基本初等函数知识点.doc

指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算（一）根式的概念1、如果，且，那么叫做的次方根当是奇数时， 的 次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根2、式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，为任意实数；当 为偶数时，3、根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， （二）分数指数幂的概念1、正数的正分数指数幂的意义是：且0的正分数指数幂等于02、正数的负分数指数幂的意义是：且0的负分数指数幂没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数3、a0=1 (a 0) a-p = 1/ap (a0；pN*)4、指数幂的运算性质 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。二、指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意： 指数函数的定义是一个形式定义； 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1三、指数函数的图象和性质函数名称指数函数定义01函数且叫做指数函数图象01定义域值域（0,+）过定点图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况y1(x0), y=1(x=0), 0y1(x0)y1(x0), y=1(x=0), 0y1(x0)变化对图象影响在第一象限内，越大图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，越大图象越低，越靠近x轴在第一象限内，越小图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，越小图象越低，越靠近x轴注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b上，值域是或（2）若，则；取遍所有正数当且仅当（3）对于指数函数，总有（4）当时，若，则四、底数的平移对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。即“上加下减，左加右减”五、幂的大小比较常用方法（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。例如：y1=34,y2=35（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。例如：y1=（1/2）4,y2=34,（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向时，ax大于1，异向时ax小于1.对数函数及其性质一、对数与对数的运算（一）对数1对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（ 底数， 真数， 对数式）说明： 注意底数的限制，且；注意对数的书写格式两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数指数式与对数式的互化幂值 真数 N b 底数 指数 对数（二）对数的运算性质如果，且，那么： ； ； loga1=0 log a a=1 a log a N=N log a a b=b注意：换底公式（，且；，且；）推论(利用换底公式)； 二、对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：，且三、对数函数的图像和性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高在第一象限内，越大，图象越靠近x轴在第四象限内，越大，图象越靠近y轴在第一象限内，越小，图象越靠近x轴在第四象限内，越小，图象越靠近y轴四、对数的平移、大小比较与指数函数类似反函数一、反函数定义设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成二、反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式中反解出；将改写成，并注明反函数的定义域三、反函数的性质原函数与反函数的图象关于直线对称函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域若在原函数的图象上，则在反函数的图象上一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数幂函数及其性质一、幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数二、幂函数的图象三、幂函数的性质1、图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 2、过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 3、单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴4、奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶