厦门理工学院高数练习题答案第一章 函数与极限.doc

高等数学练习题 第一章 函数与极限_系_专业 班级 姓名_ _学号_第一节 映射与极限一选择题1.函数的定义域为 D （A）（0，1） （B）(0,1)(1,4) （C）(0,4) （D）2.的定义域为 C （A） （B）(0,3) （C） （D）3函数是 A （A）奇函数 （B）非奇非偶函数 （C）偶函数 （D）既是奇函数又是偶函数4下列函数中为偶函数且在上是减函数的是 D （A） （B） （C） （D）.二填空题1. 已知则 2 2. 已知则 3. 已知, 则 4. 求函数的反函数 5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成(1) ： (2) ：_ _三.计算题1设的定义域为, 求的定义域 解：的定义域为 的定义域为2.设 , 求, 并作出函数的图形.解： （ 图略 ）4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角（图1-22）。当过水断面ABCD的面积为定值时，求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深之间的函数关系，并指明其定义域。 ADBC图1-22b解： 5.收音机每台售价为90元，成本为60元。厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是定购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元.（1） 将每台的实际售价表示为订购量的函数（2） 将厂方所获的利润表示成订购量的函数（3） 某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？解： （1）（2） （3）（元）高等数学练习题 第一章 函数与极限_系_专业 班级 姓名_ _学号_第二节 数列的极限一、填空题1. 写出下列数列的前五项：(1) ：_ _ (2) ：_ _ (3)：_ _ (4) ：_ _ 2写出下列数列的通项：(5) (6) (7) , , 二、选择题：1下列数列中收敛的是 B （A） （B） （C） （D）三、证明题1根据数列极限的定义证明(1)解：由于 要使，只要，即，取 当时，有 所以 2若，证明。并举例说明：如果数列 | 有极限，但数列 未必有极限. 解：因为 所以 ，总存在，使当时，有 又因为 所以 即 例如 3设数列 有界，又，证明 解： 由于 有界，存在正数M，使对一切自然数n有 又 ，总存在，使当时，有 所以 即 高等数学练习题 第一章 函数与极限_系_专业 班级 姓名_ _学号_第三节 函数的极限一填空题 定义极限 任给 总存在 当 恒有 整数 时 或或 正数 二.证明题1 用极限的定义证明（1）解：对，要使，只要， 取， 当时，有 所以 2.设（1）作的图形（2）根据图形写出， ，（3）与存在吗？ 解：（1）作图如右 （2）， （3）， 不存在3.求当时的左、右极限，并说明它们在时的极限是否存在？ 解：， 所以 ， 所以 不存在高等数学练习题 第一章 函数与极限_系_专业 班级 姓名_ _学号_第四、五节 无穷小与无穷大, 极限运算法则一、填空题1若,则必有 D （A） （B）（C） （D）2当下列变量中是无穷小量的为 D （A） （B） （C） （D）3下列命题正确的是 D （A）无穷小量是个绝对值很小很小的数 （B）无穷大量是个绝对值很大很大的数（C）无穷小量的倒数是无穷大量 （D）无穷大量的倒数是无穷小量4变量在过程当( C )时为无穷大量（A） （B） （C） （D）5下列命题肯定正确的是 A （A）若存在,不存在,则必不存在.（B）与不存在,则必不存在.（C）若存在, 不存在,则必不存在.（D）若不存在,则必不存在.6若 ,求的值为 C （A）0 （B） （C）3 （D）2二、填空题(1)= _5 _ (2) =_ 0 _ (3) = _ (4) =_ _ (5) ) =_ 6 _ （6）= 0 (7) =_ 0 （8）=_ 2 （9）=_ _ （10）=_ 0 _三、计算题 （1） （2） = = = = （3） （4） = = = = = 高等数学练习题 第一章 函数与极限_系_专业 班级 姓名_ _学号_第六节 极限存在准则 两个重要极限一、选择题1下列极限中，正确的是 B （A） （B） （C） （D）2下列极限中，正确的是 D （A） （B） （C） （D）二、填空题1_ _ 2. _ 5 _3. =_ x _ 4._ _5. =_ 2 _ 6. =_ _三、计算题 1. 2. 解：原式 解：原式 = 0 3. 4. 解：原式 解：原式 四、利用极限存在准则证明 证：设 ， 而 ，由极限的收敛准则（1）（夹逼准则） 所以 高等数学练习题 第一章 函数与极限_系_专业 班级 姓名_ _学号_第七节 无穷小的比较一、填空题1当时，下列变量与为等价无穷小量的是 C （A） （B） （C） （D）2当时，与 相比，是 A （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）同阶无穷小 （D）等价无穷小3当时，若与等价, 则 C （A）1 （B）0 （C） （D）4当时，若, 则 A （A）1 （B）2 （C）3 （D）二、填空题1.=_ _ 2._ _ 3._ _ 4. _ _三、利用等价无穷小的性质,求下列极限 1. 解：原式2. 解：原式 = 3. 解：原式 =4. 解：原式 =高等数学练习题 第一章 函数与极限_系_专业 班级 姓名_ _学号_第八节 函数的连续性与间断点一、选择题1如果存在,则在处 C （A）一定有定义 （B）一定无定义 （C）可以有定义,也可以无定义 （D）一定连续2函数在点处有定义,是在处连续的 A （A）必要不充分条件 （B）非必要又非充分条件 （C）充要条件 (D) 充分又非必要条件3函数在点处左、右极限存在且相等，则它是在处连续的 B (A) 充分非必要条件 （）必要非充分条(C) 充要条件 （）既不是充分也不是必要条件函数间断点的个数为 B （A）1 （B）2 （C）3 （D）4设 在处连续，则 A （） （） （） （）二、填空题 1的连续区间是 2为使在处连续，则须补充定义 3函数的间断点为 ， ，可去间断点为 , ， 第一类间断点为 , , 第二类间断点为 4设 在处连续，则与应满足的关系是 三、计算题研究下列函数的连续性，并画出函数的图形.解：当时，是连续的；当时，是连续的。 当时， 所以 在处是连续的；故 在0，2是连续的。求下列函数间断点并判断其间断点类型，若是可去间断点，请补充定义使之连续（） 解：函数在没有定义，所以是函数的间断点。 由于 ，所以是函数的第一类间断点且为可去间断点；只要补充当时，就可使它连续。 又 ，所以是函数的第二间断点。（）解：， ， 不存在，高等数学练习题 第一章 函数与极限_系_专业 班级 姓名_ _学号_第九、十节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、填空题(1) =_ _ (2) =_ 0 _(3) = _ 0 _ (4) =_ _(5) =_ 0 _ (6) =_ _二、计算题1. 解：原式 = = = 2.解：原式 = 三、证明题1设, 求证区间内至少有一点,使.解：设 在上连续，又 ，由零点定理，在（0，2）内至少有一点使得即 2证明方程在内至少有一个实根. 解：设在上连续， 又， 由零点定理，在内至少有一点使得 即故 为方程在内至少有一个实根.高等数学练习题 第一章 函数与极限_系_专业 班级 姓名_ _学号_综合练习一、 选择题1设, 则 D （A） （B） （C） （D）2. 已知,则 B （A）2 （B） （C）3 （D）43若存在，则下列极限一定存在的是 B （A）(为实数)；（B） （C） （D）4设在点连续，且在的一去心领域内有，则 C （A） （B） （C） （D）5，则是的 D （A）可去间断点 （B）无穷间断点 （C）振荡间断点 （D）跳跃间断点6设