在解题教学中培养学生数学直觉思维能力.pdf

浙江师范大学2 o10 级教育硕士论文 在解题教学中培养学生数学直觉思维能力 e n h a n c i n gs t u d e n t s m a t hi n t u i t i v et h i n k i n g a b i i yi np r o b l e m s o l v i n gt e a c h i n g 宋红燕 导师 沈自飞张金良 浙江师范大学数理与信息工程学院 2 013 年3 月 i u l iii i i i i i i il i i i l i iu l liiiu i y 2 4 2 0 15 5 在解题教学中培养学生数学直觉思维能力 摘要 我国在新颁布的 普通高中数学新课程标准 中提出数学教学的一个重要目的和 一条基本原则是培养学生的创新意识和实践能力 纵观当今高中数学教学的现状 很 多教师惯用题海战术 填鸭式教学 这种教学方式不仅使学生苦不堪言 学习效率低 下 并且严重的降低了学生对学习数学的热情 这在某种程度上扼杀了学生在学习中 积极向上 勇于探索的创新精神 这也是与新课程标准提出的要求背道而驰的 通过教学实践的不断探索与总结 要改变高中数学教学的现状 在数学解题教 学中进行直觉思维能力的培养不失为一条有效途径 这种教学方式可以减轻学生的学 习负担 充分挖掘学生的学习潜力 同时可以激发学生的创新意识 文章就目前国内外专家学者对数学直觉思维的研究进行了综述 提出了在解题教 学中培养学生数学直觉思维能力的重要性及必要性 文中对数学直觉思维进行了界 定 认为数学直觉思维是指在数学活动中人脑对于数学对象迅速而直接的洞察或领 悟 它是直觉现象在数学领域的一种表现 并阐述了直觉思维的产生机制和特征 通 过对高一新生数学解题中直觉思维能力水平的实验调查 结合实例分析了影响学生数 学直觉思维能力的因素 论述了在解题教学中培养学生数学直觉思维能力应遵循的原 则 并此在理论的指导下提出数学直觉思维能力培养的策略 一是夯实双基 知识组 块 诱发学生直觉思维 二是整体观察 综合思考 引导学生直觉思维 三是数形 结合 开拓思路 促进学生直觉思维 四是类比联想 适当迁移 优化学生直觉思维 五是大胆猜测 合理想象 激活学生直觉思维 同时在实验班进行了教学实验 按照 提出问题一整体观察一利用直觉思考问题一直觉选择解决问题的方法一直觉后的 反思 的流程进行教学 通过实验表明 培养学生的数学直觉思维能力不仅可以提高学生的解题能力 而 且可以优化学生思维品质 提高学生的创新能力 关键词 解题教学 直觉思维数学直觉思维能力 e n h a n c i n gs t u d 日 j t s m a t hi n t u i t i v et h i n k t i n g a b i l i t yi np r o b l e m s o l v i n gt e a c h i n g a b s 眦c t a c c o r d i n g t ot h ed o c u m e n t t h en e wc u r r i c u l u ms t a n d a r d s f o rh i g hs c h o o l m a t h e m a t i c s a ni m p o r t a n to b j e c t i v ea n dab a s i cp r i n c i p l eo fm a t h e m a t i c st e a c h i n gi st o c u l t i v a t eas e n s eo fi n n o v a t i o na n dp r a c t i c a la b i l i t yo fs t u d e n t s f a c i n gt h ep r e s e n ts i t u a t i o n m a n yt e a c h e r si n v o l v es t u d e n t si nl a r g eq u a n t i t i e so f m a t he x e r c i s e s w h i c hm a k es t u d e n t s m i s e r a b l e t h i st e a c h i n gm e t h o di sh i g h l yi n p u tw i t hl o wo u t p u t s e v e r e l yd a m a g i n g p h y s i c a la n d m e n t a lh e a l t ho ft h es t u d e n t sa n di naw a ys t i f l i n gs t u d e n t s p o s i t i v e i n n o v a t i v es p i r i t t h e r e f o r e 1e x p l o r ea n ds u m m a r i z et h et e a c h i n gp r a c t i c ea n dh a v e s o m e t h i n gt os h a r e w i t ht h ep u r p o s eo fi m p r o v i n gs t u d e n t s l e a r n i n ge f f i c i e n c y a n d m a k i n gc l a s s e sm o r ee f f e c t i v e e n h a n c i n gi n t u i t i v et h i n k i n ga b i l i t ym a yp l a ya ni m p o r t a n t r o l ei nt a p p i n gt h ep o t e n t i a lo fs t u d e n t sa n ds t i m u l a t i n gt h e i rs e n s eo fi n n o v a t i o na n d t e a c h e r sc a nh e l ps t u d e n t sr e d u c et h eb u r d e no fl e a r n i n ga tt h es a m et i m e b a s e do nt h es t u d i e so nt h em a t hi n t u i t i v et h i n k i n gb o t ha th o m ea n da b r o a d w ec a n a p p a r e n t l yf i n d i tn e c e s s a r ya n di m p o r t a n tf o rh i g hs c h o o l st op a ym o r ea t t e n t i o nt o s t u d e n t s i n t u i t i v et h i n k i n ga b i l i t yo fm a t h e m a t i c s t h i sp a p e rd e f i n e si n t u i t i v et h i n k i n g a n dd e s c r i b e si t sc h a r a c t e r i s t i c sa n dh o wi tw a sf o r m e d t h r o u g has u r v e yo ft h ep r e s e n t s t a t u eo fh i g hs c h o o ls t u d e n t s m a t h e m a t i c si n t u i t i v et h i n k i n ga b i l i t y t h ep a p e ra n a l y z e s p o s s i b l ef a c t o r st h a ta f f e c tt h et h i n k i n go fm a t h e m a t i c a li n t u i t i o n t h u s r e l a t e ds t r a t e g i e s a r ep u tf o r w a r du n d e rt h eg u i d a n c eo ft h et h e o r yr e g a r d i n gt h i sa b i l i t y f i r s t l y i t i s f u n d a m e n t a lt oh e l ps t u d e n t sr e i n f o r c et h e i rb a s i ck n o w l e d g ea n dw a y so fw o r k i n go u t m a t hp r o b l e m s w h i c hc a ni n d u c es t u d e n t s i n t u i t i v et h i n k i n g s e c o n d l y i ti su n a v o i d a b l et o l e ts t u d e n t st h i n ka b o u tam a t hp r o b l e ma saw h o l e t h e r e f o r eg u i d i n gs t u d e n t st o u s e i n t u i t i v et h i n k i n g t h i r d l y w i t ht h ec o m b i n a t i o no fn u m b e r sa n ds h a p e s t e a c h e r sc a nb e s u c c e s s f u li np r o m o t i o no fs t u d e n t s i n t u i t i v et h i n k i n g f o u r t h l y b ym e a n so fr e a s o n i n ga n d s u m m a r i z i n g t e a c h e r sc a nb e t t e rs t u d e n t s i n t u i t i v et h i n k i n g l a s tb u tn o tl e a s t a s s o c i a t e d m e m o r yb ya n a l o g yc a ne n a b l es t u d e n t st ob ea c t i v ei ni n t u i t i v et h i n k i n g t os u mu p t h e e x p e r i m e n tih a v ec a r r i e do u ts h o w st h a ts t u d e n t so fm a t h e m a t i c si n t u i t i v et h i n k i n gs k i l l s c a nn o to n l yi m p r o v et h es t u d e n t sa b i l i t yt os o l v ep r o b l e m s b u ta l s oc a no p t i m i z et h e q u a l i t yo fs t u d e n t s t h i n k i n g k e y w o r d s t e a c h i n go fp r o b l e m s o l v i n ga b i l i t y i n t u i t i v et h i n k i n g i n t u i t i v et h i n k i n ga b il i t yo fm a t h e m a t i c s v 目录 摘要 i a b sif i a i 1 i i 目录 一v 一 问题的提出 一1 一 课题研究的背景 1 1 新课程标准的要求 一1 2 高中教育现状 一2 二 国内外研究综述 3 1 国外研究综述 一3 2 国内研究综述 一5 三 课题研究的意义 6 二 直觉思维的概述 8 一 直觉思维的界定 8 1 直觉思维 一8 2 数学直觉思维 一9 二 直觉思维的产生机制 9 1 直觉思维产生的生理基础 一9 2 直觉思维产生的心理机制 1 0 三 数学直觉思维的特征 1 1 1 思维过程的直接性 11 2 思维结构的整体性 1 2 3 思维方式的非逻辑性 12 4 思维结果的或然性 1 2 三 在解题教学中培养学生数学直觉思维能力的探究 1 3 一 培养数学直觉思维的意义 1 3 1 有利于增强学生的自信心 13 2 有利于促使学生形成良好的思维品质 13 3 有利于创新能力的培养 4 二 学生数学直觉思维能力的现状和分析 1 4 v 1 学生数学直觉思维能力水平的调查 14 2 学生数学直觉思维能力的实例分析 1 6 四 数学直觉思维能力培养的对策 2 0 一 数学直觉思维能力培养的原则 2 0 1 针对性原则 2 0 2 选择性原则 21 3 诱导性原则 2 2 二 数学直觉思维能力培养的策略 2 2 1 夯实双基知识组块诱发学生直觉思维 一2 3 2 整体观察综合思考引导学生直觉思维 一2 5 3 数形结合开拓思路促进学生直觉思维 一2 6 4 类比联想适当迁移优化学生直觉思维 一2 8 5 大胆猜测合理想象激活学生直觉思维 一3 1 三 重视直觉后的反思 3 2 四 结果分析 一3 5 参考文献 3 8 附录1 4 0 附录2 4 3 攻读学位期间取得的研究成果 4 6 致谢 4 7 浙江师范大学学位论文独创性声明 4 8 学位论文使用授权声明 一4 8 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 一4 9 v 问题的提出 直觉因其特异功能在社会和科学中的重要性日益受到人们的关注 应用领域也不 断扩大 它己成为哲学 思维科学 脑科学 创造心理学等学科共同研究的对象 苏 联哲学家凯德洛夫说过 每一个创造性行为都必须依赖于直觉活动 历史上牛 顿的苹果落地与万有引力 阿基米德解决的王冠之谜 小高斯的神速求和等 都是直 觉思维活动的结果 因此直觉思维在创造和发明中有非常重要的作用和意义 一 课题研究的背景 新课程标准的要求 我国在新颁布的 普通高中数学新课程标准 中提出数学教学的一条基本准则和 一个重要目的是培养学生的创新精神和实践能力 新课标还提出了 倡导积极主动 勇于探索的学习方式 教师在教学过程中要努力培养学生学习数学的兴趣 要引导 学生逐渐养成积极探索的学习习惯 新课标还要求我们应该致力于各种不同的教学方 式 如自主学习 探究活动等 让学生能够以不同的形式感受数学发现和创造的历程 培养他们的创新能力 同时 普通高中数学新课程标准 还把原来培养学生三大能力 中的 逻辑思维能力 改为 努力培养学生数学思维能力 其中包括 空间想象能力 直觉猜想能力 归纳抽象能力 符号表示能力 演绎证明能力 体系构建能力等诸多 方面 能够对客观事物中的数量关系和数学模式做出思考和判断 n 3 大纲中去掉 逻辑 二字 扩大和丰富了数学思维能力的内涵 而且是把 空间想象能力 直 觉猜想能力 放在首要位置 体现了现代教育实践观念的转变 同时也是现代教育对 学校数学教育提出了更高 更新的要求 在教材的编制中 文科班的 选修卜2 和理科班的 选修2 2 中第二章 推 理与证明 中新增了的 合情推理 的教学内容 主要是利用直觉思维解决问题 可 1 教育部考试中心 2 0 0 6 年普通高等学校招生全国统一考试大纲 文科 m 2 0 0 6 1 一 问题的提出 见 培养学生的直觉思维能力 是实施数学新课程教学的重要目标之一 近年来 高 校招生考试改革的一个重要方面是加强了对数学的创新能力和应用意识的考察 降低 了数学的机械式运算 公式的强制记忆要求 因此 在教学过程中 我们要引导学生 夯实双基 注重加强各部分知识之间的沟通 构建知识网络 并利用整体观察 数形 结合 合理猜想 类比联想等方式体会数学的整体性 感悟数学的本质 在教学中 一方面教师要注重培养学生的逻辑思维能力 另一方面还应该注重学生的观察力 直 觉力 想象力的培养 提高学生解决问题的能力 在高中数学新课标中 还明确提到要提高学生学习数学兴趣 帮助他们树立学习 数学的信心 使学生在数学活动形成积极向上 勇于探索的精神 直觉思维能力的培 养是实施新课程标准的一个重要目标 2 高中教育现状 诺贝尔奖获得者杨振宁对中 美的教学方法作了比较后指出 中国的教育重演绎 基础扎实 但缺乏创新 在国际奥林匹克竞赛中 中国学生取得优异成绩 而在诺贝 尔奖获得者中却很难看到中国人的身影 奥林匹克竞赛考察的是已知世界的内容 取 决于学生的是应试能力 而诺贝尔奖获得者探究的是世界的未知内容 取决于一个人 的创新能力 在应试教育下逻辑思维一直占据着主导地位 创新能力的培养一直未得 到重视 这个现象显然与时代发展和实施素质教育的要求是不相吻合的 因此我们的 数学方法和教学理念还需有大的转变 现在各高校把学生高考成绩作为选拔人才的主要依据 多数家庭把孩子进入理想 的大学看作是解决就业最有效 最直接的途径 社会各界把高考升学率作为衡量中学 办学质量的唯一指标 中学教育受到了很大压力 学校教育工作主要围绕高考展开 高中的教学自然成了应试教育 尤其对高中数学教师 学生数学成绩的高低对高考影 响极大 教师不得不为分数而战 为了能提高数学成绩 在复习中采用填鸭式的教学 模式 尽量让每节课的容量达到最大 并对所教的内容不断加深和拓展 教师为了赶 进度 缩短学生思考的时间 学生失去了直觉感恬的机会 课上极少进行师生互动教 学 课上学生只能被动的接受 数学课堂仍然以教师为中心 致使学生学习能力 思 一 问题的提出 维能力 创新能力缺乏 还有不少教师大搞题海战术 使学生苦不堪言 这种教学高 投入 低产出 严重的损害了学生的身心健康 题海战术在某种程度上己经扼杀了学 生积极向上 勇于探索的创新精神 高中数学教学的现状的形成与我国的国情有着必 然的联系 如何能摆脱高中教学的这种怪圈 这是摆在每一个教师面前的一个问题 通过在教学实践中的不断摸索与总结 要使学生提高学习效率 在数学解题教学中进 行直觉思维能力的培养不失为一条有效途径 这种教学方式可以减轻学生的学习负 担 充分挖掘学生的学习潜力 同时可以激发学生的创新意识 二 国内外研究综述 1 国外研究综述 直觉思维是人类常有的一种思维方式 自古以来 国内外许多学者专家对直觉思 维进行了大量广泛的研究 而最早提出直觉思维的是古希腊哲学家毕达哥拉斯 他认 为 思想高于感官 直觉高于观察 直觉思维在古代数学中起着主导作用 公元前 3 0 0 年 古希腊数学家欧几里德创立了欧式几何 而欧氏几何学中的五个公设都是通 过直觉思维提出来的 为建立起欧氏几何学这栋辉煌的大厦奠定基础 近代著名法国 数学家笛卡尔认为 在数学推理的每一步中 直觉力都是不可缺少的 到了中 世纪 人们热衷于探讨神的存在和属性 不再热衷于探讨科学真理 从而直觉思维被 蒙上了一层神秘的宗教色彩 随着科学技术不断的进步 社会的不断发展 人们逐渐摆脱了神学的束缚 现代 数学中荷兰著名数学家布劳威尔是直觉主义的创始人 他对直觉思维理论做出了巨大 贡献 他特别推崇数学直觉 并且认为数学是直觉经验 不是逻辑 还提出 人具有 先天的直觉能力 所有的数学对象都是人靠直觉领悟而构造出来的 的观点 虽然这 个观点是片面的 但它所强调的数学直觉的可构造性与可行性 对现代递归函数论的 建立和发展起了重要作用 特别对计算机数学的发展有着深远的影响 在上世纪3 0 年代 有越来越多的数学家开始关注 可构造性 的观点与方法和注重直觉思维 一 问题的提出 爱因斯坦也是直觉思维积极的支持者 他认为 如果没有直觉 年轻人就不知 从哪里入手去理解数学 他们不可能学会喜欢它 他们从中看到的只是空洞的玩弄的 辩论空话 特别是 如果没有直觉思维 他们数学实践的能力就可能很难得到发展 著名数学家庞加莱还很明确的指出了逻辑与直觉的互补关系 直觉思维和逻辑思维 分别有不同的必要的作用 两者缺一不可 唯有逻辑能给我们以可靠性 它是证明的 工具 而直觉则是发明的工具 庞加莱对直觉思维进行了详细的研究 强调直觉 与逻辑的对立性 又提出直觉作为平衡物可作为逻辑的纠正物 明确指出了数学直 觉与感官直觉 包括想象的直观不同 并提出了 纯粹数的直觉 的概念 一般地 说 按照庞加莱的观点 数学直觉就是对于数学对象内在的和谐与关系的直接的洞 察 基于此 庞加莱突出强调了直觉对于数学学习与数学创造的重要性 他说 没 有直觉 年轻人在理解数学时便无从着手 他们不可能学会热爱它 他们从中看到的 只是空洞的玩弄词藻的争论 尤其是 没有直觉 他们永远也不会有应用数学的能 力 庞加莱十分明确的强调了直觉与逻辑的互补性 逻辑和直觉各有其必要的作 用 两者缺一不可n 在上世纪五十年代 阿达玛在庞加莱的有关思想作了更深入的 研究 首先 他通过许多实例和自己亲身的实践 对庞加莱的观点作了充分的肯定 接着他又提出 第一 顿悟是数学发现的主要形式之一 第二 顿悟是先前的无意识 工作的明显证明 第三 上述的无意识活动的功能是指 它不仅是采取复杂的任务 以构建多种组合的思想最细微和最重要的选择 而且还需要我们通过审美原则进行感 悟及判断 第四 在有意识的思维活动和无意识的思维活动之间存在十分紧密的 合 作关系 与庞加莱的观点相比 阿达玛的论述具有更显示出了的方法论色彩 科学家在1 9 5 6 年提出了 人工智能 这一新理论 它的主要的观点是 计算机 可以像人类一样进行思考 其核心就是学习和利用人类的直觉思维能力 让计算机像 人类一样 能够做出直觉的判断 从思维的角度来看 人工智能不仅依赖于大脑的逻 辑思维 还要考虑直觉思维 这样人工智能才能有突破性的发展 在教育上 美国率先提出要重视直觉思维能力的培养 为了进行中小学数学与自 然科学课程改革 在上世纪中叶 美国科学院召开了由3 5 位的著名专家参加的具有 武建春 试论彭加勒的数学思想方法 j 内蒙古师范大学学报 2 0 0 6 一 问题的提出 重要意义的伍兹霍尔会议 在这个会议上把与会的学者们分成5 个工作小组 其中 第四小组就 直觉思维在学习和思维中的作用 专门讨论 会后 会议主席布鲁纳 在其著作 教育过程 一书中 第四章专门就直觉思维进行了分析和探讨 2 国内研究综述 近年来 我国有不少专家和学者对直觉思维及其培养进行了广泛研究和实践探 索 在数学教育类的著作及各类数学期刊杂志对这一课题也有论述 比如 田万海先 生在 数学教育学 的第五章中提到直觉思维数学思维的基本成分 并指出在研究数 学和学习数学时 数学思维都贯穿在发现问题和解决问题之中 解决数学问题是以逻 辑思维的形式为主要思维方式 而发现问题的过程中 除了逻辑思维形式外 直觉思 维占有相当的比重 刘云章和熊加兵编著的 数学活动中的直觉与灵感 中就从数学 活动中的直觉猜想 直觉构造 直觉启发 直觉洞察 直觉选择等方面进行较为详细 的研究 对直觉的概念 直觉的特点及直觉在科学中作用作了较为全面的阐述 郑毓 信教授在 数学方法论入门 提到直觉的产生是不可预期的 但直觉能力却是可培养 的 而培养对数学美的鉴赏能力是直觉思维的产生的一个重要环节 并对逻辑与直觉 自觉的思维活动与无意识的思维活动问的关系做了具体的分析和论述 张维忠教授在 数学课程和数学研究 中提出加强创新思维能力培养的重要途径是把逻辑思维能力 的培养与非逻辑思维能力的培养有机地结合起来 而直觉思维是非逻辑思维的一个不 可缺少组成部分 为研究本课题的必要性提供了理论基础 我国著名数学家徐利治和 吴文俊也对数学直觉思维提出了各自不同的看法 他们把数学直觉分为关联直觉 审 美直觉和辨别直觉三种不同的类型 在上世纪末刘奎林教授发表了一篇名为 灵感发 生论新探 的论文 该片论文在当时具有相当大的影响力 他从灵感的特征 灵感 的诱发及灵感的特性等方面出发 做了详细的阐述和说明 并根据他自己的观点提出 了一种称之为 潜意识推论 的理论 进而运用这种理论建立起 灵感发生模型 上述的各种观点中 存在一定的差异 各学者都是试图从某 倾 1 j 面或某一角度对直觉 做出解释 但是 经过研究发现 这些理论都拥有一个相同的观点 就是直觉思维是 大脑的一种自然思维方式 是客观存在的 它是一种以高度省略 简化 浓缩的方式 洞察问题实质的思维 其主要特征是能在一瞬问迅速的解决问题 与 一 问题的提出 著名科学家钱学森也提出了相类似的观点 直觉是一种人类在潜意识中对问题 的加工活动 是在潜意识中酝酿解决问题的方法 接着立刻与显意识沟通 于是突然 得到了所要解决问题的结果 而在整个过程中 我们并没有意识到具体过程 同时 他又提出与形象思维 逻辑思维同等的重要还有直觉思维 这说明培养学生的直觉思 维能力已是势在必行 刻不容缓的事情 三 课题研究的意义 数学直觉思维能力的培养顺应了时代的发展 随着信息时代的到来 社会不仅需 要知识丰富的人才 更需要具有创新能力和开拓精神的精英 拥有知识创新能力的人 已成为国家最重要的战略资源 直觉思维在人们的认识活动和创造活动中极为重要 越来越多的国家已把直觉思维的培养作为数学教学的一个重要部分 数学直觉思维的 研究已逐渐成为数学教育研究的热点问题 培养直觉思维能力是教育改革的方向 是 我国实施 科教兴国 战略的迫切要求 数学直觉思维能力的培养具有深远的现实意 义 数学直觉思维能力的培养有利于改变数学教育观 长期以来 教师对学生逻辑思 维的培养一直占主导地位 学生演绎推理的能力得到了充分的发展 而忽视了学生本 身智能的发展和创新精神的培养 学生缺乏大胆的猜想及直接判断的能力 对数学不 感兴趣 对数学的学习缺乏信心的培养 低估了数学直觉在智力开发中的作用 致使 学生缺乏丰富的想象 刻板被动的接受解题方法和解题思路 在学习过程中 毫无乐 趣可言 并导致学生产生厌学心理 这显然是不符合当今数学教育的要求 不符合当 今素质教育的要求 也不符合社会发展的需要 更不能适应新时期社会对人才的需求 因此培养直觉思维能力更加具有现实性和紧迫性 传统的教育所带来的失落促使着人 们反思并正视当今数学教育的现实 这种认识上的转变 将推动对学生思维能力的进 一步的思考 直觉思维因其具有灵活性和创造性日益受到人们的关注 在大力提倡进 行素质教育的今天 数学直觉思维能力的培养就成为我们现今教学的主要任务之一 不断发展直觉思维 进而促进其他思维的发展及其思维品质的提高 比如 直觉思维 的发展不仅可以带动学生的整体思维 发散思维 联想思维 类比思维等方面发展 一 问题的提出 而且还有助于学生创造能力的培养 有助于完善学生的能力结构 因此 我们教师必 须重视数学直觉思维能力的培养 改变教学观念 才能适应新时代的发展 数学直觉思维能力的培养有利于新课程理念的落实 高中的复习中搞 题海战 术 填鸭式 的教学已不适应思维能力的整体发展 也是与新课程标准提出的要 求背道而驰的 这一的弊端已被越来越多的人所关注 高中教学中直觉思维能力的培 养不仅可以促进学生对基本知识 基本技能 基本思想方法的掌握 同时可以对所学 的知识有进一步的理解和感悟 因此有意识 有计划地培养学生的直觉思维有利于教 学质量和升学率的提高 有利于培养具有创新能力的人才 这也就真正的将新课程理 念落到实处 在新课程背景下 直觉思维能力的培养是教学工作中一项长期而重要的任务 本 文在前人研究的基础上 对数学直觉思维的起源 发展 特点 结合高中数学教学的 实践 提出数学直觉思维培养的几个策略 通过有意识的引导学生整体观察 数形结 合 类比联想 归纳推理 类比联想等方式 提高学生的整体思维 优化学生的思维 品质 提高学生的创新能力 直觉思维的概述 直觉作为一种心理现象 伴随在我们的日常生活 学习及工作中 比如人们凭直 觉购买适合自己的衣服 小孩凭直觉判断电视屏幕上的 好人 与 坏人 学生凭 直觉理解 两点之间线段最短 的含义 关于直觉 存在两种不同的形式 直觉可作 为一种认识的结果 表示一种直觉的知识 另一种可作为一种思维方式 表示为一种 直觉思维 本文所要探讨的直觉是一种直觉思维 而不是一种认识的结果 一 直觉思维的界定 从古到今 人类对自身的思维方式的研究 通常认为形象思维和逻辑思维是大脑 的主要的思维方式 逻辑思维的思维过程主要借助于抽象概念进行推理 形象思维的 思维过程主要借助事物直观形象的表象解决问题 近年来 人们认为在基本的思 维方式中 除了逻辑思维和形象思维以为 还有与它们齐驱并进的直觉思维 1 直觉思维 直觉思维这个概念在教育学 心理学等著作 学术论文及多方面的期刊中被涉及 尽管它被广泛地 频繁地使用 而直觉到底是什么昵 自古以来的学者与专家们都有 不同的主张和定义 至今学术界没有明确的结论 心理学上的定义为 直觉思维是指人们在解决问题时 不经过具体的逻辑步骤只 凭感觉就能合理地对问题的答案做出迅速的推测或判断 就能获得正确的结论 任 樟辉教授认为 直觉思维是运用形象的直感及已有的知识组块 知识数量的单位 对 所要解决的问题作出迅速敏锐的推理和分析 并能发现解决问题的途径或方向的思维 方式心1 王仲春认为 直觉思维是越过思考的中间阶段 从整体上对待对象 对客观 世界及其关系的一种非常直接的猜想或识别的心理状态 直接接触到结论的一种心智 活动协1 齐振海认为 直觉思维是一种客观存在的思维形式 它是以简化浓缩 高度 1 王海坤 葛莉 数学直觉与合请推理对数学教学的意义 j 数学通报 2 0 0 5 2 任樟辉 数学思维理论f m 南宁 广西人民出版社 2 0 0 1 3 王仲春 数学思维与数学方法论 m 北京 高等教育出版社 1 9 8 9 二 直觉思维的概述 省略的方式洞察问题本质的思维n 1 田运指出 直觉思维是思维主体 人脑及存在于 其中的意识 相对独立的表现出自己作用的思维 而并不直接依靠思维材料和思维工 具瞳1 以上论述是从不同的方面对直觉思维进行了阐述 尽管对直觉的概念表述就不 尽相同 但都表明直觉思维是一种直接领悟的思维或认知 简单地讲 直觉就是直接 的觉察 它是人的大脑对客观事物的一种快速而直接的领悟或洞察 是人们思考某一 问题时 在头脑中无意识地突如其来地形成一种创造性设想 2 数学直觉思维 数学思维是人脑对数学对象 数量关系 结构关系 空间关系 在交互过程中按 照一般思维规律认识数学知识的内在理性活动 数学思维过程是思维者对外部的数学 信息的接受 分析 加工 选择和整合的过程 数学直觉思维是指在数学活动中思维 者对于数学对象敏锐的 直接的领悟或洞察 它是直觉现象在数学领域的一种表现 布鲁纳说 在数学问题解决过程中 直觉思维的作用是从两个方面来体现的 一方 面说某人是直觉思维 意思是指他用了很长时间去解决一个问题 突然间找到了解决 问题的方法 但是还必须为其提出合理的证明过程 另一种意义是当我们说一个人具 有较强的直觉思维能力时 意思是指即当他遇到某些事情需要及时解决时 他可以快 速地对问题的解决途径作出合理的猜想 洞察某事物的本质 或能够说出在几种解决 问题的方法中哪一种方法将更合理 更有效 二 直觉思维的产生机制 直觉思维产生的生理基础 现代脑科学的研究表明 人的大脑的左右半球在功能上具有显著差异 在机能 上有不同的分工 人脑左半球主要具有语言的 分析 逻辑 算术 抽象的思维功 能 是处理信息的 优势半球 右半球主要是实现非语言的视觉图像的感知和 分析 具有形象思维的功能 尽管分工不同 但是大脑始终是作为一个整体而工 1 齐振海 认识论新论 m 上海 上海人民出版社 1 9 8 8 2 田运 思维科学 m 杭州 浙江教育出版社 1 9 8 8 9 二 直觉思维的概述 作的 由于这项发现 美国神经心理学家斯佩里19 8 1 年获诺贝尔医学奖 现代神经脑科学的研究还揭示大脑的左右半球既有各司其职的分工 又通过胼胝 体相互作用 胼胝体是连结左右半球的横行神经纤维束 有连接左右半球全部皮质的 作用 由于胼胝体的结合功能 左右半球会共同发挥作用 它们可以联合起来进行思 维 或者是抽象的逻辑思维 或者是通过直观感知的形象思维 直觉思维既具有逻辑 思维的特征 有具有形象思维的性质 直觉思维的发生 发展 到思维结果的确认是 左右半脑互相作用 紧密配合 高度统一的结果 美国康奈尔大学教授卡尔 萨根根据斯佩里的实验材料进一步分析 他认为只 有通过大脑左右半球功能的结合 人类最有意义的科学 艺术的等方面的创造活动才 可能得以实现 萨根在分析凯库勒发现苯环结构式的创造活动时指出 这是一个人脑 的右半球的活动 而不是左半球的活动 是一个典型的图形识别练习 而不是分析 活动 他认为人类主要的科学知识在特性上都是通过直觉获得的 而直觉具有图形识 别的特色 因此这种创造活动主要来自于右半脑的功能 但是如果要论证创造活动所 得的结果是否正确有效还是要依赖左半球的组成部分 用上述思想萨根还来说明笛卡 尔的解析几何 解析几何是把代数方程和几何曲线结合起来 其根源是大脑的左右半 球功能结合的产物 其他学者的观点类似于萨根的观点 2 直觉思维产生的心理机制 心理学研究表明 直觉思维是一种意识活动 直觉思维的产生是基于逻辑思维之 上的 人们在自觉思维时出现的直觉 是有意识的逻辑思维的一个飞跃 而对于不自 觉思维出现的直觉 是产生于头脑的潜意识活动 此时 自觉的逻辑活动停止了 直 觉思维的全过程为 显意识一潜意识一显意识 潜意识是直觉和创造的基础 著名数学家彭加勒的观点是 潜意识的工作是 不自觉的工作 有意识的思考 是在 不自觉的工作 之后的 但有意识的思维对潜意识有启动作用 阿达玛在彭加 勒等人的观点基础上 在 数学领域中的发明心理学 中指出以潜意识为核心的数学 发明的心理过程 他认为整个创造可分成四个阶段 第一 准备阶段 是有意识的活 动 是新思想直觉闪现的前提 第二 酝酿阶段 从事研究的思想的潜伏期 是潜意 识的活动阶段 第三 顿悟阶段 是潜意识向意识的过渡 产生灵感 第四 整理阶 1 n 二 直觉思维的概述 段 是有意识的活动 是对顿悟所得到结果进行最后的定性和检验 彭加勒与阿达玛 关于数学发明的心理活动过程中的 潜意识活动 的理论 是心理学上顿悟形式的详 细解释 得到很多研究者的赞同 对现代心理学研究具有很大的影响 英国剑桥大学 贝弗里奇教授认为 对某一问题进行不自觉的思考时产生的直觉 很可能潜意识的头 脑仍再继续考虑这个问题 并突然找到一种重要的配合 潜意识的思考对产生自觉思 考时的新设想也能作出反应 就是把设想送进直觉的思考 三 数学直觉思维的特征 数学直觉思维的整个思维过程是对各种数学信息的快速加工的过程 是对数学问 题不经过反复思考的一种综合的判断 是一种发散性思维 学生在数学学习过程中经 常有一些突如其来的想法 有时表现为一种猜想 有时会提出一些意想不到的问题 有时表现为一种应急性的回答 有时会有对问题整体的一种判断 数学直觉思维带有 一定程度的预见性和猜测性 与逻辑思维和形象思维相比 数学直觉思维具有如下的 一些特征 1 思维过程的直接性 数学直觉思维是对数学对象的一种直接的洞察和领悟 是直接反映数学中的空间 关系 数量关系 结构关系 数学直觉思维的特征是什么 数学思维的直接性是数 学直接思维的基本特征 简单的回答 就是思维过程和结果的直接性 它不同于逻辑 思维 它不需要严格的演绎推理 也不同于形象思维 不是对数学问题的表象感知 它不需要经过反复思考 是一种发散式的思维 数学直觉思维以对问题全局的整体把 握为前提 主要表现在解决数学问题中时间的短暂性 思维过程和结果的跳跃性 数 学直觉思维能够便我们通过认识问题的外部特征 直接快速地认识问题的本质 例如 日 m口 己知a b m 都是正数 并且a 因为加盐后的浓度变大了 所以b 朋b 显然利用数学直觉思维能快速直接的解 决问题 2 思维结构的整体性 数学直觉思维是大脑对数学问题不经过反复思考而产生的一种综合性的判断行 为 思维形式的整体性是数学直觉思维的重要特征之一 直觉思维的产生要求思维者 把握全局 从总体上认识问题的关键之处 而不拘泥于某些细节 从整体上迅速洞察 问题的本质 尽管在某些细节上是模糊的 但它是依据事物最突出的特征来做出的整 体判断 为解决问题确定一个明确的方向 3 思维方式的非逻辑性 数学直觉思维的非逻辑性是区别于其他思维最主要的特征 直觉思维的产生不是 通过苦思冥想得来的 它不需要思维者进行概括 比较 推理等逻辑方法 数学直觉 思维的产生是突如其来的 是根据对数学对象的空间关系 数量关系 结构关系作出 的一种快速的直接的反应 事实表明 直觉的产生是在原有的常规思路中断后才产生 的 但它的产生要求思维者有足够的知识和经验 是以逻辑思维活动为前提的 4 思维结果的或然性 由于直觉的产生是突如其来的 通过直觉思维得到的结论只是一种揣测 尽管思 维者在总体上把握了问题的本质 但在进行直觉思维时 是对思维对象的高度省略 简化浓缩 在某些细节上的处理还是比较粗糙 还有很多地方没有考虑周全 尽管直 觉的结论具有创造性 但又不可避免的存在或然性 另外由于人们在知识经验上存在 差异 通过直觉思维得到的结果也会有差异 有的结果正确 有的结果错误 思维的 结果具有或然性 直觉缺乏论证的力量 它需要逻辑思维和实践加以检验 三 在解题教学中培养学生数学直觉思维能力的探究 一 培养数学直觉思维的意义 有利于增强学生的自信心 成功可以增强学生的自信 直觉的过程是建立在自信心的基础上的 直觉思维带 来的成就感一方面可以提高学生的学习兴趣 同时可以增强学生学习的自信心 在课 堂上 有意识的向学生提问 并要求他们凭借直觉给出答案 当学生回答正确的时候 给他带来的喜悦及成功感 可以激发他对数学的学习信心 并且可以持续的提高他对 学习数学的兴趣 也能提高他对学好数学这么学科的信心 比如 高斯在小时候能快 速的计算 1 2 3 9 9 1 0 0 这主要是通过他敏锐的直觉洞察力获得的 这对他 后来的成功有着深远的影响 因此 在教学过程中要善于引导学生的数学直觉思维 对学生通过直觉思维得到的正确结果要给予充分的肯定 让学生在解题中获得成功的 体验 当然 直觉思维也会给出错误的结论 让我们得到错误的结果 这就需要我们 去引导学生找出错误的原因 同时培养正确的直觉思维 绝不能打击学生的直觉的积 极性 挫伤学生的自信心 2 有利于促使学生形成良好的思维品质 直觉思维与思维者的思维品质紧密相连的 经常性的培养数学直觉思维 可以使 学生在解题过程中提高敏锐的洞察力 优化思维的敏捷性 可以使学生迅速识别条 件与结论的内在联系 深刻把握问题的本质 锻炼思维的深刻性 可以使学生从不同 的角度 不同的层面对数学问题进行综合的判断 促进了思维的广阔性 可以使学生 不受逻辑思维的约束 打破常规的思维方式 让学生的思维更具创造性 也可以使学 生对通过直觉得到的错误结果加以反思 从而培养了思维的批判性 因此 在数学解 题教学过程中 要把培养学生的数学直觉思维能力作为优化学生思维品质的一条重要 途径 通过这条途径 优化思维的敏捷性 深刻性 广阔性 创造性和批判性等 让学生形成良好的思维品质 1 三 在解题教学中培养学生数学直觉思维能力的探究 有利于创新能力的培养 直觉思维是大脑思维活动的多种思维方式中的一种 是一种自发的 突然的思维 活动 直觉思维具有思维的独创性 它能够突破传统思路的束缚 思维不按部就班 墨守成规 勇于创新 因此 在解题教学中培养数学直觉思维是提升学生创新能力的 一种有效途径 对学校教育来说 培养学生创新意识和创新能力 已成为全面推进素 质教育的重点 是发展学生主体作用的最高体现 是衡量教学成败的重要标志 作为 一名数学教育工作者 在重视知识的形成过程和发展过程中 要把培养学生的创新意 识和创新能力作为一个重要目的和基本原则 在数学解题教学过程中 要引导学生根 据已有知识 经验和方法 对问题广泛联想 积极探索 合理猜想 寻找规律 运用 直觉思维创造性地解决问题 二 学生数学直觉思维能力的现状和分析 对数学直觉思维的论述 目的是为了培养和提高学生的数学直觉思维能力 是为 了促进学生形成对问题进行直觉判断的意识 从而能够更好地使学生通过数学直觉思 维解决数学实际问题 那么目前高中生在数学直觉思维的现状如何呢 1 学生数学直觉思维能力水平的调查 1 实验目的 本次实验主要是为了了解高中生数学直觉思维能力水平的现状 从中分析学生学 习过程中存在的问题 探究培养学生数学直觉思维能力的途径和策略 从而调动学生 学习的积极性和主动性 帮助学生树立信心 增强创新意识 提高解决问题的能力 提高数学直觉思维能力 2 实验时间及对象 实验时间为2 0 10 年1 1 月2 0 同上午8 o o 一 o o o 是新生入学后的第一次期 中考试 调查对象为江苏省太湖高级中学高一 8 1 9 两个文科小班 这两个班 1 4 三 在解题教学中培养学生数学直觉思维能力的探究 的入学成绩相当 每个班3 0 人 之所以选择这个时候此时学生对高中内容有了一定 的了解 能够客观地反映出学生原有的思维方式 其次是高中进行了分科 本人带的 是文科班 小班教学是我校的特色教学 由于人数少 更有利于因人施教 实验更易 操作 下面把高一 1 8 定为对照班 实施传统的教学方式 把高一 1 9 定为实验 班 在解题过程中进行培养直觉的数学教学 3 测试试题的来源 为了了解高一新生的数学直觉思维能力的状况 测试试题取自于江苏省太湖高级 中学2 0 1 0 2 0 11 年度第一学期高一数学考试期中试题共计2 0 题 见附录1 其中第 1 题到第 14 题为填空题 第 15 题到第 2 0 题为解答题 大多数填空题 和部分解答题都能了解学生数学直觉思维方面的能力 因此能够比较客观地了解高中 生数学直觉思维能力的现状的全貌 4 结果 两个文科实验班期中考试试卷中第2 3 5 6 7 9 1 1 1 3 1 4 1 5 题的得 分率 两个班的十个测试题的得分率 表3 1 题号 2 求q 爿n g b 此题是解答题的第一题 是对 集合与简单不 等式 的考察 多数学生考虑直接求出q 彳和g b 在求g 4 时 根据补集的定义 由思维定势可知 只要把集合彳中不等式的 改为 即可 即集合c r 彳为不 等式 f 2 3 x l 2 0 的解集 对集合g 彳中的解答正确率较高 体现了思维定势积极 的意义 然而部分学生在求g b 时 由思维定势 同样把集合b 中不等式的 改 为 把q b 作为不等式l o g 3 一x 一2 的解集 然而这种解法是错误的 因为集 合a 中的x 有意