已知函数，当时，函数在，上均为增函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有_人.14.已知数列满足，那么成立的的最大值为_.15.已知函数，若在区间上单调递增，则的最小值是_.16.设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分，过原点作的平行线交于点，若，则的离心率为_.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答请写出必要的文字说明和演算步骤.）17.已知向量，设.（1）求函数的解析式及单调增区间；（2）在中，分别为角的对边，且，求的面积.18.自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）1415161718有生育意愿家庭数48162026（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择.求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；如果用表示两种方案休假周数之和.求随机变量的分布列及数学期望.19.在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由.20.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆C交于E，F两点，直线AE、AF，分别与y轴交于M，N点.（1）求椭圆C的方程；（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.21.已知函数.（1）当时，求证：若，则；（2）当时，试讨论函数的零点个数.选做题：请在以下两题中任选一题作答，若两题都做，则按第22题给分.22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，若曲线与相交于、两点.(1)求的值；(2)求点到、两点的距离之积.23. （1）已知实数满足，证明：.（2）已知a0，求证：a2.数学试题（理科）参考答案与解析12345678910ABDBBADBBA11.由二项展开式的通项公式，得，令r=3，则，所求概率.12.(-2，解析：因为函数在，上均为增函数，所以在，上恒成立，即在，上恒成立，令，则在，上恒成立，所以有，即a，b满足，在直角坐标系内作出可行域，其中表示的几何意义为点P(-2，2)与可行域内的点Q(a，b)两点连线的斜率，由图知，所以，即的取值范围为(-2，.13.120 14.5 15.116.解：设PT交x轴于点T，则，由OMPT，得，即，则，所以，又PT是的角平分线则，代入得，所以17.(1)，由可得，所以函数的单调递增区间为，.(2)，.由得，.18.解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为 （2）设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得.由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35.，因而的分布列为29303132333435P0.10.10.20.20.20.10.1所以.19.解：（1）设PA中点为G，连结EG，DG，PABE，且PA=4，BE=2，BEAG且BE=AG，四边形BEGA为平行四边形EGAB，且EG=AB.正方形ABCD，所以CDAB，CD=ABEGCD，且EG=CD，四边形CDEG为平行四边形EGDG.DG平面PAD，CE平面PADCE平面PAD.(2)如图，建立空间坐标系，则B(4，0，0)，C(4，4，0)，E(4，0，2)，P(0，0，4)，D(0，4，0)，设平面PCE的一个法向量为令x=1，则，.设PD与平面PCE所成角为，则.所以PD与平面PCE所成角的正弦值是.（3）假设存在点F(a，0，0)满足题意，则，.设平面DEF的一个法向量为，则，令x=2，则，所以.因为平面DEF平面PCE，所以，即，所以，故存在点F(，0，0)满足题意，且.20.解：（1）设椭圆C的方程为，椭圆的左焦点为点在椭圆C上，所以解得，b=2，所以椭圆C的方程为.（2）因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为. 因为直线与椭圆交于两点E，F，设点E()（不妨设），则点F，联立方程组消去y，得所以，则所以直线AE的方程为，因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N令x=0，得即点同理可得点所以设MN的中点为P，则点P的坐标为则以MN为直径的圆的方程为，即.令y=0，得，即x=2或x=-2.故以MN为直径的圆经过两定点，.21.解：（1）当m=1时，则则，令，得，当时，即函数在上为增函数，即当时，函数在上为增函数，即当时，.（2）由（1）和式知，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，即，（I）当时，又，由式得，即，函数在上为增函数，又，当时，当时，函数在上有且仅有一个零点x=0.（II）当时，）当时，函数在时单调递减，故时，函数在上无零点；）当时，由，得，函数在上单调递增，当时由函数零点存在性定理知使，故当时，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，又对，又当时，由，再由函数零点存在性定理知，使得综上