（基础数学专业论文）进化博弈中的稳定性问题.pdf

摘要 众所周知，经典非合作博弈理论的主要缺陷是对理性的要求太高，它不仅要求 局中人自己是完全理性的，而且要求他的对手也是完全理性的。随着进化博弈理论 的发展，经典非合作博弈理论的缺陷得到了很好的解决。进化博弈理论不要求每个 局中入是完全理性的，而是只要求局中人是有限理性的。最先发展的进化博弈理论 模型是单群体模型，对这一模型得到了几个好的结果，如：进化稳定策略在复制动 力学下是渐进稳定的，中性稳定策略在复制动力学下是l y a p u n o v 稳定的。然而，进 化稳定策略和中性稳定策略不一定存在，于是抛开进化稳定策略和中性稳定策略来 探讨n a s h 平衡策略的稳定性是一个值得研究的问题。 另外，在实际生活中，特别在经济生活中，存在着很多多群体模型。在多群体 模型中，一个策略组合在保号选择动力学下是渐进稳定的当且仅当它是严格n a s h 平衡。然而，在很多博弈中，没有严格n a s h 平衡，特别是扩展型博弈，通常只有 n a s h 平衡集，于是，在保号选择动力学下寻求一个渐进稳定的n a s h 平衡失去了意 义，我们只能退而求其次，探讨具有l y a p u n o v 稳定的n a s h 平衡，或者，抛开单个 n a s h 平衡，转向研究一个集合的稳定性。 本文首先在单群体模型中，研究了n a s h 平衡策略在多种动力学下的稳定性，得 出了n a s h 平衡策略在保号选择动力学下是l y a p u n o v 稳定的两个充分条件，以及 n a s h 平衡策略在复制动力学下是渐进稳定的充分必要条件。 接着在多群体模型中研究了单个n a s h 平衡的稳定性，得出了一个纯策略n a s h 平衡在保号选择动力学下是l y a p u n o v 稳定的充分条件，并得到了面在保号选择动力 学下是渐进稳定的一个新的充分必要条件。 最后研究了严格平衡集在保号选择动力学下的进化稳定性以及它与策略稳定的 关系。 关键词：渐进稳定，l y a p u n o v 稳定，严格平衡集，面，策略稳定，s p s 动力学， 复制动力学。 s u m m a r y ni sw e l lk n o wt h a tt h ei m p o r t a n ts h o r t c o m i n go fe l a s s i c a ln o n - c o o p e r a t i v eg a m e t h e o r yi st h er a t i o n a l i s t i cf o u n d a t i o n n o to n l yi si tr e q u i r e dt h a ta g e n t sb eo p t i m i z e r s ，b u t i ta l s op r e s u m e sal a r g ed e g r e eo fc 0 0 r d i n a t i o no fd i f f e r e n ta g e n t s e x p e c t a t i o n s w i t ht h e d e v e l o p m e n to fe v o l u t i o n a r yg a m et h e o r y , t h ep u z z l eo fc l a s s i c a ln o n c o o p e r a t i v eg a m e t h e o r yh a sb e e nw e l ls o l v e d t h ed e m a n d i n go fe v o l u t i o n a r yg a m et h e o r yi sn o tc o m p l e t e r a t i o n ，b u ti sb o u n dr a t i o n t h ef a s td e v e l o p e dm o d e li st h es i n g l e p o p u l a t i o nm o d e l ， t h e r ea r eaf e wo fg o o dc o n c l u s i o n 也a th a v eb e e ns h o w n 。f o re x a m p l e ：e v o l u t i o n a r y s t a b l es t r a t e g yi sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ei nr e p l i c a t o rd y n a m i c s ；n e u t m ls t a b l es t r a t e g yi s l y a p u n o vs t a b l ei nr e p l i c a t o rd y n a m i c s h o w e v e r , e v o l u t i o n a r ys t a b l es t r a t e g yo rn e u t r a l s t a b l es t r a t e g yi sn o ta l w a y se x i s t e n c e 皿u si ti saw o n h yo fs t u d y i n gt od i s s c u s i o nt l l e s t a b l eo fn a s he q u i l i b r i u mw h i l ea b a n d o ne v o l u t i o n a r ys t a b l es t r a t e g ya n dn e u t r a ls t a b l e s t r a t e g y o nt h eo t h e rh a n d ，t h e r ea r eal o to fm u l t i p o p u l a t i o nm o d e li nr e a ll i v i n g , e s p e c i a l l yi ne c o n o m i ca p p l i c a t i o n i th a sb e e ns h o w nt h a tt h es t r a t e g yc o m b i n a t i o nm u s t b es t r i c tn a s he q u i l i b r i u mi fj ti sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ei ns p sd y n a m i c s h o w e v e qt h e r e a r en o ts t r i c tn a s he q u i l i b r i u mi n m a n yg a m e s e s p e c i a l l y , t h e r ea r eo n l yn a s h e q u i l i b r i u ms e t si ne x t e n s i v eg a m e s s oi ti sn o tm a k es e n s et 0s e a r c ha l la s y m p t o t i c a l l y s t a b l en a s he q u i l i b r i u mi ns p sd y n a m i c t h u sw ec a l lo n l yq u i ta s y m p t o t i c a l l ys t a b l e n a s he q u i l i b r i u ma n ds e a r c hn e wm e t h o d t h eo n ew a yi sw ec a ns e a r c ht h en a s h e q u i l i b r i u mo fl y a p u n o vs t a b l e t h eo t h e rw a yi sw ec a nt u mt os t u d yt h es t a b l eo fas e t w h i l ea b a n d o nt h es i n g l en a s he q u i l i b r i u m i nt h i sp a p e r , f i r s t l y , w es t u d yt h es t a b l eo fn a s he q u i l i b r i u mi naf e wo fd y n a m i c s ， t h i ss t u d yi sb u i l d e di ns i n g l e - p o p u l a t i o n w eg e tt w os u f f i c i e n c yc o n d i t i o nt h a tan a s h e q u i l i b r i u mi sl y a p u n o vs t a b l ei ns p sd y n a m i c sa n dw eg e tas u f f i c i e n c ya n dn e c e s s a r y c o n d i t i o nw h i c han a s he q u i l i b r i u mi sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ei nr e p l i c a t o rd y n a m i c s s e c o n d l y , t h es t a b l eo ft h es i n g l en a s he q u i l i b r i u mh a sb e e ns t u d i e das u f f i c i e n c y c o n d i t i o nh a sb e e ng e tt h a tap u r en a s he q u i l i b r i u mi s l y a p u n o vs t a b l e i ns p s d y n a m i c s 。a n dw eg e tan e ws u f f i c i e n c ya n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nw h i c ht h ef a c ei s a s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ，w h e r e a st h e s em o d e li sm u l t i - p o p u l a t i o nr o o d e l l a s t l yt h ee v o l u t i o n a r ys t a b l eo f 也es t r i c te q u i l i b r i u ms e t i ss t u d i e di ns p s d y n a m i c s w eg e ts o m er e a t i o na b o u tt h es t r i c te q u i l i b r i u ms e ta n ds t r a t e g ys t a b l e k e yw o r d s ：a s y m p t o t i c a l l ys t a b l e , l y a p u n o vs t a b l e ，t h es t r i c te q u i l i b r i u ms e t ，f a c e ， s p sd y n a m i c ，r e p l i c a t o rd y n a m i c s i i 第一章进化博弈论简介 进化博弈理论来自达尔文的生物进化理论，自二十世纪六十年代l e w o n t i n ”j 就 r 州1 用进化博弈理论来解释生态现象，在七十年代随着进化稳定策略( m a y a r ds m i t h 和p r i c e1 9 7 3 ；m a y a r ds m i t h l 9 7 4 ) 概念的提出，该理论逐渐被广泛地用于生态学 领域，八十年代随着对经典博弈理论研究的深入，许多经济学家把进化博弈理论引 入到经济学领域，应用于分析社会制度变迁，以及股票市场等等，同时对进化博弈 理论的研究也开始由对称博弈向非对称博弈深入，并取得了- 定的成果；进入九十 年代，尤其是1 9 9 2 年关于进化博弈理论的会议在康奈尔大学召开，进化博弈理论的 学术地位得到了正式认可，于是对进化博弈理论的研究进入了一个崭新的阶段，进 化博弈理论的应用得到了迅速的发展。 一。经典博弈理论的困惑 传统研究博弈理论的方法其假设基础是参与人具有完全理性，在该假设中，既 要求参与博弈的行为主体始终以实现其自身利益最大化为目标，又要求参与人具有 在确定和非确定性环境中追求自身利益最大化的判断和决策能力，不会犯错误，而 且还要求他们之间对彼此的理性能力深信不疑，即有理性的共同知识。事实上，人 们在参与市场竞争，面对大多数不确定性或者复杂的环境下作决策时，很难按照完 全理性假设的那样作出最优决策，同时也对竞争对手的理性问题保持怀疑态度。所 以在这种情况下，竞争的结果将不可能达到完全理性条件下的平衡，即使一开始实 现这种平衡，也会因为行为主体的理性局限而有偏离这种平衡的情况。因而，参与 竞争的行为主体的理性是有局限性的，完全理性的假设是不现实的。而经典博弈理 论在此基础上引入了博弈局中人之间的互动作用，从而使得理论与现实更为接近， 但还是没能跳出传统研究博弈理论的基本框架，他在预测博弈局中人的行为时存在 以下缺陷： 1 在做平衡分析时，经典博弈理论不但假设参与人是完全理性的，而且每个参 与人对博弈的结构及对方的支付有完全的了解，求解子博精炼n a s f i 平衡时所利用的 后向归纳法不但要求参与人是完全理性的，而且还要求序贯理性。显然这个比理性 概念要求更强的假定与现实相差太远。 2 经典博弈理论在处理不完全信息问题时有两种方法：( 1 ) 假定参与人知道“真 实模型”的结构，但模型中的各参数是不可观察的；( 2 ) 假定各参与人知道各种可 能状态客观的概率分布，给定一个先念信念，当出现任何新信息时，每个人都能够 应用贝叶斯法则修正自己的先念信念。这两种处理不完全信息的方法有三大缺陷： 其一，必须假定参与人知道博弈的各种可能状态；其二，必须假定参与人知道在随 机抽取状态上的客观概率分布；其三，必须假定参与人有很强的计算、推理能力， 且能够在一个大的状态空间上应用贝叶斯法则解决复杂问题。显然，这三个假定与 现实不符。 3 经典博弈理论作为预测工具的理论基础是n a s h 平衡及其精炼，它不但假设 参与人是完全理性的，而且要求每个参与人的预期满足一致性原则。所谓一致性原 则要求每个参与人正确知道其他参与人将会如何选择。然而，这些知识从何而来呢? 经典博弈理论对此有过许多研究并形成了几种共同的观点，如s c h e l l i n g 驯于1 9 6 0 年提出的聚点，他认为：如果博弈存在一个显式博弈规则，那么参与人知道其他参 与人将作出何种选择，但这种显式博弈规则又意味着什么呢? 又如a u m a n n 于1 9 9 0 年提出的博弈前的交流，m y e r s o n ”j 于1 9 9 1 年提出的自我实现预期。但他们都不能 说明参与人的知识从何而来因而缺乏说服力。 基于经典博弈理论对理性的假定的局限性，博弈理论的发展需要新的理论根据 来弥补其局限性，随着进化博弈理论的发展，这一问题得到了很好的解决。 二进化博弈理论的优势 由于研究方法和研究对象的不同，进化博弈理论有以下优点。 1 理性假定的优势。进化博弈理论从有限理性的个体出发，以群体为研究对象， 克服了经典博弈理论中对完全理性的苛刻要求。 “有限理性”概念的主要提倡者是诺贝尔经济学奖得主s i m m o n 3 ，有限理性意 味着行为主体只能知道世界状态的一部分而不能知道世界的所有状态，参与人也不 可能知道各种状态出现的客观概率及不同状态对自己支付的意义，从一开始参与人 往往不能作出最优决策，个体的决策是基于某种常规而非理性的计算结果，这种常 规来自于博弈的历史，因为历史已经包含了对手如何行动的相关信息，同时通过对 历史的观察有助于参与人知道什么是成功策略什么是不成功策略。 2 研究方法的优势。经典博弈理论以参与人个人为研究对象，他虽然认为个 人之间的行为是相互影响的，但却在假定其他参与人行为选择一定的情况下来考察 个人最优化行为。即使在非对称信息动态博弈中经典博弈理论也假定每个参与人都 2 能从对手的选择中正确地推断博弈的支付结构进而预测到平衡结果，所以不需要考 察达到平衡的动态过程。进化博弈理论以参与人群体为研究对象，假定各群体、个 体之间的行为相互影响且不同群体的个体之间进行重复博弈，个体在给定信息下并 不一定选择最优化行为，而是在博弈过程中学习、模仿和突变等动态过程不断寻找 较好策略，其平衡的结果依赖于博弈的历史。达到平衡的过程影响平衡的结果，因 而进化博弈理论主要利用动力学方法研究群体达到平衡的行为调整过程，这种方法 可以把从个体行为到集体行为的形成机制、，组织和制度等因素都纳入到模型中，因 此能更真实地反映主体行为的多样性和复杂性。 三进化博弈理论的主要内容 进化博弈理论主要是利用动力学的方法研究群体中的个体选择策略( 或策略 集) 的过程，从而进化博弈理论的主要内容是研究动力学和策略( 集) 。 1 动力学 进化博弈理论用系统论的观点看待群体行为的调整过程，主要研究群体行为演 化系统的变化，如何描述系统的状态变化是进化博弈理论的关键，对此搏弈理论家 和经济学家进行了广泛而深入的研究，根据他们考虑问题的角度不同而提出了不同 的动力学模型。 但到目前为止，应用最多的是复制动力学。复制动力学是选择过程的显性模型， 它说明种群是如何分配博弈中有联系的不同纯策略随时间而演化的。复制动力学的 数学公式是n h t a y l o r 和j o n k e r b 5 j 于1 9 7 8 年提出的。他们假定由随机配对的个体所构 成的一个大种群执行有限对策的两人博弈，个体仅仅采用纯策略。种群状态是指在 纯策略上的一个分布x 这种状态在数学上与经典博弈论中的混合策略是等价的。 如果博弈中的收益表示成生物学上的适应性，也就是后代的数目，同时每一个后代 继续其父母的策略，因此，采用纯策略的个体数目( 在大的种群中) 将以某一比率 指数增长，于是等于对纯策略e i 的预期收益“，x ) ，当执行着表示种群中当前策略 分布的混合策略x 时，采用任何纯策略e 的种群分布的增长率等于此策略的收益与 种群中平均收益的差。后者，等同于混合策略z 当与其自身博弈时的预期收益 “( 工，x ) 。一个单种群的对称两人博弈的复制动力学是： i d x l = z ) 一“b ，工嫩， 3 注意到，对当前种群状态x 的最优回应具有最高的增长率。第二最佳回应具有 第二高的增长率，如此等等。然而，虽然更成功的纯策略比欠成功的纯策略增长得 快，但是种群中的平均收益不必随时间而增长。产生这一原因的可能性是，如果一 个个体由采用最佳策略的个体所代替，那么遇见这个新个体的成员会得到比较低的 收益。例如，这正是囚徒困境博弈的情况，如果最初几乎所有个体采用“合作”， 那么个体中将逐渐地转向“抵赖”，从而平均收益将下降。然而，如果博弈在两个 人总是获得相等的收益意义上是一个双对称的，那么自然选择的基本规律将成立： 种群中收益随时间而增长，即使没有必要成为全局最大的。 复制动力学能够推广n n 人博弈的情况，这可以看成是来自于r 1 个种群中的个体 随机地以n 类型配对，其中每一个参与者的地位状况正女i n a s h 所给出的群体行为解释 的那样。目前，存在两种形式的r 1 种群复制动力学，其中一个是由t a y l o r 在1 9 7 9 年提 出的，另一个是由m a y n a r ds m i t h z 3 在1 9 8 2 年提出的。 复制动力学也能够推广到更加一般的情形，即正则选择动力学，正则选择动力 学中策略的增长不再是由某个策略所得支付与平均支付的差决定，而是由一个正则 增长率函数决定，所谓正则增长率函数是一个满足互补性的l i p s c h i t z 连续函数。 而根据正则增长率函数的不同，博弈理论家和经济学家发展了一些值得关注的动力 学，如1 9 9 2 年s a m u e l s o na n dz h a n g ”j 定义了群体单调选择动力学，1 9 9 7 年h o f b a u e r 和w e i b u l l 1 7j 定义了凸单调选择动力学，1 9 9 0 年n a c h b a r 2 6 j 定义了单调选择动力学 和保号选择动力学( s p s ) 。 2 策略及均衡的稳定性 进化博弈模型包括参与人群体集合，各群体个体之间进行重复匿名博弈，根据 个体在博弈中属于不同角色来划分群体。按博弈中群体数的不同可分为单群体模型、 多群体模型及有限群体模型。 ( 1 ) 单群体模型中的策略 单群体模型即假定重复地从一个无限大群体中随机抽取一对个体，也假定个体 原来采用一个特定的纯策略或混合策略，在博弈过程中同一群体不同个体之间进行 对称博弈，在博弈的任何阶段选择不同策略的个体对应于一个群体分布，该分布又 可理解为群体所取的状态，状态用k 维向量表示( k 表示策略空间中纯策略的个数) 。 在博弈时每个个体都好象面对一个选择混合策略的对手，其实质是个体与群体状态 之间的博弈。 4 单群体模型中最基本的概念是进化稳定策略，该概念最早由m a y n a r ds m i t h 和 p r i c e 2 2 j ( 1 9 7 3 ) 在解释生态现象时提出的，其直观思想是：假设某一全部选择某 一主导策略x e a 的大群体中一部分突变个体选择一个不同策略ye a ，设在群体中 突变的比例是s ，( o 1 ) ，假定一对个体是重复随机地来自于大群体，去参加一个对 称且有限的两人博弈，若一个个体被抽中，则他的对手采用主导策略x e a 的概率为 1 一s ，采用突变策略的概率是s ，则此个体所获得的支付等于他与一个采用混合 策略= 砂+ ( 1 一s k 的对手博弈所获得的支付，故采用主导策略x 的个体所获得 的支付等于雎g ，) ，采用突变策略的个体所获得的支付等于“( ) ，) ，若采用主导策 略工e a 的个体所获得的支付大于采用突变策略的个体所获得的支付，则突变者将改 变策略采用主导策略x e a 此主导策略称为进化稳定策略。 x e a 是进化稳定策略( e s s ) ，若v y c a ，y 工，存在一个i y e ( o j ) ，不等式 “b ，秒+ ( 1 一s 瑚，“ ) ，母，+ ( 1 一s m ，对任意s ( o ，i ) 都成立。 进化稳定策略具有很好的性质，1 9 7 9 年h a u f b a u e r 、s c h u s t e r 和s i g m u n d 1 5 j 证 明了进化稳定策略是局部占优的，1 9 8 7 年v a nd a m m e 【9 j 证明了由进化稳定策略构成 的对称n a s h 平衡是完美的，适度的，1 9 8 7 年v i c k e r s 和c a n n i n g s b 7 j 证明了进化稳 定策略有一致进入障碍。 进化稳定策略的定义是一个静态的概念，然而，却有很好的动态性质。 1 9 7 8 年t a y l o r 和7 0 n k e r 。利用相对熵函数证明了进化稳定策略在复制动力 学下是渐进稳定的。w e i b u l l 后来又证明进化稳定策略在所有的正则选择动力学下 是渐进稳定的。 但是由于进化稳定策略这一稳定标准要求太强，许多博弈没有进化稳定策略， 于是研究人员探讨了更弱的稳定标准。 其中1 9 8 2 年m a y n a r ds m i t h 定义了中性稳定策略：x e a 是中性稳定策略若 v y e a ，y z ，存在一个刁( o ，1 ) ，不等式“b ，e y + ( 1 一s b 2u f y ，e y + ( 1 一瑚，对任 意【d ，# ，j 都成立。 中性稳定策略也有比较好的动态性质。 1 9 8 5 年t h o m a s 【3 6 j 证明了中性稳定策略在复制动力学下是l y a p u n o v 稳定的。同 样w e i h u l l 后来又证明中性稳定策略在所有的正则选择动力学下是l y a p u n o v 稳定 的。 1 9 9 2 年s w i n k e l sl z 4 j 定义了相对于平衡进入稳健策略：策略x e a 是相对于平衡 进入稳健的，若存在；( 0 1 ) ，对v y ，x ，v s f o ，；1 ，有y 蓝五b + ( 1 一s 列。 但是相对于平衡进入稳健策略没有任何动力学的性质。 另外一种降低稳定标准的方法是从研究单个的策略稳定性转向研究策略集的稳 定性。在这方面，1 9 8 5 年t h o m a s ”1 提出了进化稳定集：非空闭集xc 是进化稳 定集，若对任意x e x 存在某个邻域u ，满足对任意y e u 有“g ，_ y ) u ( y ，y ) ，且若 y 诺z 有严格不等式成立。此定义要求一个集合具有进化稳定策略的特征。 ( 2 ) 多群体模型中的稳定均衡及稳定集 多群体模型假定有多个无限大群体，重复地从每个群体中随机抽取一个个体， 也假定个体原来采用一个特定的纯策略或混合策略，博弈可能是对称的，也可能是 非对称的，于是在这种模型下研究的是策略组合的稳定性。 多群体模型最基本的稳定是n a s h 平衡的进化稳定：策略组合z g o 是进化稳定 的，若对每个策略组合y z ，存在某个s ，e ( 0 , i ) 满足对任意s f o ，f ，1 ， ， = e y + ( 1 一b ，有不等式“，k ，( 1 1 一；) 甜；( y ，埘一；) 对某个f ，成立。 1 9 8 0 年s e l t e n 3 1 j 证明了多群体中策略组合石g o 是进化稳定的，则z g o 是严 格n a s h 平衡。1 9 9 5 年r i t z b e r g e r 和w e i b u l l 【2 7 j 证明在多群体模型中，一个策略组 合在保号选择动力学下是渐进稳定的当且仅当它是严格n a s h 平衡。然而，在很多博 弈中，没有严格n a s h 平衡，特别是扩展型博弈，通常只有n a s h 平衡集，于是，对 这一结论进行改进是必要的。 1 9 9 5 年r i t z b e r g e r 和w e i b u l l 【2 7 j 将在规范型博弈的进化选取抛开了n a s h 平衡 的选取，而是扩展到面的选取，一个面是指每个局中人的一个混合策略集的卡氏集， 其中每个局中人的混合策略集的所有混合策略的支撑集是该局中人纯策略集的子 集，在此定义下，一个最小的面为一个纯策略组合，而一个最大的面为整个混合策 略空间。另外，他们定义了一个弱优回应映射，一个弱优回应映射是指一个从混合 策略空间到纯策略空间的映射，其中，该纯策略所得支付不会少于当前支付。于是， 他们得出以下结论：对任意保号选择动力学，及任意x s ：面a ( x ) 是渐进稳定的， 当且仅当x 在弱优回应映射下是闭的。 1 9 9 4 年b a k e n b o r g e r 2 1 提出了严格平衡集，他们将严格n a s h 平衡扩展到严格 平衡集，一个严格平衡集是指对集中的任意策略组合，若单个局中人改变策略，则 或者他的支付严格减少，或者将形成严格平衡集中的另一n a s h 平衡。这一定义有 严格n a s h 平衡的特征。b a k e n b o r g e r 和s c h l a g 得出：严格平衡集在复制动力学下 是渐进稳定的。 ( 3 ) 有限群体中策略的稳定性 m a y n a r ds m i t h 提出的进化稳定策略概念的一个缺陷就是，他们为了在技术上 处理的方便而认为群体规模无限大，这个假定与现实尤其应用于解决经济问题时并 不相符。为了使理论与现实更接近，许多博弈论理论家对有限群体的平衡问题进行 h n l 了深入的研究。1 9 8 8 年s c h a f e r ”1 首次放弃群体规模无限大的假定，考察了有限规 模群体的进化稳定性并提出了有限群体进化稳定策略概念。他证明“在一般情况下， 有限群体进化稳定策略并不是n a s h 平衡策略”。1 9 8 8 年h a n s e n 和s a m u e l s o n 1 4 j 分 析了经济博弈的演化过程，并把有限群体进化稳定策略称之为“普遍生存策略”。 他们认为，在现实世界竞争中，未来的利润和可供选择的策略具有不确定性，这就 会阻碍企业选择最优策略，企业必须通过不断的试验、学习过程来寻求有利可图的 满意策略( 不一定是最优策略) 。1 9 8 9 年s c h a f e r 应用“普遍生存策略”来研究寡头企 业之间的竞争并得出结论：通过经济自然选择过程而得以生存下来的策略是相对的 而不是绝对的利润最大化策略。 以上所得到的平衡概念基本上是适应于单群体有限个体情形，并不适应于有限 r 一1 个体多群体博弈。1 9 8 8 年h o f b a u e r 和s i 舯u n d 咿。证明了“两群体对称博弈中不存在 r 一 混合策略进化稳定策略”。1 9 8 8 年s e l t e n 3 2 j 在考察了大量的两人对称博弈的基础上也 l 1 得出了类似的结论。1 9 9 2 年c r e s s m a n 驯定义了有限两群体非对称博弈的进化稳定策 略，1 9 9 6 年对他所定义的概念作了进一步说明。他认为，在复制动力学下，至少一 个群体的突变者所得到的平均支付少于选择稳定策略者所获得的支付，才能保证驻 点的渐近稳定性。2 0 0 0 年g a r a y 和v a r g a 认为，定义有限数目多群体的平衡概念应该 满足如下三点：其一是突变者不能侵入他自己的群体；其二是现有群体对来自外部 的随机冲击具有较强的抵抗力；其三是多群体进化稳定策略定义应该与非对称博弈 理论的基本结论一致。众所周知，复制动力学的渐近稳定集并不一定是进化稳定策 略。那么，哪一种动力学稳定概念等价于进化稳定策略呢? 1 9 9 0 年c r e s s m a n 6 j 指出， 在单群体条件下强稳定性等价于进化稳定策略那么多群体的进化稳定策略定义也应 7 该满足多群体稳定性概念等价于多群体化稳定策略。根据这个标准，2 0 0 0 年g a r a y 和v a r g a 定义了严格n 群体进化稳定策略概念。其定义如下： 策略组合p + ；憎：，p ；，p ：) s 称之为n 一群体进化稳定策略，如果对每一个 p 一，p ：，p 。) s p + ，v i e ( l 2 ，厅l p ；p ? ，存在0 c ? “( y ，y ) 。 定义2 1 3x c a 有一致进入障碍，若存在一个( o ，1 ) ，对v y c a ，y z ，不 等式“k ，+ ( 1 一s 瑚，“ ) ，e y + ( 1 一s m 对v s ( d ，；) 都成立。 进化稳定策略有以下两个特征： 引理2 1 4 1 1 5 】 x a 6 s s 当且仅当z 是局部优的。 引理2 1 5 b 7 jx a 8 当且仅当z c a 有一致进入障碍。 由于进化稳定策略这一稳定标准要求太强，m a y n a r ds m i t h 定义了以下更弱的 稳定标准。 定义2 1 6 x c a 是中性稳定策略( n s s ) ，若v y ，y ，工，存在一个 孑，( o ，1 ) ，不等式“k ，e y + ( 1 一s 瑚毫“ ) ，e y + ( 1 一s b 对任意s ( d ，i ) 都成立。 定义2 1 7x c a 是局部弱优的，若z c a 存在一个邻域u 使得对 y c u ，y x 有u ( x ，y ) “( y ，y ) 。 中性稳定策略有以下特征： 1 0 引理2 1 8 z s x “当且仅当工是局部弱优的。 定义2 1 9 策略x e a 是相对于平衡进入稳健的，若存在e ( 0 , 1 1 ，对 w 咄v s ( 。，；) 有y 圣鹏+ ( 1 一s 乩 2 2 ：动力学 本章将用到的重要的一个动力学是最优回应动力学( b r d ) 【2 ， ( m a t s u i ，1 9 9 2 ) 。 + z ： 0 ，a 。) 一 z ( o ) = z 鲁丽一工m ( 1 ) 最优回应动力学的直观意义如下： 在一个大群体中，在时间t 时的状态分布为工o ) ，在每个时刻，博弈局中人被 随机地抽取，进行两人对称博弈，局中人检查他们的策略，并调整策略，选择对目 前群体状态的最优回应丽0 0 ) ) 。 因为最优回应一般情况下不是唯一的，故这是一个微分包含，而不是一个微分 方程，易知( 1 ) 式的右边是策略空间s 。的一非空凸紧子集。 本章也将用到下列动力学。 定义2 2 i一个在a 上的正则选择动力学是一个微分方程系统 等= 五p h ，k 。 其中，：一r k , 满足：( 1 ) ，在上是l i p s c h i t z 连续。 ( 2 ) ，b b = o , v a a 。 根据p i c a r d l i n d e l o f 定理，对任意初始状态盯oc a ，此系统有唯一的解 盯g 盯。) ：尺一，口0 ，盯。) a 记为在时间f r 时的状态。 在进化博弈论中最好研究的正则选择动力学是复制动力学。 定义2 2 2 正则选择动力学是复制动力学，若满足： d j 出l = 始，仃) 一“p ，盯沿，v f k 。 s a m u e l s o n 和z h a n g ( 1 9 9 2 ) 定义了群体单调选择动力学。 定义2 2 3 一个群体单调选择动力学( a m s ) 是一个正则选择动力学，且满足：。 u ( y ，x ) u ( z ，x ) 一y f ( x ) z f ( x ) ，v y e a ，z e a 。 s a m u e l s o n 和z h a n g 证明，群体单调选择动力学能写成下列形式： 五p ) = q p 牡g ，盯) 一“p ，仃) j k 其中皑：a r + ，v i 6 k 。 复制动力学是群体单调选择动力学的特殊情形，即对v 仃，q p ) t 1 时， 群体单调选择动力学是复制动力学。 h o f b a u e r 和w e i b u l l 1 7 j ( 1 9 9 7 ) 定义了凸单调选择动力学。 定义2 2 4 一个凸单调选择动力学是一个正则选择动力学满足： m e ，盯有“g ，仃) cu ( a ，盯) 一，f p ) c ，p p 凸单调选择动力学比复制动力学更弱，他包含许多模仿动力学，如 c a b r a l e s ，w e i b u l l ，b j o r n e r s t e d t ，s c h a l a g 等提到的模仿动力学。 而且h o f b a u e r 和w e i b u l l ( 1 9 9 7 ) 证明下列结论： 定理2 2 5 1 7 j 在对称两人博弈中，若一个纯策略p s 是反复严格劣的，则 萍j x ( o ) e i n t ( a ) ，在凸单调选择动力学下有而o ) 一。0 。 定义2 2 6 一个单调选择动力学是一个正则选择动力学，且满足： a e a ，e ，e j ，有“g ，盯) c “b ，盯) 一，f p ) c ，p ) 。 定义2 2 7 一个保号选择动力学( s p s ) 是一个正则选择动力学，且满足： a e a ，e e s u p p ( c r 府s g n “b ，盯) 一“p ，盯) = s 龋眈p ) 。 注1 ：群体单调选择动力学( a m s ) 即是单调选择动力学又是保号选择动力学 ( s p s ) 。 定义2 2 8 一个闭集a c a 是l y a p u n o v 稳定的，若对任意a 的邻域b ，存在 a 的邻域b ”，满足v 盯o b ”n a ，t o ，有仃( f ，盯o ) e b 。 定义2 2 9 一个闭集aca 是渐进稳定的，若它是l y a p u n o v 稳定的，且存在 a 的某个邻域b ，满足v 盯oe b n ，有仃t ，盯o ) 一。a 。 2 3 ：n a s h 平衡策略的进化稳定 ( 1 ) n a s h 平衡策略在保号选择动力学下的进化稳定。 b o m z e ( 1 9 8 6 ) 【5 j 证明了若z 在复制动力学下是l y a p u n o v 稳定的，则 x a v e 。n a c h b a r j ( 1 9 9 0 ) 证明了若x 6 a 在单调选择动力学下是l y a p u n o v 稳定 的，则x e 哆。但是工”不一定在单调选择动力学或保号选择动力学下是 l y a p u n o v 稳定的，本章给出了n a s h 平衡策略在保号选择动力学下是l y a p u n o v 稳定 的一个条件。 定理2 3 若策略工是混合n a s h 平衡策略，满足： 当_ ) ，) ，扫g ) 且s u p p ( y ) s u p p ( x ) 1 j ，对任意e e s u p p ( x ) 有u ( e ，y ) “( y ，y ) 成 立i 则x e a 在保号选择动力学下是l y a p u n o v 稳定的。 证明：因茗是n a s h 平衡策略，贝u x e a 在保号选择动力学下是驻点。 对任意y ，定义y ( ) ，) 口。弘，贝| j 有了d r ( y ) 5 ，副y ( y ) a 令y 扛) 为满足以上微分方程的解，若隹卢仁) ，x 是n a s h 平衡策略，则有 “g ，z ) c “b ，x ) ，据保号选择动力学可知，f g ) c0 ，因五是连续的，故对任意 e 圣卢g ) ，对z 的一个足够小的邻域 ，存在一常数c ，0 ，对任意y u 有： 掣2 ，积2 五( ) ，) 一r ( y ) 毋( 1 ) 又因工是l i p s c h i t z 连续的，则存在一常数l 0 ，对任意z 1 ，z 2 ，存 在石的一个足够小的邻域厂。，当z 。u ，z 2 u 。时有： 芝m ( z - ) 一z ：五( z ：】蔓三芝卜l z 牡( 2 ) 一哥e 鄯 下面建立一个集合： 嘶) ；睁fy 删任意e e s u p p ( x ) z f f y “+ 等y ( ) ) 一纠 l o。 j 易知仁) 为z 的一邻域，下证对任意x 的一邻域u 。b ) = 侈i l y 一z 1cs ， 存在邻域屹g ) ，使圪0 ) u 。g ) 。 若y b ) ，当6 s u p p ( x ) 水j ，有) ，；_ x i ) 一丝6 ，当ez 隹s u p p b ) 时，则 x i ：0 ，同样有yr _ x i 一丝6 ，故对任意e i s 有： y 一x f = 。一_ ) ，) ck 一1 ) 等6 。( 在此k 为纯策略的个数) 由上可知，当6 西碉c 时，有0 ) u c 仁) 。 下证对任意x 的一邻域u 。g ) ，存在g ) ，y ( o ) e v 6 ( x ) 时，轨道移( f ) 不会 离开g ) 。 。 受j y a ，a m s u p p ( r ) _ cs u p p ( x ) 令m 一# s i 一诺卢仁) ，s u p p ( v ) _ m ，y ；( 1 - a ) r + 知，则有： s u p p ( v ) f ls u p p ( v ) 一g 。 则有下列等式成立： i y 。一f 1 = 2 a = 2 r ( y ) ( 3 ) 对e e s u p p ( x ) ，由已知条件有： r 西0 沮s u p p ( r ) cs u p p ( x ) 一对e s u p p ( x ) ：有u ( e z ，f ) 芑“( r ，r ) ，由保号选择动 力学可知五( r ) 芑0 ，再由( 2 ) 和( 3 ) 可知下列不等式成立： 一y l ( y ) 蔓一_ ) ，正( y ) 4 - k i 五( r ) s 工i y 一r i = 扛y ( ) ，) ( 4 ) 由( 1 ) 和( 4 ) 可知，对y u n u l 时有： yz ，f ( y ) ：一2 l _ d h - ) 令6 ) o 足够小，使对任意_ ) ，& ) 时，( 1 ) 和( 2 ) 同时成立，令轨道 y o ) ) 的 初始状态y ( o ) b ) 。若存在一t ，0 ，使轨道第一次离开仁) ，因对任意y 仁) ；f fd r ( y ) so ，故y ( y 仁) ) c6 ，对任意e r s u p p 0 ) 有： a t y 口) ( o ) = 纠y 洲y o ) 协智呜蛾：等o 洲。) ) ) 于是有： y p ) zy ，( o ) + e l ( y ( y 口) ) 一y ( y ( o ) ) ) x ，+ 丝r ( y 口) ) 一丝6 c cc 由上式可知y 口) g ) ，矛盾。故轨道 y e ) 不可能离开仁) 。 由以上证明可知石在保号选择动力学下是l y a p u n o v 稳定的，证毕。 注2 ：此定理的条件不同于中性稳定策略的条件。 1 4 例：两人对称博弈的支付矩阵a