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直线平面平行的判定与性质 在面内找平行线 关键 找线所在的面 找两条相交直线 关键 找两组相交直线 1 线面平行 2 面面平行 温馨提示 请点击相关栏目 整知识 萃取知识精华 整方法 启迪发散思维 考向分层突破一 考向分层突破二 考向分层突破三 整知识 考点 分类整合 1 排列与组合的概念 结束放映 返回导航页 2 平面与平面平行的判定定理和性质定理 结束放映 返回导航页 整方法 面面平行判定的落脚点是线面平行 因此掌握线面平行的判定方法是必要的 判定线面平行的两种方法 1 利用线面平行的判定定理 2 利用面面平行的性质 即当两平面平行时 其中一平面内的任一直线平行于另一平面 1 平行间的三种转化关系 结束放映 返回导航页 2014 浙江六市六校联盟模拟 如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱aa1 底面abc ab bc d为ac的中点 aa1 ab 2 1 求证 ab1 平面bc1d 2 若bc 3 求三棱锥d bc1c的体积 考向一 直线与平面平行的判定与性质 1 证明 连接b1c 设b1c与bc1相交于点o 连接od 图略 四边形bcc1b1是平行四边形 点o为b1c的中点 d为ac的中点 od为 ab1c的中位线 od ab1 od 平面bc1d ab1 平面bc1d ab1 平面bc1d 解析 o 结束放映 返回导航页 2 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱cc1 aa1 又 aa1 平面abc 侧棱cc1 平面abc s bcd s abc bc ab vd bcc1 vc1 bcd cc1 s bcd 2 1 故cc1为三棱锥c1 bcd的高 a1a cc1 2 2014 浙江六市六校联盟模拟 如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱aa1 底面abc ab bc d为ac的中点 aa1 ab 2 1 求证 ab1 平面bc1d 2 若bc 3 求三棱锥d bc1c的体积 结束放映 返回导航页 a1 b1 c1 c b a e f 解析 1 证明 取ab1的中点g 连接eg fg f g分别是ab ab1的中点 e为侧棱cc1的中点 fg ec fg ec 四边形fgec是平行四边形 cf 平面ab1e g 同类练1 如图 三棱柱abc a1b1c1的侧棱aa1 底面abc acb 90 e是棱cc1的中点 f是ab的中点 ac bc 1 aa1 2 1 求证 cf 平面ab1e 2 求三棱锥c ab1e的高 fg bb1 fg bb1 cf eg cf 平面ab1e eg 平面ab1e 结束放映 返回导航页 2 三棱柱abc a1b1c1的侧棱aa1 底面abc bb1 平面abc acb 90 ac bc bb1 bc b ac 平面eb1c ac cb1 a1 b1 c1 c b a e 同类练1 如图 三棱柱abc a1b1c1的侧棱aa1 底面abc acb 90 e是棱cc1的中点 f是ab的中点 ac bc 1 aa1 2 1 求证 cf 平面ab1e 2 求三棱锥c ab1e的高 又ac 平面abc ac bb1 结束放映 返回导航页 解析 当m为pb的中点时 cm 平面pad df 平面pad cm 平面pad cm 平面pad cd ab cd ab fm cd fm cd 四边形cdfm为平行四边形 cm df 法一 取ap的中点f 连接cm fm df 则fm ab fm ab 变式练2如图 在四棱锥p abcd中 cd ab dc ab 试在线段pb上找一点m 使cm 平面pad 并说明理由 m f 结束放映 返回导航页 法二 在四边形abcd中 设bc的延长线与ad的延长线交于点q 连接pq cm cd ab qcd qba cqd bqa m为bp的中点 cm pq pq 平面pad cm 平面pad cm 平面pad cqd bqa c为bq的中点 q 同类练1 如图 三棱柱abc a1b1c1的侧棱aa1 底面abc acb 90 e是棱cc1的中点 f是ab的中点 ac bc 1 aa1 2 1 求证 cf 平面ab1e 2 求三棱锥c ab1e的高 结束放映 返回导航页 拓展练 三棱柱abc a1b1c1的底面为正三角形 侧棱a1a 底面abc 点e f分别是棱cc1 bb1上的点且ec 2fb 点m是线段ac上的动点 当点m在何位置时 bm 平面aef 解析 法一 如图 1 取ae的中点o 连接of 过点o作om ac于点m 此点m即为所求 侧棱a1a 底面abc 侧面a1acc1 底面abc om 底面abc bm of 又of 平面aef bm 平面aef bm 平面aef 此时点m为ac的中点 又ec 2fb omfb 四边形ombf为矩形 b o 结束放映 返回导航页 线面平行的证明 1 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知平面平行的直线 2 利用几何体的特征 合理利用中位线定理 线面平行的性质 或者构造平行四边形 寻找比例式证明两直线平行 3 注意说明已知的直线不在平面内 即三个条件缺一不可 结束放映 返回导航页 例2 2013 陕西卷 如图 四棱柱abcd a1b1c1d1的底面abcd是正方形 o是底面中心 a1o 底面abcd ab aa1 1 证明平面a1bd 平面cd1b1 2 求三棱柱abd a1b1d1的体积 o d1 c1 d a b c a1 b1 o d1 c1 d a b c a1 b1 考向分层突破二 平面与平面平行的判定与性质 结束放映 返回导航页 跟踪训练 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 o为底面abcd的中心 p是dd1的中点 若q是cc1上的中点 证明 平面d1bq 平面pao d d1 a a1 b b1 c c1 p q o 证明 q为cc1的中点 p为dd1的中点 qb pa p o分别为dd1 db的中点 d1b po 又 d1b 平面pao po 平面pao qb 平面pao pa 平面pao d1b 平面pao qb 平面pao 又d1b qb b d1b qb 平面d1bq 平面d1bq 平面pao 结束放映 返回导航页 归纳升华 面面平行的证明方法 1 利用定义 即判断两个平面没有公共点 2 利用面面平行的判定定理 3 利用垂直于同一条直线的两平面平行 4 利用平面平行的传递性 即两个平面同时平行于第三个平面 则这两个平面平行 结束放映 返回导航页 考向分层突破三 平行关系的综合应用 例3 2014 合肥模拟 如图 abcd与adef为平行四边形 m n g分别是ab ad ef的中点 1 求证 be 平面dmf 2 求证 平面bde 平面mng 证明 1 如图 连接ae 则ae必过df与gn的交点o 连接mo 又be 平面dmf mo 平面dmf 所以be 平面dmf o 则mo为 abe的中位线 所以be mo 结束放映 返回导航页 2 因为n g分别为平行四边形adef的边ad ef的中点 所以de gn 又de 平面mng gn 平面mng 所以de 平面mng 又m为ab中点 所以mn为 abd的中位线 所以bd mn 又bd 平面mng mn 平面mng 所以bd 平面mng 又de与bd为平面bde内的两条相交直线 所以平面bde 平面mng 例3 2014 合肥模拟 如图 abcd与adef为平行四边形 m n g分别是ab ad ef的中点 1 求证 be 平面dmf 2 求证 平面bde 平面mng 结束放映 返回导航页 跟踪训练 如图所示 四边形efgh为空间四边形abcd的一个截面 若截面为平行四边形 1 求证 ab 平面efgh cd 平面efgh 2 若ab 4 cd 6 求四边形efgh周长的取值范围 解析 1 证明 四边形efgh为平行四边形 ef hg hg 平面abd ef 平面abd ef 平面abc 平面abd 平面abc ab ef ab ab 平面efgh 同理可证 cd 平面efgh 2 设ef x 0 x 4 四边形efgh为平行四边形 又 0 x 4 8 l 12 四边形efg
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