2017学年吉林省长春市吉大附中高三（上）9月月考数学试卷（理科）（含解析）

2016-2017学年吉林省长春市吉大附中高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1（5分）设集合，集合，则ABCD2（5分）已知函数，若（1），则实数等于ABC2D43（5分）已知，则ABCD4（5分）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是ABCD5（5分）命题“，且”的否定形式是A，且B，或C，且D，或6（5分）设、都是不等于1的正数，则“”是“”的A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件7（5分）若在上是减函数，则的取值范围是A，BC，D8（5分）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是ABCD9（5分）已知定义在上的奇函数，满足且在区间，上是增函数，则ABCD10（5分）函数的图象大致为ABCD11（5分）已知函数，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是A（2）B（2）C（2）D（2）12（5分）已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是A，BCD，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知，则的值为 14（5分）曲线在点处的切线方程为 15（5分）由曲线以及直线所围成的封闭图形的面积是 16（5分）已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于，两点，若点坐标为，求18（12分）已知函数，（1）若函数的值不大于1，求的取值范围；（2）若不等式的解集为，求的取值范围19（12分）已知函数（其中，的最小正周期为（1）求的值；（2）设，求的值20（12分）已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值和最小值21（12分）设函数（1）若在定义域内存在，而使得不等式能成立，求实数的最小值；（2）若函数在区间，上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围22（12分）已知函数，（1）证明：当时，；（2）证明：当时，存在，使得对任意，恒有；（3）确定的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有2016-2017学年吉林省长春市吉大附中高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1（5分）设集合，集合，则ABCD【考点】：并集及其运算【专题】51：函数的性质及应用【分析】求解不等式得出集合，根据集合的并集可求解答案【解答】解：集合，集合，集合，故选：【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题2（5分）已知函数，若（1），则实数等于ABC2D4【考点】：分段函数的应用【专题】51：函数的性质及应用【分析】利用分段函数，先求出（1），然后利用条件（1），建立方程关系进行求解即可【解答】解：由分段函数可知（1），（1）（2），即，解得故选：【点评】本题主要考查分段函数求值问题，利用分段函数的取值范围，直接代入即可，比较基础3（5分）已知，则ABCD【考点】：对数的运算性质【专题】11：计算题；15：综合题【分析】利用指数式的运算性质得到，由对数的运算性质得到，则答案可求【解答】解：，故选：【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题4（5分）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是ABCD【考点】52：函数零点的判定定理【专题】51：函数的性质及应用【分析】可得（2），（4），由零点的判定定理可得【解答】解：，（2），（4），满足（2）（4），在区间内必有零点，故选：【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题5（5分）命题“，且”的否定形式是A，且B，或C，且D，或【考点】：命题的否定【专题】：简易逻辑【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：，或，故选：【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础6（5分）设、都是不等于1的正数，则“”是“”的A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】：简易逻辑【分析】求解，得出，或根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可【解答】解：、都是不等于1的正数，即，或求解得出：或或，根据充分必要条件定义得出：“”是“”的充分条不必要件，故选：【点评】本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论7（5分）若在上是减函数，则的取值范围是A，BC，D【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案【解答】解：由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于在上是增函数且，所以，故选：【点评】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题即导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减8（5分）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是ABCD【考点】：函数的图象变换【专题】56：三角函数的求值【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于轴对称，根据对称轴方程求出的最小值【解答】解：函数的图象向右平移的单位，所得图象是函数，图象关于轴对称，可得，即，当时，的最小正值是故选：【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题9（5分）已知定义在上的奇函数，满足且在区间，上是增函数，则ABCD【考点】：奇偶性与单调性的综合【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可【解答】解：，即函数的周期是8，则（3）（1），是奇函数，且在区间，上是增函数，在区间，上是增函数，（1），即，故选：【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键10（5分）函数的图象大致为ABCD【考点】：函数的图象与图象的变换【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除，然后利用区特值排除和，则答案可求【解答】解：由于函数为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项，由当时，当时，由此可排除选项和选项故正确的选项为故选：【点评】本题主要考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，属于基础题11（5分）已知函数，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是A（2）B（2）C（2）D（2）【考点】：正弦函数的单调性【专题】2：创新题型；57：三角函数的图象与性质【分析】依题意可求，又当时，函数取得最小值，可解得，从而可求解析式，利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小【解答】解：依题意得，函数的周期为，又当时，函数取得最小值，可解得：，（2），又，而在区间，是单调递减的，（2）故选：【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题12（5分）已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是A，BCD，【考点】53：函数的零点与方程根的关系【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用【分析】求出函数的表达式，构造函数，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：，由，得，设，若，则，则，若，则，则，若，则即，作出函数的图象如图：当时，当时，故当时，有两个交点，当时，有无数个交点，由图象知要使函数恰有4个零点，即恰有4个根，则满足，故选：【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知，则的值为3【考点】：两角和与差的三角函数【专题】56：三角函数的求值【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可【解答】解：，可知，即，解得故答案为：3【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查14（5分）曲线在点处的切线方程为【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】11：计算题；33：函数思想；：定义法；53：导数的综合应用【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可【解答】解：而切点的坐标为曲线在处的切线方程为故答案为：【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题15（5分）由曲线以及直线所围成的封闭图形的面积是【考点】69：定积分的应用【专题】11：计算题【分析】要求曲线以及直线所围成的封闭图形面积，根据图形的对称性及定积分的几何意义，只要求即可【解答】解：由题意画出图形，如图所示，得由曲线以及直线所围成的封闭图形的面积是图中阴影部分的面积，与在第一象限的两个交点坐标分别为、根据图形的对称性及定积分的几何意义，阴影部分的面积所求封闭图形的面积为，故答案为：【点评】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积16（5分）已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是【考点】：函数的图象与图象的变换【专题】35：转化思想；：构造法；51：函数的性质及应用【分析】由题意可得，存在使，即在上有解，从而化为函数在上有零点，从而求解【解答】解：若函数与图象上存在关于轴对称的点，则等价为，在时，方程有解，即，即在上有解，令，则在其定义域上是增函数，且时，若时，时，故在上有解，若时，则在上有解可化为（a），即，故综上所述，故答案为：【点评】本题考查函数与方程的应用，根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键，综合性较强，难度较大三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于，两点，若点坐标为，求【考点】：参数方程化成普通方程【专题】：坐标系和参数方程【分析】（1）利用即可化为直角坐标系；（2）直线的参数方程化为普通方程代入圆的方程解出交点坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出【解答】解：（1）圆的方程为，即，圆的直角坐标方程（2）设，直线的参数方程为为参数），化为普通方程为：，代入上述圆方程消去得：，解得，【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的交点、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）已知函数，（1）若函数的值不大于1，求的取值范围；（2）若不等式的解集为，求的取值范围【考点】：绝对值不等式的解法【专题】17：选作题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用【分析】（1）不等式先化为，再去掉绝对值化为，从而得到解集（2）由题意得 不等式恒成立，故左边的最小值大于或等于，问题化为求左边的最小值，利用绝对值不等式的性质可得左边的最小值【解答】解：（1）由题意知，即，得取值范围是，（2）由题意得 不等式恒成立，即 恒成立，故的取值范围，【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题19（12分）已知函数（其中，的最小正周期为（1）求的值；（2）设，求的值【考点】：两角和与差的三角函数；：余弦函数的图象【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质【分析】（1）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式解出参数的值；（2）由题设条件，可先对，与进行化简，求出与两角的函数值，再由作弦的和角公式求出的值【解答】解：（1）由题意，函数（其中，的最小正周期为所以，即所以（2）因为，分别代入得及【点评】本题考查了三角函数的周期公式及两角和与差的余弦函数，同角三角函数的基本关系，属于三角函数中有一定综合性的题，属于成熟题型，计算题20（12分）已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值和最小值【考点】：三角函数中的恒等变换应用；：三角函数的周期性；：三角函数的最值【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将化为，即可求得函数的最小正周期；（2）可分析得到函数在区间上是增函数，在区间，上是减函数，从而可求得在区间上的最大值和最小值【解答】解：（1），函数的最小正周期（2）函数在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又，函数在区间上的最大值为，最小值为【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得是关键，属于中档题21（12分）设函数（1）若在定义域内存在，而使得不等式能成立，求实数的最小值；（2）若函数在区间，上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围【考点】：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）依题意得，求的最小值，就是求的最小值，利用导数研究函数的单调性，可以得到在上为减函数，在为增函数，即的最小值为，所以的最小值为1（2）解出，原题设即方程在区间，上恰有两个相异实根，令，这时只需解出在，上的值域，画出图象，可以得出的取值范围【解答】解：（1）要使得不等式能成立，只需求导得，定义域为，当时，函数在区间上是减函数；当时，函数在区间上是增函数，故实数的最小值为1（2）由得：原题设即方程在区间，上恰有两个相异实根设，列表如下： 0 1 2 0 1 减函数 增函数（2），（2）从而有，画出函数在区间，上的草图（如图）易知要使方程在区间，上恰有两个相异实根，只需：，即：，【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，本题比较新颖的地方是，求解（2）中的的取值范围，经过等价变换，只需求的值域，再根据图象，解出的取值范围在教学中，多加强训练和指导，以便掌握其要领22（12分）已知函数，（1）证明：当时，；（2）证明：当时，存在，使得对任意，恒有；（3）确定的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有【考点】：利用导数研究函数的最值【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用；59：不