高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2 求曲线的方程 2.6.3 曲线的交点学案 苏教版选修21.doc

2.6.2 求曲线的方程 2.6.3 曲线的交点学习目标1.了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程.2.掌握求两条曲线交点的方法.3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系知识点一坐标法的思想思考1怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题思考2依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？答案不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准梳理(1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法(2)解析几何研究的主要问题：通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质知识点二求曲线的方程的步骤1建系：建立适当的坐标系2设点：设曲线上任意一点m的坐标为(x，y)3列式：列出符合条件p(m)的方程f(x，y)0.4化简：化方程f(x，y)0为最简形式5证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上知识点三曲线的交点已知曲线c1：f1(x，y)0和c2：f2(x，y)0.(1)p0(x0，y0)是c1和c2的公共点(2)求两曲线的交点，就是求方程组的实数解(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点1x2y21(x0)表示的曲线是单位圆()2若点m(x，y)的坐标是方程f(x，y)0的解，则点m在曲线f(x，y)0上()3方程yx与方程y表示同一曲线()4曲线xy2与直线yx的交点是(，)()类型一直接法求曲线的方程例1一个动点p到直线x8的距离是它到点a(2,0)的距离的2倍求动点p的轨迹方程解设p(x，y)，则|8x|2pa.则|8x|2，化简，得3x24y248，故动点p的轨迹方程为3x24y248.引申探究若本例中的直线改为“y8”，求动点p的轨迹方程解设p(x，y)，则p到直线y8的距离d|y8|，又pa，故|y8|2，化简，得4x23y216x16y480.故动点p的轨迹方程为4x23y216x16y480.反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：建立恰当的平面直角坐标系；找出所求动点满足的几何条件(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列式；对所求的方程化简、证明特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化跟踪训练1已知两点m(1,0)，n(1,0)，且点p使，成公差小于零的等差数列求点p的轨迹方程解设点p(x，y)，由m(1,0)，n(1,0)，得(1x，y)，(1x，y)，(2,0)2(x1)，x2y21，2(1x)于是，成公差小于零的等差数列等价于即点p的轨迹方程为x2y23(x0)类型二相关点法求解曲线的方程例2动点m在曲线x2y21上移动，m和定点b(3,0)连线的中点为p，求p点的轨迹方程解设p(x，y)，m(x0，y0)，因为p为mb的中点，所以即又因为m在曲线x2y21上，所以(2x3)24y21.所以p点的轨迹方程为(2x3)24y21.反思与感悟相关点法求解轨迹方程的步骤(1)设动点p(x，y)，相关动点m(x0，y0)(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系(3)代入相关动点的轨迹方程(4)化简、整理，得所求轨迹方程跟踪训练2已知abc的两顶点a，b的坐标分别为a(0，0)，b(6,0)，顶点c在曲线yx23上运动，求abc重心的轨迹方程解设g(x，y)为abc的重心，顶点c的坐标为(x，y)，则由重心坐标公式，得所以因为顶点c(x，y)在曲线yx23上，所以3y(3x6)23，整理，得y3(x2)21.故abc重心的轨迹方程为y3(x2)21.类型三根据曲线的方程求两曲线的交点例3过点m(1,2)的直线与曲线y(a0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围解当过m点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点设直线方程为y2k(x1)(k0)，联立曲线方程，得消去x，得y2(2k)yka0.当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点(2k)24ka0.设方程的两根分别为y1，y2，由根与系数的关系，得y1y22k.又y1y2a，k2a，代入0中，得a24a(2a)0，解得0a.又k0，2a0，即a2.a的取值范围是(0,2).反思与感悟结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题若两曲线c1和c2的方程分别为f(x，y)0和g(x，y)0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定跟踪训练3已知直线y2xb与曲线xy2相交于a，b两点，若ab5，求实数b的值解设a(x1，y1)，b(x2，y2)联立方程组消去y，整理得2x2bx20.x1，x2是关于x的方程的两根，x1x2，x1x21.又ab，其中k2，代入则有ab5，b24，则b2.故所求b的值为2.1直线yx4与双曲线x2y21的交点坐标为_答案解析由得x2(x4)210，即2已知斜率为2的直线l经过椭圆1的右焦点f2，则直线l与椭圆的交点坐标为_答案(0，2)，解析因f2(1,0)，l方程为y2x2.由方程组解得或故所得交点坐标为(0，2)，.3直线1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是_答案xy10(x0，x1)解析设直线1与x，y轴交点为a(a,0)，b(0，2a)，a，b中点为m(x，y)，则x，y1，消去a，得xy1.a0，a2，x0，x1.4已知o的方程是x2y220，o的方程是x2y28x100，由动点p向o和o所引的切线长相等，则动点p的轨迹方程是_答案x解析设动点p(x，y)，则，化简整理得x.5m为直线l：2xy30上的一动点，a(4,2)为一定点，又点p在直线am上运动，且3，求动点p的轨迹方程解设点m，p的坐标分别为m(x0，y0)，p(x，y)，由题设及向量共线条件可得所以因为点m(x0，y0)在直线2xy30上，所以230，即8x4y30，从而点p的轨迹方程为8x4y30.求解轨迹方程常用方法：(1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法(4)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数一、填空题1点p(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点轨迹方程是_答案(x2)2(y1)21解析设中点的坐标为(x，y)，则相应圆x2y24上的点的坐标为(2x4,2y2)，所以(2x4)2(2y2)24，即(x2)2(y1)21.2已知02，点p(cos，sin)在曲线(x2)2y23上，则的值为_答案或解析由(cos2)2sin23，得cos.又因为02，所以或.3已知直线l：yxb与曲线c：y有两个公共点，则b的取值范围为_答案1，)解析在同一直角坐标系内作出yxb与y的图象，如图所示，可得b的范围为1b0.过点m作mbx轴，垂足是点b，则mfmb2，即y2，整理得x2(y2)2(y2)2，化简得yx2，所以所求曲线的方程是yx2(x0)13已知线段ab，b点的坐标为(6,0)，a点在曲线yx23上运动，求线段ab的中点m的轨迹方程解设线段ab的中点m的坐标为(x，y)，点a(x1，y1)，则得由题知点a(x1，y1)在曲线yx23上，所以2y(2x6)23，所以线段ab的中点m的轨迹方程为y2(x3)2.三、探究与拓展14过点p(0,1)的直线与曲线|x|1相交于a，b两点，则线段ab长度的取值范围是_答案2，4解析曲线|x|1