2017学年湖南省长沙一中高三（下）月考数学试卷（理科）（八）（含解析）

2016-2017学年湖南省长沙一中高三（下）月考数学试卷（理科）（八）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知复数（其中为虚数单位），则A1BCD2（5分）已知全集，集合，则下列结论正确的是ABCD3（5分）从2010名学生中选取50名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2010人中，每人入选的概率A不全相等B均不相等C都相等，且为D都相等，且为4（5分）已知命题是简单命题，则“是假命题”是“是真命题”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件5（5分）已知，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积等于A1BC2D6（5分）下边程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的，分别为385，105，则输出的A70B35C25D57（5分）若将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是A，B，C，D，8（5分）已知变量，满足，若目标函数取到最大值，则的展开式中的系数为ABCD9（5分）已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为A6B8C10D1210（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的外接球体积为ABCD11（5分）已知，直线与函数图象有10个不同的交点，记，则的值为A225B300C350D45012（5分）已知定义在上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是A（2）B（2）C（2）D（2）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于14（5分）在平面直角坐标系中，将曲线，直线，直线及轴所围成的面积，据此类比：将曲线，直线，直线及轴所围成的面积为15（5分）已知数列的首项，前项和为，且满足，则满足的的最大值是16（5分）已知函数与函数的图象共有个公共点，则三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在中，角，的对边分别为，（）若，成等比数列，求的值；（）若，等差数列，且，设的周长为，求的最大值18（12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回，消费额满100元有一次箱内摸奖机会，消费额满300元有一次箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金（）经统计，消费额服从正态分布，某天有1000为顾客，请估计消费额（单位：元）在区间，内并中奖的人数；（）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列；（）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次箱内摸奖机会；方法二：一次箱内摸奖机会，请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大附：若，则，19（12分）在边长为4的菱形中，点，分别是边，的中点，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成的角的正弦值20（12分）如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点，为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点（）若，求曲线的方程；（）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐进线上；（）对于（）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求与面积之和的最大值21（12分）已知函数（）若在区间上有极值，求实数的取值范围；（）若有唯一的零点，试求的值（注为取整函数，表示不超过的最大整数，如，；以下数据供参考：，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，在以原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线的极坐标方程为（）若直线与曲线有公共点，求的取值范围；（）设为曲线上任意一点，求的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知函数，（）当时，求的解集；（）若不等式的解集包含，求的取值范围2016-2017学年湖南省长沙一中高三（下）月考数学试卷（理科）（八）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知复数（其中为虚数单位），则A1BCD【考点】：复数的运算【专题】11：计算题；35：转化思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出的共轭复数，然后代入计算得答案【解答】解：由，得，则故选：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题2（5分）已知全集，集合，则下列结论正确的是ABCD【考点】：交、并、补集的混合运算【专题】37：集合思想；：集合；11：计算题；49：综合法【分析】可解出集合，然后进行交集，并集和补集的运算即可【解答】解：，；，或；，不是的子集；正确的结论为故选：【点评】考查描述法的定义，对数函数的定义域，以及交集、并集和补集的运算3（5分）从2010名学生中选取50名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2010人中，每人入选的概率A不全相等B均不相等C都相等，且为D都相等，且为【考点】：系统抽样方法；：概率及其性质【专题】11：计算题【分析】系统抽样的方法是一个等可能的抽样，故每个个体被抽到的概率都是相等的，由等可能事件的概率算出每个个体入选的概率即可【解答】解：从2010名学生中选取50名学生参加英语比赛，按系统抽样的方法抽取50人，由于系统抽样是一个等可能抽样故每个人入选的概率是故选：【点评】本题考查系统抽样的方法，解题的关键是理解系统抽样是一个等可能抽样，即每个个体被抽到的概率相等，由此算出每人入选的概率4（5分）已知命题是简单命题，则“是假命题”是“是真命题”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】38：对应思想；：简易逻辑；：定义法【分析】根据复合命题真假关系判断，的真假，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若是假命题，则是真命题，当是真命题时，是假命题，即充分性不成立，若是真命题则，是真命题，即是真命题，是假命题，则必要性成立，即“是假命题”是“是真命题”的必要不充分条件，故选：【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复合命题真假关系是解决本题的关键5（5分）已知，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积等于A1BC2D【考点】：数量积表示两个向量的夹角【专题】11：计算题；：平面向量及应用【分析】根据向量的数量积及其运算性质，结合题中数据算出且，得到、是互相垂直的单位向量由此算出、的模，利用三角形的面积公式加以计算，可得答案【解答】解：，展开化简得：，得又，即，结合得，得，可得、是互相垂直的单位向量因此，得的面积另解：向量与垂直且模相等，以向量、为邻边的平行四边形为正方形，即，故选：【点评】本题给出单位向量互相垂直，求与之相关的的面积着重考查了平面向量的数量积公式、向量的数量积的运算性质和模的公式和三角形的面积求法等知识，属于中档题6（5分）下边程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的，分别为385，105，则输出的A70B35C25D5【考点】：程序框图【专题】38：对应思想；：试验法；：算法和程序框图【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：若，则余数为70，即，则，余数为35，即，则，余数为0，即，满足条件输出，故选：【点评】本题主要考查程序框图的识别和运算，利用模拟运算法是解决本题的关键7（5分）若将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是A，B，C，D，【考点】：由的部分图象确定其解析式；：函数的图象变换【专题】11：计算题；44：数形结合法；57：三角函数的图象与性质；31：数形结合【分析】利用函数图象变换规律得出，由题意利用正弦函数的图象和性质即可得解【解答】解：根据函数图象的变换得出：函数，在，上有两个不同的零点，令，可得：，可得：，利用正弦函数图象性质得出，故选：【点评】本题主要考查的图象变换规律，数形结合解决问题，综合性较大8（5分）已知变量，满足，若目标函数取到最大值，则的展开式中的系数为ABCD【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；：二项式定理；：不等式【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用线性规划的知识先求出，然后利用二项式定理的内容进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大由，解得，即，代入目标函数得即目标函数的最大值为，的展开式中的系数为，故选：【点评】本题主要考查线性规划和二项式定理的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法综合性较强，有一定的难度9（5分）已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为A6B8C10D12【考点】：抛物线的性质【专题】38：对应思想；：定义法；11：计算题；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】当、三点共线时取最小值，结合图象即可求出【解答】解：抛物线的焦点，准线圆的圆心为，半径，过点作垂直准线，垂足为，由抛物线的定义可知，则当、三点共线时取最小值，故选：【点评】本题考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，考查转化能力，计算能力，属于中档题10（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的外接球体积为ABCD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】：立体几何；35：转化思想；44：数形结合法【分析】把该四棱锥可放入长方体中求出它的外接球直径，再计算外接球的体积【解答】解：由已知中的某四棱锥的三视图，可得：该几何体的直观图如下图所示：其俯视图为等腰直角，高为，把该四棱锥可放入长为1，宽为1，高为2的长方体中，它的外接球直径为，其外接球体积为故选：【点评】本题考查了几何体外接球的体积计算问题，是基础题11（5分）已知，直线与函数图象有10个不同的交点，记，则的值为A225B300C350D450【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】：平面向量及应用；：转化法；34：方程思想【分析】根据函数与方程之间的关系求出的值，以及的坐标，结合向量数量积的关系寻找关系进行求解即可【解答】解：由得或，即或，即，则，则，故选：【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据三角函数方程求出对应的坐标是解决本题的关键考查学生的计算能力12（5分）已知定义在上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是A（2）B（2）C（2）D（2）【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】33：函数思想；：构造法；52：导数的概念及应用【分析】先对求导，再令，求出的解析式，对于，构造函数，利用导数和函数的单调性的关系得到单调递减，得到，即，即（2），即可得到答案【解答】解：，（1），（1）（1），即，当时，解得：（1），设，恒成立，（2），即（2），故选：【点评】本题考查了导数的运算法则和导数和函数的单调性的关系，根据已知条件构造出辅助函数，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于【考点】：异面直线及其所成的角【专题】11：计算题；：空间角【分析】延长到，根据异面直线所成角的定义可知就是异面直线与所成的角，而三角形为等边三角形，可求得此角【解答】解：延长到，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，直三棱柱中，三角形为等边三角形，故答案为：【点评】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题14（5分）在平面直角坐标系中，将曲线，直线，直线及轴所围成的面积，据此类比：将曲线，直线，直线及轴所围成的面积为【考点】69：定积分的应用【专题】：转化法；35：转化思想；53：导数的综合应用；21：阅读型；11：计算题【分析】根据函数与函数的图象关于直线对称，将所求区域的面积转化为由曲线、直线、直线及轴所围成区域的面积，然后找出被积函数与被积区间，利用定积分可求出答案【解答】解：由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，曲线，直线，直线及轴所围成的面积等于曲线、直线、直线及轴所围成的面积，故所求区域的面积为故答案为：【点评】本题考查定积分的几何意义，解决本题的关键在于利用对称性将所求区域进行转化，考查推理能力与计算能力，属于中等题15（5分）已知数列的首项，前项和为，且满足，则满足的的最大值是9【考点】：数列的求和；：数列递推式【专题】49：综合法；35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】由项与前项的和的关系得数列是等比数列，可求，再由指数函数的单调性可得结果【解答】解：，两式作差得：，即，时，得，符合上式，数列是首项为1，公比为的等比数列，、8、9，的最大值是9故答案为：9【点评】本题考查了等比数列的前项和公式、项与前项的和的关系、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）已知函数与函数的图象共有个公共点，则2【考点】：函数的图象与图象的变换【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；51：函数的性质及应用【分析】关于对称，同理关于对称，如图所示，两个图象有且只有两个交点，即可得出结论【解答】解：由题意，函数，关于对称，同理关于对称，如图所示，两个图象有且只有两个交点，故答案为2【点评】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在中，角，的对边分别为，（）若，成等比数列，求的值；（）若，等差数列，且，设的周长为，求的最大值【考点】：正弦定理【专题】35：转化思想；：转化法；58：解三角形；57：三角函数的图象与性质【分析】（）根据等比数列的性质以及正弦定理进行化简求解即可（）根据等差数列的性质，结合正弦定理以及辅助角公式进行转化结合三角函数的图象和性质进行求解【解答】解：（）因为，所以，由，成等比数列，得，又由正弦定理，得，所以（）由角，成等差数列，得，又，有正弦定理，及，得，周长，当即时，所以周长（a）的最大值为6【点评】本题主要考查正弦定理的应用，利用等比数列和等差数列的性质结合辅助角公式进行转化是解决本题的关键综合性较强18（12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回，消费额满100元有一次箱内摸奖机会，消费额满300元有一次箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金（）经统计，消费额服从正态分布，某天有1000为顾客，请估计消费额（单位：元）在区间，内并中奖的人数；（）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列；（）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次箱内摸奖机会；方法二：一次箱内摸奖机会，请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大附：若，则，【考点】：离散型随机变量的期望与方差；：离散型随机变量及其分布列【专题】11：计算题；49：综合法；：概率与统计；35：转化思想【分析】（）依题意得，得，消费额在区间，内的顾客有一次箱内摸奖机会，中奖率为0.6由此能估计估计消费额（单位：元）在区间，内并中奖的人数（）三位顾客每人一次箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数服从二项分布，由此能求出的分布列（）箱摸一次所得奖金的期望值为，想摸一次所得奖金的期望值为，由此能求出这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大【解答】解：（）依题意得，得，消费额在区间，内的顾客有一次箱内摸奖机会，中奖率为0.6，人数约为人，其中中奖的人数约为人（）三位顾客每人一次箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数服从二项分布，故的分布列为： 0 1 2 3 0.064 0.288 0.432 0.216（）箱摸一次所得奖金的期望值为，想摸一次所得奖金的期望值为，方法一所得奖金的期望值为，方法二所得奖金的期望值为35，所以这位顾客选方法二所得的期望值较大【点评】本题考查中奖人数、离散型随机变量的分布列、期望值较大的求法，考查正态分布、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）在边长为4的菱形中，点，分别是边，的中点，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成的角的正弦值【考点】：平面与平面垂直；：直线与平面所成的角【专题】：空间角；14：证明题；31：数形结合；：空间位置关系与距离；41：向量法【分析】（）推导出，从而平面，由此能证明平面平面（）设，连接，以为原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成的角的正弦值【解答】证明：（）点，分别是边，的中点，菱形的对角线互相垂直，平面，平面，平面，又平面，平面平面解：（）设，连接，为等边三角形，在中，在中，平面，以为原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，得，令，得，设直线与平面所成的角为，则直线与平面所成的角的正弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点，为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点（）若，求曲线的方程；（）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐进线上；（）对于（）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求与面积之和的最大值【考点】：圆锥曲线的综合【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程；34：方程思想；48：分析法【分析】（）运用椭圆和双曲线的焦点坐标，可得，的方程组，解方程，即可得到，进而得到所求曲线方程；（）求得曲线的渐近线为，设直线，与椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，即可得证；（）因为，的中点为原点，所以和面积之和等于面积的两倍，由（）设直线的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式和点到直线的距离公式，三角形的面积公式，结合基本不等式可得所求最大值【解答】解：（），则曲线的方程为和；（）证明：曲线的渐近线为，设直线，则，设点，则，即点在直线上（）因为，的中点为原点，所以和面积之和等于面积的两倍，由（）知，曲线，点，设直线的方程为，设，由韦达定理：，所以，到直线距离，令，当且仅当即时等号成立，所以时，与面积之和的最大值为【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题21（12分）已知函数（）若在区间上有极值，求实数的取值范围；（）若有唯一的零点，试求的值（注为取整函数，表示不超过的最大整数，如，；以下数据供参考：，【考点】52：函数零点的判定定理；：利用导数研究函数的极值【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（）求出函数的导数，通过讨论的范围，结合函数的单调性，极值，从而确定的范围即可；（）通过讨论的范围，结合函数的单调性以及函数的极值判断即可【解答】解：（）函数的定义域为，令，则，当时，恒成立，在上为增函数，又，（1），函数在内有一个零点，且当时，时，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以在区间内有极小值当时，即时，恒成立，函数在单调递减，此时函数无极值，综上可得：在区间内有极值时实数的取值范围是，（）当时，得，不满足定义域，不存在当时，由（）知：若有唯一的零点为极小值点，所以，当时，函数的定义域为，由（）可知：（1）知时，又在区间上只有一个极小值点记为，且时，函数单调递减，时，函数单调递增，由题意可知：即为，消去可得：，即，令，则在区间上单调递增，又，由零点存在性定理知（2），（3），综上可得：【点评】本题考查了