中考数学 专题突破导练案 第九讲 数学思想方法问题试题.doc

第九讲数学思想方法【专题知识结构】【专题解题分析】数学思想方法在中考中的常考点有分类讨论思想方法，数形结合思想方法，方程函数建模思想，化归思想方法以及代入法、消元法、待定系数法等；代数与几何的综合题所涉及的思想方法很多，以数形结合思想为主线，综合考查其他思想方法的灵活运用，难度较大，一般为中考中的压轴题.【典型例题解析】例题1: （2017江西）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数如图，根据刘徽的这种表示法，观察图，可推算图中所得的数值为3【考点】11：正数和负数【分析】根据有理数的加法，可得答案【解答】解：图中表示（+2）+（5）=3，故答案为：3例题2: （2017江西）如图，任意四边形abcd中，e，f，g，h分别是ab，bc，cd，da上的点，对于四边形efgh的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）a当e，f，g，h是各边中点，且ac=bd时，四边形efgh为菱形b当e，f，g，h是各边中点，且acbd时，四边形efgh为矩形c当e，f，g，h不是各边中点时，四边形efgh可以为平行四边形d当e，f，g，h不是各边中点时，四边形efgh不可能为菱形【考点】ln：中点四边形【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可【解答】解：a当e，f，g，h是各边中点，且ac=bd时，ef=fg=gh=he，故四边形efgh为菱形，故a正确；b当e，f，g，h是各边中点，且acbd时，efg=fgh=ghe=90，故四边形efgh为矩形，故b正确；c当e，f，g，h不是各边中点时，efhg，ef=hg，故四边形efgh为平行四边形，故c正确；d当e，f，g，h不是各边中点时，四边形efgh可能为菱形，故d错误；故选：d例题3：（2017山东枣庄）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以a为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点a外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）a2rbr3cr5d5r【考点】m8：点与圆的位置关系；kq：勾股定理【分析】利用勾股定理求出各格点到点a的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论【解答】解：给各点标上字母，如图所示ab=2，ac=ad=，ae=3，af=，ag=am=an=5，r3时，以a为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点a外恰好有3个在圆内故选b例题4：（2017湖南株洲）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点a（1，0）与点c（x2，0），且与y轴交于点b（0，2），小强得到以下结论：0a2；1b0；c=1；当|a|=|b|时x21；以上结论中正确结论的序号为【考点】ha：抛物线与x轴的交点；h4：二次函数图象与系数的关系【分析】根据抛物线与y轴交于点b（0，2），可得c=2，依此判断；由抛物线图象与x轴交于点a（1，0），可得ab2=0，依此判断；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，可得x2=2，比较大小即可判断；从而求解【解答】解：由a（1，0），b（0，2），得b=a2，开口向上，a0；对称轴在y轴右侧，0，0，a20，a2；0a2；正确；抛物线与y轴交于点b（0，2），c=2，故错误；抛物线图象与x轴交于点a（1，0），ab2=0，无法得到0a2；1b0，故错误；|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，x2=21，故正确故答案为：例题5：（2017江西）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据：单层部分的长度x（cm）46810150双层部分的长度y（cm）737271（1）根据表中数据的规律，完成以下表格，并直接写出y关于x的函数解析式；（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；（3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围【考点】fh：一次函数的应用【分析】（1）观察表格可知，y是x使得一次函数，设y=kx+b，利用待定系数法即可解决问题；（2）列出方程组即可解决问题；（3）由题意当y=0，x=150，当x=0时，y=75，可得75l150【解答】解：（1）观察表格可知，y是x使得一次函数，设y=kx+b，则有，解得，y=x+75（2）由题意，解得，单层部分的长度为90cm（3）由题意当y=0，x=150，当x=0时，y=75，75l150例题6：（2017重庆b）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值【分析】（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案【解答】解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400x7x，解得：x50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；（2）由题意可得：100（1m%）30+200（1+2m%）20（1m%）=10030+20020，令m%=y，原方程可化为：3000（1y）+4000（1+2y）（1y）=7000，整理可得：8y2y=0解得：y1=0，y2=0.125m1=0（舍去），m2=12.5m2=12.5，答：m的值为12.5【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出水果的销售总金额是解题关键例题7：（2017浙江衢州）如图，矩形纸片abcd中，ab=4，bc=6，将abc沿ac折叠，使点b落在点e处，ce交ad于点f，则df的长等于（）abcd【考点】pb：翻折变换（折叠问题）；lb：矩形的性质【分析】根据折叠的性质得到ae=ab，e=b=90，易证rtaefrtcdf，即可得到结论ef=df；易得fc=fa，设fa=x，则fc=x，fd=6x，在rtcdf中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6x）2，解方程求出x【解答】解：矩形abcd沿对角线ac对折，使abc落在ace的位置，ae=ab，e=b=90，又四边形abcd为矩形，ab=cd，ae=dc，而afe=dfc，在aef与cdf中，aefcdf（aas），ef=df；四边形abcd为矩形，ad=bc=6，cd=ab=4，rtaefrtcdf，fc=fa，设fa=x，则fc=x，fd=6x，在rtcdf中，cf2=cd2+df2，即x2=42+（6x）2，解得x=，则fd=6x=故选：b例题8：（2017重庆b）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2x与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c，对称轴与x轴交于点d，点e（4，n）在抛物线上（1）求直线ae的解析式；（2）点p为直线ce下方抛物线上的一点，连接pc，pe当pce的面积最大时，连接cd，cb，点k是线段cb的中点，点m是cp上的一点，点n是cd上的一点，求km+mn+nk的最小值；（3）点g是线段ce的中点，将抛物线y=x2x沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点d，y的顶点为点f在新抛物线y的对称轴上，是否存在一点q，使得fgq为等腰三角形？若存在，直接写出点q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y=（x+1）（x3），从而可得到点a和点b的坐标，然后再求得点e的坐标，设直线ae的解析式为y=kx+b，将点a和点e的坐标代入求得k和b的值，从而得到ae的解析式；（2）设直线ce的解析式为y=mx，将点e的坐标代入求得m的值，从而得到直线ce的解析式，过点p作pfy轴，交ce与点f设点p的坐标为（x，x2x），则点f（x，x），则fp=x2+x由三角形的面积公式得到epc的面积=x2+x，利用二次函数的性质可求得x的值，从而得到点p的坐标，作点k关于cd和cp的对称点g、h，连接g、h交cd和cp与n、m然后利用轴对称的性质可得到点g和点h的坐标，当点o、n、m、h在条直线上时，km+mn+nk有最小值，最小值=gh；（3）由平移后的抛物线经过点d，可得到点f的坐标，利用中点坐标公式可求得点g的坐标，然后分为qg=fg、qg=qf，fq=fq三种情况求解即可【解答】解：（1）y=x2x，y=（x+1）（x3）a（1，0），b（3，0）当x=4时，y=e（4，）设直线ae的解析式为y=kx+b，将点a和点e的坐标代入得：，解得：k=，b=直线ae的解析式为y=x+（2）设直线ce的解析式为y=mx，将点e的坐标代入得：4m=，解得：m=直线ce的解析式为y=x过点p作pfy轴，交ce与点f设点p的坐标为（x，x2x），则点f（x，x），则fp=（x）（x2x）=x2+xepc的面积=（x2+x）4=x2+x当x=2时，epc的面积最大p（2，）如图2所示：作点k关于cd和cp的对称点g、h，连接g、h交cd和cp与n、mk是cb的中点，k（，）点h与点k关于cp对称，点h的坐标为（，）点g与点k关于cd对称，点g（0，0）km+mn+nk=mh+mn+gn当点o、n、m、h在条直线上时，km+mn+nk有最小值，最小值=ghgh=3km+mn+nk的最小值为3（3）如图3所示：y经过点d，y的顶点为点f，点f（3，）点g为ce的中点，g（2，）fg=当fg=fq时，点q（3，），q（3，）当gf=gq时，点f与点q关于y=对称，点q（3，2）当qg=qf时，设点q1的坐标为（3，a）由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=点q1的坐标为（3，）综上所述，点q的坐标为（3，）或（3，）或（3，2）或（3，）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路径问题、等腰三角形的定义和性质，找到km+mn+nk取得最小值的条件是解答问题（2）的关键；分为qg=fg、qg=qf，fq=fq三种情况分别进行计算是解答问题（3）的关键【达标检测评估】一、选择题：1. （2017江西）如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中oa=ob若剪刀张开的角为30，则a=75度【考点】kh：等腰三角形的性质【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论【解答】解：oa=ob，aob=30，a=75，故答案为：752. （2017重庆b）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第个图形中一共有4颗，第个图形中一共有11颗，第个图形中一共有21颗，按此规律排列下去，第个图形中的颗数为（）a116b144c145d150【分析】根据题意图形得出小星星的个数变化规律，即可的得出答案【解答】解：4=12+2，11=23+2+321=34+2+3+4第4个图形为：45+2+3+4+5，第个图形中的颗数为：910+2+3+4+5+6+7+8+9+10=144故选：b【点评】此题主要考查了图形变化规律，正确得出每个图形中小星星的变化情况是解题关键3. （2017重庆b）如图，已知点c与某建筑物底端b相距306米（点c与点b在同一水平面上），某同学从点c出发，沿同一剖面的斜坡cd行走195米至坡顶d处，斜坡cd的坡度（或坡比）i=1：2.4，在d处测得该建筑物顶端a的俯视角为20，则建筑物ab的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin200.342，cos200.940，tan200.364）（）a29.1米b31.9米c45.9米d95.9米【分析】根据坡度，勾股定理，可得de的长，再根据平行线的性质，可得1，根据同角三角函数关系，可得1的坡度，根据坡度，可得df的长，根据线段的和差，可得答案【解答】解：作deab于e点，作afde于f点，如图，设de=xm，ce=2.4xm，由勾股定理，得x2+（2.4x）2=1952，解得x75m，de=75m，ce=2.4x=180m，eb=bcce=306180=126mafdg，1=adg=20，tan1=tanadg=0.364af=eb=126m，tan1=0.364，df=0.364af=0.364126=45.9，ab=fe=dedf=7545.929.1m，故选：a【点评】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出de，ce的长是解题关键4. （2017年江苏扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）a6b7c11d12【考点】k6：三角形三边关系【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案【解答】解：设第三边的长为x，三角形两边的长分别是2和4，42x2+4，即2x6则三角形的周长：8c12，c选项11符合题意，故选c5. （2017江苏盐城）如图，将函数y=（x2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点a（1，m），b（4，n）平移后的对应点分别为点a、b若曲线段ab扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）abcd【考点】h6：二次函数图象与几何变换【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出a、b两点的坐标，再过a作acx轴，交bb的延长线于点c，则c（4，1），ac=41=3，根据平移的性质以及曲线段ab扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出aa=3，然后根据平移规律即可求解【解答】解：函数y=（x2）2+1的图象过点a（1，m），b（4，n），m=（12）2+1=1，n=（42）2+1=3，a（1，1），b（4，3），过a作acx轴，交bb的延长线于点c，则c（4，1），ac=41=3，曲线段ab扫过的面积为9（图中的阴影部分），acaa=3aa=9，aa=3，即将函数y=（x2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，新图象的函数表达式是y=（x2）2+4故选d二、填空题：6. （2017重庆b）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从a地到b地，乙驾车从b地到a地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点a时，甲还需18分钟到达终点b【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达a站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达b站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案【解答】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，甲的速度是16=千米/分钟，由纵坐标看出ab两地的距离是16千米，设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得10x+16=16m，解得x=千米/分钟，相遇后乙到达a站还需（16）=2分钟，相遇后甲到达b站还需（10）=20分钟，当乙到达终点a时，甲还需202=18分钟到达终点b，故答案为：18【点评】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键7. （2017浙江衢州）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是a+6【考点】4g：平方差公式的几何背景【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解【解答】解：拼成的长方形的面积=（a+3）232，=（a+3+3）（a+33），=a（a+6），拼成的长方形一边长为a，另一边长是a+6故答案为：a+68. （2017浙江衢州）如图，正abo的边长为2，o为坐标原点，a在x轴上，b在第二象限，abo沿x轴正方形作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到a1b1o，则翻滚3次后点b的对应点的坐标是（5，），翻滚2017次后ab中点m经过的路径长为（+896）【考点】o4：轨迹；d2：规律型：点的坐标【分析】如图作b3ex轴于e，易知oe=5，b3e=，观察图象可知3三次一个循环，一个循环点m的运动路径为+=（），由20173=6721，可知翻滚2017次后ab中点m经过的路径长为672（）+=（+896）【解答】解：如图作b3ex轴于e，易知oe=5，b3e=，b3（5，），观察图象可知3三次一个循环，一个循环点m的运动路径为+=（），20173=6721，翻滚2017次后ab中点m经过的路径长为672（）+=（+896）故答案为（+896）9. （2017江苏盐城）如图，曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点o逆时针旋转45得到的，过点a（4，4），b（2，2）的直线与曲线l相交于点m、n，则omn的面积为8【考点】r7：坐标与图形变化旋转；g5：反比例函数系数k的几何意义【分析】由题意a（4，4），b（2，2），可知oaob，建立如图新的坐标系（ob为x轴，oa为y轴，利用方程组求出m、n的坐标，根据somn=sobmsobn计算即可【解答】解：a（4，4），b（2，2），oaob，建立如图新的坐标系（ob为x轴，oa为y轴在新的坐标系中，a（0，8），b（4，0），直线ab解析式为y=2x+8，由，解得或，m（1.6），n（3，2），somn=sobmsobn=4642=8，故答案为8三、解答题：10. （2017山东枣庄）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有50人，在扇形统计图中，m的值是30%；（2）将条形统计图补充完整；（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率【考点】x6：列表法与树状图法；vb：扇形统计图；vc：条形统计图【分析】（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m的值；（2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的情况数，即可求出所求概率【解答】解：（1）2040%=50（人），1550=30%；故答案为：50；30%；（2）5020%=10（人），5010%=5（人），如图所示：（3）52=3（名），选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学， 男1男2男3女1女2男1男2男1男3男1女1男1女2男1男2（男1男2）男3男2女1男2女2男2男3（男1男3）男2男3女1男3女2男3女1（男1，女1）男2女1男3女1女2女1女2（男1女2）男2女2男3女2女1女2所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，则p（一男一女）=11. （2017湖南株洲）如图示一架水平飞行的无人机ab的尾端点a测得正前方的桥的左端点p的俯角为其中tan=2，无人机的飞行高度ah为500米，桥的长度为1255米求点h到桥左端点p的距离； 若无人机前端点b测得正前方的桥的右端点q的俯角为30，求这架无人机的长度ab【考点】ta：解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】在rtahp中，由tanaph=tan=，即可解决问题；设bchq于c在rtbcq中，求出cq=1500米，由pq=1255米，可得cp=245米，再根据ab=hc=phpc计算即可；【解答】解：在rtahp中，ah=500，由tanaph=tan=2，可得ph=250米点h到桥左端点p的距离为250米设bchq于c在rtbcq中，bc=ah=500，bqc=30，cq=1500米，pq=1255米，cp=245米，hp=250米，ab=hc=250245=5米答：这架无人机的长度ab为5米12. （2017浙江衢州）“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算【考点】fh：一次函数的应用；fa：待定系数法求一次函数解析式【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x的函数表达式即可；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1y2时，15x+8030x，当y1y2时，15x+8030x，分求得x的取值范围即可得出方案【解答】解：（1）设y1=k1x+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，y1=15x+80（x0）；设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，y2=30x（x0）；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，解得x=；当y1y2时，15x+8030x，解得x；当y1y2时，15x+8030x，解得x；当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算13. （2017年江苏扬州）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差如图1，在abc中，ao是bc边上的中线，ab与ac的“极化值”就等于ao2bo2的值，可记为abac=ao2bo2（1）在图1中，若bac=90，ab=8，ac=6，ao是bc边上的中线，则abac=0，ocoa=7；（2）如图2，在abc中，ab=ac=4，bac=120，求abac、babc的值；（3）如图3，在abc中，ab=ac，ao是bc边上的中线，点n在ao上，且on=ao已知abac=14，bnba=10，求abc的面积【考点】ky：三角形综合题【分析】（1）先根据勾股定理求出bc=10，再利用直角三角形的性质得出oa=ob=oc=5，最后利用新定义即可得出结论；再用等腰三角形的性质求出cd=3，再利用勾股定理求出od，最后用新定义即可得出结论；（2）先利用含30的直角三角形的性质求出ao=2，ob=2，再用新定义即可得出结论；先构造直角三角形求出be，ae，再用勾股定理求出bd，最后用新定义即可得出结论；（3）先构造直角三角形，表述出oa，bd2，最后用新定义建立方程组求解即可得出结论【解答】解：bac=90，ab=8，ac=6，bc=10，点o是bc的中点，oa=ob=oc=bc=5，abac=ao2bo2=2525=0，如图1，取ac的中点d，连接od，cd=ac=3，oa=oc=5，odac，在rtcod中，od=4，ocoa=od2cd2=169=7，故答案为0，7；（2）如图2，取bc的中点d，连接ao，ab=ac，aobc，在abc中，ab=ac，bac=120，abc=30，在rtaob中，ab=4，abc=30，ao=2，ob=2，abac=ao2bo2=412=8，取ac的中点d，连接bd，ad=cd=ac=2，过点b作beac交ca的延长线于e，在rtabe中，bae=180bac=60，abe=30，ab=4，ae=2，be=2，de=ad+ae=4，在rtbed中，根据勾股定理得，bd=2，babc=bd2cd2=24；（3）如图3，设on=x，ob=oc=y，bc=2y，oa=3x，abac=14，oa2ob2=14，9