高三数学二轮复习 冲刺提分作业 第四篇 考前冲刺 突破6类解答题 理.doc

突破6类解答题一、三角函数问题重在“变”变角、变式与变名三角函数类解答题是高考的热点,其起点低、位置前,但由于其公式多,性质繁,使不少同学对其有种畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”变角、变式与变名.(1)变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如=(+)-=(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-).(2)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式,方法通常有:“常值代换”“逆用、变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.(3)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,方法通常有“切化弦”“升次与降次”等.例1在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知ab,a=5,c=6,sin b=.(1)求b和sin a的值;(2)求sin的值.解析(1)在abc中,因为ab,故由sin b=,可得cos b=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos b=13,所以b=.由正弦定理=,得sin a=.(变式)所以,b的值为,sin a的值为.(2)由(1)及ac,得cos a=,所以sin 2a=2sin acos a=,cos 2a=1-2sin2a=-.(变名)故sin=sin 2acos+cos 2asin=.(变角)变式:利用恒等变换变为sin a=.变名:利用二倍角公式实现三角函数名称的变化.变角:把2a+的三角函数表示为2a和的三角函数.破解策略求解此类题目的策略:既要注重三角知识的基础性,又要注重三角知识的应用性,突出与代数、几何、向量等知识的综合联系.“明确思维起点,把握变换方向,抓住内在联系,合理选择公式”是三角变换的基本要决.在解题时,要紧紧抓住“变”这一核心,灵活运用公式与性质,仔细审题,快速运算.跟踪集训(2017郑州第二次质量预测)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知b=2c,2b=3c.(1)求cos c;(2)若c=4,求abc的面积.二、数列问题重在“归”化归、归纳等差数列与等比数列是两个基本数列,是一切数列问题的出发点与归宿.首项与公差(比)称为等差数列(等比数列)的基本量.只要涉及这两个数列的数学问题,我们总希望把条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系,从而达到解决问题的目的.这种化归为基本量处理的方法是等差或等比数列特有的方法,对于不是等差或等比的数列,可从简单的个别的情形出发,从中归纳出一般的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜想、证明.由于数列是一种特殊的函数,也可根据题目的特点,将数列问题化归为函数问题来解决.例2(2017课标全国,17,12分)设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和.解析(1)因为a1+3a2+(2n-1)an=2n,故当n2时,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1).(归纳)两式相减得(2n-1)an=2(n2).所以an=(n2).又由题设可得a1=2,从而an的通项公式为an=(nn*).(2)记的前n项和为sn.由(1)知=-.(化归)则sn=-+-+-=.归纳:通过条件归纳出a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1)(n2),进而得出an的通项公式.化归:把数列的通项分拆,利用裂项相消法求和.破解策略“算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想,利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列,高考中通常考查的是非等差、等比数列问题,应对的策略就是通过化归思想,将其转化为这两种数列.跟踪集训已知数列an的前n项和sn=,nn*.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=+(-1)nan,求数列bn的前2n项和.三、立体几何问题重在“建”建模、建系立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是建模、建系.建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型;建系依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.例3(2017课标全国,19,12分)如图,四面体abcd中,abc是正三角形,acd是直角三角形,abd=cbd,ab=bd.(1)证明:平面acd平面abc;(2)过ac的平面交bd于点e,若平面aec把四面体abcd分成体积相等的两部分,求二面角d-ae-c的余弦值.解析(1)由题设可得,abdcbd,从而ad=dc.又acd是直角三角形,所以adc=90.取ac的中点o,连接do,bo,则doac,do=ao.又由于abc是正三角形,故boac.所以dob为二面角d-ac-b的平面角.(建模)在rtaob中,bo2+ao2=ab2.又ab=bd,所以bo2+do2=bo2+ao2=ab2=bd2,故dob=90.所以平面acd平面abc.(2)由题设及(1)知,oa,ob,od两两垂直.以o为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.(建系)则a(1,0,0),b(0,0),c(-1,0,0),d(0,0,1).由题设知,四面体abce的体积为四面体abcd的体积的,从而e到平面abc的距离为d到平面abc的距离的,即e为db的中点,得e.故=(-1,0,1),=(-2,0,0),=.设n=(x,y,z)是平面dae的法向量,则即可取n=.设m是平面aec的法向量,则同理可取m=(0,-1,),则cos=.易知二面角d-ae-c为锐二面角,所以二面角d-ae-c的余弦值为.建模:构建二面角的平面角模型.建系:以两两垂直的直线为坐标轴.破解策略立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定,因此,复习备考时往往有“纲”可循,有“题”可依.在平时的学习中,要加强“一题两法(几何法与向量法)”的训练,切勿顾此失彼;要重视识图训练,能正确确定关键点或线的位置,将局部空间问题转化为平面问题;能依托于题中的垂直条件,建立适当的空间直角坐标系,将几何问题化归为代数问题.跟踪集训(2017沈阳教学质量检测(一)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,侧面aa1c1c底面abc,aa1=a1c=ac=ab=bc=2,且点o为ac的中点.(1)证明:a1o平面abc;(2)求二面角a-a1b-c1的余弦值.四、概率问题重在“辨”辨析、辨型概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要模型一找到,问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,同时,还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复杂事件.例4(2016课标,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析(1)设a表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件a发生当且仅当一年内出险次数大于1,(辨析1)故p(a)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(辨型1)(2)设b表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件b发生当且仅当一年内出险次数大于3,(辨析2)故p(b)=0.1+0.05=0.15.又p(ab)=p(b),故p(b|a)=.(辨型2)因此所求概率为.(3)记续保人本年度的保费为x元,则x的分布列为x0.85aa1.25a1.5a1.75a2ap0.300.150.200.200.100.05ex=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.辨析1:判断事件a发生,在一年内出险次数为2,3,4或5.辨型1:该问题为求随机事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解.辨析2:判断事件b发生,在一年内出险次数为4或5.辨型2:该问题为条件概率,可利用公式求解.破解策略概率与统计知识的复习应抓住基本概念、基本公式,不需要做难题、偏题、怪题.在审题时,一般按以下程序操作:(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立、独立等;(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等;(3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等;(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率.跟踪集训(2017太原模拟试题)某知名品牌汽车深受消费者喜爱,但价格昂贵.某汽车经销商推出a,b,c三种分期付款方式销售该品牌汽车,并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析,得到如下的柱状图.已知从a,b,c三种分期付款方式的销售中,该经销商每销售此品牌汽车一辆所获得的利润分别是1万元,2万元,3万元.现甲、乙两人从该汽车经销商处,采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆.以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率.(1)求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率;(2)记x(单位:万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润,求x的分布列与期望.五、解析几何问题重在“设”设点、设线解析几何试题知识点多,运算量大,能力要求高,综合性强,在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现,是考生“未考先怕”的题型,不是怕解题无思路,而是怕解题过程中繁杂的运算.因此,在遵循“设列解”程序化解题的基础上,应突出解析几何“设”的重要性,以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破如何避繁就简这一瓶颈.例5(2017课标全国,20,12分)设a,b为曲线c:y=上两点,a与b的横坐标之和为4.(1)求直线ab的斜率;(2)设m为曲线c上一点,c在m处的切线与直线ab平行,且ambm,求直线ab的方程.解析(1)设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1x2,y1=,y2=,x1+x2=4,(设点)于是直线ab的斜率k=1.(2)由y=,得y=,设m(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是m(2,1).设直线ab的方程为y=x+m,(设线)故线段ab的中点为n(2,2+m),|mn|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当=16(m+1)0,即m-1时,x1,2=22.从而|ab|=|x1-x2|=4.由题设知|ab|=2|mn|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线ab的方程为y=x+7.设点:设出a,b两点坐标,并得出x1x2,x1+x2=4.设线:由(1)知直线斜率,再设直线方程为y=x+m,利用条件可求出m的值.破解策略解析几何的试题常要根据题目特征,恰当地设点、设线,以简化运算.常见的设点方法有减元设点、参数设点、直接设点等,常见的设线方法有圆方程的标准式与一般式、直线方程有y=kx+b、x=my+n及两点式、点斜式等形式、还有曲线系方程、参数方程等.跟踪集训(2017昆明教学质量检测)在直角坐标系xoy中,已知定圆m:(x+1)2+y2=36,动圆n过点f(1,0)且与圆m相切,记动圆圆心n的轨迹为曲线c.(1)求曲线c的方程;(2)设a,p是曲线c上两点,点a关于x轴的对称点为b(异于点p),若直线ap,bp分别交x轴于点s,t,证明:|os|ot|为定值.六、函数与导数问题重在“分”分离、分解以函数为载体,以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题,多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论,复杂函数的零点的讨论,不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于此类综合试题,一般先求导,再变形或分解出基本函数,再根据题意处理.例6(2017课标全国,21,12分)已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)0.(1)求a;(2)证明: f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2 f(x0)2-2.解析(1)f(x)的定义域为(0,+).设g(x)=ax-a-ln x,则f(x)=xg(x), (分离)f(x)0等价于g(x)0.因为g(1)=0,g(x)0,故g(1)=0,而g(x)=a-,g(1)=a-1,得a=1.若a=1,则g(x)=1-.当0x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)g(1)=0.综上,a=1.(2)由(1)知f(x)=x2-x-xln x, f (x)=2x-2-ln x.设h(x)=2x-2-ln x,(分解)则h(x)=2-.当x时,h(x)0,所以h(x)在单调递减,在单调递增.又h(e-2)0,h0;当x(x0,1)时,h(x)0.因为f (x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点.由f (x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0).由x0(0,1)得f(x0)f(e-1)=e-2,所以e-2f(x0)2-2.分离:把函数f(x)分离为x与g(x)的积.分解:构造h(x)=2x-2-ln x.破解策略函数与导数压轴题计算复杂、综合性强、难度大.可以参变量分离,把复杂函数分离为基本函数;可把题目分解成几个小题;也可把解题步骤分解为几个小步,注重分步解答,这样,即使解答不完整,也要做到尽可能多拿步骤分.跟踪集训(2017兰州诊断考试)已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=aln x.(1)若f(x)在上的最大值为,求实数b的值;(2)若对任意的x1,e,都有g(x)-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围.答案精解精析一、三角函数问题重在“变”变角、变式与变名跟踪集训解析(1)由已知及正弦定理得,2sin b=3sin c.b=2c,2sin 2c=3sin c,4sin ccos c=3sin c,c(0,),sin c0,cos c=.(2)c=4,2b=3c,b=6.c(0,),sin c=,sin b=sin 2c=2sin ccos c=,cos b=cos 2c=cos2c-sin2c=,sin a=sin(-b-c)=sin(b+c)=sin bcos c+cos bsin c=+=.sabc=bcsin a=64=.二、数列问题重在“归”化归、归纳跟踪集训解析(1)当n=1时,a1=s1=1;当n2时,an=sn-sn-1=-=n.a1也满足an=n,故数列an的通项公式为an=n.(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn,记数列bn的前2n项和为t2n,则t2n=(21+22+22n)+(-1+2-3+4-+2n).记a=21+22+22n,b=-1+2-3+4-+2n,则a=22n+1-2,b=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故数列bn的前2n项和t2n=a+b=22n+1+n-2.三、立体几何问题重在“建”建模、建系跟踪集训解析(1)因为aa1=a1c,且o为ac的中点,所以a1oac,又平面aa1c1c平面abc,平面aa1c1c平面abc=ac,且a1o平面aa1c1c,a1o平面abc.(2)如图,以o为原点,ob,oc,oa1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.由已知可得o(0,0,0),a(0,-1,0),a1(0,0,),c1(0,2,),b(,0,0),=(,1,0),=(,0,-),=(0,2,0).设平面aa1b的法向量为m=(x1,y1,z1),则有令x1=1,得y1=-,z1=1,m=(1,-,1)是平面aa1b的一个法向量.设平面a1bc1的法向量为n=(x2,y2,z2),则有易得y2=0,令x2=1,则z2=1,n=(1,0,1)是平面a1bc1的一个法向量,cos=,所求二面角的余弦值为-.四、概率问题重在“辨”辨析、辨型跟踪集训解析(1)由柱状图可知,1位客户采用a,b,c三种分期付款方式的概率分别为0.35,0.45,0.2,则甲、乙两人都采用a种分期付款方式的概率为0.352=0.122 5,甲、乙两人都采用b种分期付款方式的概率为0.452=0.202 5,甲、乙两人都采用c种分期付款方式的概率为0.22=0.04,甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率为1-0.122 5-0.202 5-0.04=0.635.(2)由题意得,x的所有可能取值为2,3,4,5,6,p(x=2)=0.352=0.122 5,