高中数学 第二章 平面向量测评 新人教A版必修4.doc

第二章 平面向量测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如图所示,a,b,c是圆o上的三点,且三等分圆周,若oc=xoa+yob,则()a.x=y=-1b.x=y=1c.x=y=12d.x=y=-12解析以oa,ob为邻边作平行四边形obda,已知oc+od=0,所以oa+ob=od=-oc,因此x=y=-1.答案a2.(2018全国高考)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()a.4b.3c.2d.0解析a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.答案b3.已知集合m=a|a=(1,2)+(3,4),r,n=a|a=(-2,-2)+(4,5),r,则mn等于()a.(1,1)b.(1,1),(-2,-2)c.(-2,-2)d.解析设a=(x,y),对于m,(x,y)=(1,2)+(3,4),(x-1,y-2)=(3,4),x-1=3,y-2=4,x-13=y-24.对于n,(x,y)=(-2,-2)+(4,5),(x+2,y+2)=(4,5),x+2=4,y+2=5,x+24=y+25.由解得x=-2,y=-2,故mn=(-2,-2).答案c4.如图,在正方形abcd中,m是bc的中点,若ac=am+bd,则+=()a.43b.53c.158d.2解析以a为原点,ab所在直线为x轴建立直角坐标系,则a(0,0),b(1,0),c(1,1),m1,12,d(0,1),于是ac=(1,1),am=1,12,bd=(-1,1),所以1=-,1=12+,解得=43,=13,则+=53.答案b5.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则a+b在a上的投影为()a.1b.2c.277d.77解析a+b在a上的投影为(a+b)a|a|=|a|2+ab|a|=1+11=2.答案b6.如图,过点m(1,0)的直线与函数y=sin x(0x2)的图象交于a,b两点,则om(oa+ob)等于()a.1b.2c.3d.4解析设n(2,0),由题意知oa+ob=on,om(oa+ob)=omon=(1,0)(2,0)=2.答案b7.已知abd是边长为2的等边三角形,且ab+12ad=ac,则|cd|等于()a.32b.3c.323d.23解析设ad的中点为e,则abce是平行四边形,连接be,因为abd是边长为2的等边三角形,所以|cd|=|be|=322=3,故选b.答案b8.已知abc是正三角形,若a=ac-ab与向量ac的夹角大于90,则实数的取值范围是()a.12b.12d.2解析由已知可得aac0,即(ac-ab)ac0,因此|ac|2-abac0,若设正三角形abc边长为m,则有m2-12m22.答案d9.导学号68254096在abc中,ab=3,ac=2,若o为abc内部的一点,且满足oa+ob+oc=0,则aobc=()a.12b.25c.13d.14解析由oa+ob+oc=0可知o为abc的重心,于是aobc=13(ab+ac)(ac-ab)=13(ac2-ab2)=13.答案c10.在abc中,设ac2-ab2=2ambc,那么动点m的轨迹必通过abc的()a.垂心b.内心c.外心d.重心解析假设bc的中点是o,则ac2-ab2=(ac+ab)(ac-ab)=2aobc=2ambc,即(ao-am)bc=mobc=0,所以mobc,所以动点m在线段bc的中垂线上,所以动点m的轨迹必通过abc的外心.答案c11.(2018全国高考)在abc中,ad为bc边上的中线,e为ad的中点,则eb=()a.34ab-14acb.14ab-34acc.34ab+14acd.14ab+34ac解析如图,eb=-be=-12(ba+bd)=12ab-14bc=12ab-14(ac-ab)=34ab-14ac.答案a12.设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()a.23b.3c.6d.0解析设s=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4,若s的表达式中有0个ab,则s=2a2+2b2,记为s1;若s的表达式中有2个ab,则s=a2+b2+2ab,记为s2;若s的表达式中有4个ab,则s=4ab,记为s3.又|b|=2|a|,所以s1-s3=2a2+2b2-4ab=2(a-b)20,s1-s2=a2+b2-2ab=(a-b)20,s2-s3=(a-b)20,所以s3s2s1,故smin=s3=4ab.设a,b的夹角为,则smin=4ab=8|a|2cos =4|a|2,即cos =12,又0,所以=3.答案b二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量a+b与c共线,则实数的值为.解析由题可知a+b=(+2,2),又a+b与c共线,所以-2(+2)-2=0,所以=-1.答案-114.已知向量a=(1,m),b=(3,3),若向量a,b的夹角为3,则实数m的值为.解析因为ab=3+3m,且ab=231+m2cos3=3(1+m2),所以(3+3m)2=3(1+m2)2,解得m=-33.答案-3315.已知菱形abcd的边长为a,dab=60,ec=2de,则aedb的值为.解析ec=2de,de=13dc.菱形abcd的边长为a,dab=60,|da|=|dc|=a,dadc=|da|dc|cos 120=-12a2.db=da+dc,aedb=(ad+de)(da+dc)=ad+13dc(da+dc)=-da2+13dc2-23dadc=-a2+13a2+13a2=-a23.答案-a2316.在四边形abcd中,ab=dc=(1,1),1|ba|ba+1|bc|bc=3|bd|bd,则四边形abcd的面积为.解析由ab=dc=(1,1),可知四边形abcd为平行四边形,且|ab|=|dc|=2,因为1|ab|ba+1|bc|bc=3|bd|bd,所以可知平行四边形abcd的角平分线bd平分abc,四边形abcd为菱形,其边长为2,且对角线bd长等于边长的3倍,即bd=32=6,则ce2=(2)2-622=12,即ce=22,所以三角形bcd的面积为12622=32,所以四边形abcd的面积为232=3.答案3三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知a=(1,2),b=(-3,1).(1)求a-2b;(2)设a,b的夹角为,求cos 的值;(3)若向量a+kb与a-kb互相垂直,求k的值.解(1)a-2b=(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0).(2)cos =ab|a|b|=1(-3)+211+(-3)222+1=-5050.(3)因为向量a+kb与a-kb互相垂直,所以(a+kb)(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,因为a2=5,b2=10,所以5-10k2=0,解得k=22.18.(本小题满分12分)设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=7.(1)求a与b的夹角;(2)求|2a+3b|的大小.解(1)设a与b的夹角为.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12ab+4|b|2=7,因此9+4-12cos =7,于是cos =12,故 =3,即a与b的夹角为3.(2)|2a+3b|=|2a+3b|2=4|a|2+12ab+9|b|2=4+1212+9=19.19.导学号68254097(本小题满分12分)如图,在oab中,已知p为线段ab上的一点,op=xoa+yob.(1)若bp=pa,求x,y的值;(2)若bp=3pa,|oa|=4,|ob|=2,且oa与ob的夹角为60时,求opab的值.解(1)bp=pa,bo+op=po+oa,即2op=ob+oa,op=12oa+12ob,即x=12,y=12.(2)bp=3pa,bo+op=3po+3oa,即4op=ob+3oa,op=34oa+14ob.x=34,y=14.opab=34oa+14ob(ob-oa)=14obob-34oaoa+12oaob=1422-3442+124212=-9.20.导学号68254098(本小题满分12分)如图,m是矩形abcd的边cd上的一点,ac与bm交于点n,bn=23bm.(1)求证:m是cd的中点;(2)若ab=2,bc=1,h是bm上异于点b的一动点,求ahhb的最小值.(1)证明设cm=mcd,cn=nca,由题意知bn=23bm=23(bc+cm)=23(bc+mcd)=23bc+23mcd,又bn=bc+cn=bc+nca=bc+n(cb+cd)=(1-n)bc+ncd,23=1-n,23m=n,解得m=12,n=13.cm=mcd=12cd,即m是cd的中点.(2)解ab=2,bc=1,m是cd的中点,mb=2,abm=45,ahhb=(ab+bh)hb=-(ab+bh)bh=-abbh-|bh|2=-|ab|bh|cos(180-abh)-|bh|2=|ab|bh|cos 45-|bh|2=2|bh|-|bh|2=-|bh|-222+12,又0|bh|2,当|bh|=2,即h与m重合时,ahhb取得最小值,且最小值为0.21.(本小题满分12分)如图所示,在平面斜坐标系xoy中,xoy=60,平面上任意一点p关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若op=xe1+ye2(其中e1,e2分别为x轴、y轴同方向的单位向量),则点p的斜坐标为(x,y).(1)若点p在斜坐标系xoy中的斜坐标为(2,-2),求点p到原点o的距离.(2)求以原点o为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xoy中的方程.解(1)因为点p的斜坐标为(2,-2),所以op=2e1-2e2,所以|op|2=(2e1-2e2)2=4e12-8e1e2+4e22=8-811cos 60=8-4=4,所以|op|=2,即点p到原点o的距离为2.(2)设圆上动点m的斜坐标为(x,y),则om=xe1+ye2,所以(xe1+ye2)2=1,则x2e12+2xye1e2+y2e22=1,即x2+y2+xy=1,故所求圆的方程为x2+y2+xy=1.22.(本小题满分12分)已知正方形abcd,e,f分别是cd,ad的中点,be,cf交于点p.求证:(1)becf;(2)ap=ab.证明如图建立平面直角坐标系xoy,其中a为原点,不妨设ab=2,则a(0,0),b(2,0),c(2,2),e(1,2),f(0,1).