高考数学 黄金考点精析精训 考点27 随机事件的概率、古典概型和几何概型 文.doc

考点27 随机事件的概率、古典概型和几何概型【考点剖析】1.最新考试说明：1.事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.2.古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.随机数与几何概型(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.2.命题方向预测：1随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查2借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主3.以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主3.名师二级结论：一条规律互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件两种方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便一条规律从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合i，基本事件的个数n就是集合i的元素个数，事件a是集合i的一个包含m个元素的子集故两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求另外在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决4.考点交汇展示：(1)与函数相结合【2017江苏，7】 记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则的概率是 .【答案】 (2)与线性规划相结合【2017届云南省红河州高三统一检测】在区间上任取两个实数，则函数在区间没有零点的概率为（）a. b. c. d. 【答案】d【解析】在区间0，2上任取两个数，则，对应的平面区域为边长为2的正方形，面积为22=4，抛物线的对称轴为，则当时，函数取得最小值， ，即当上，要使函数在区间没有零点，则函数的最小值，即，作出不等式对应的平面区域如图：（阴影部分），对应的面积，则对应的概率，故选：d 【考点分类】热点一 随机事件的概率1.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）a.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 b.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 c.乙盒中红球不多于丙盒中红球 d.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】c2.【2018届山西省名校高三模拟一】在三个盒子中各有编号分别为1，2，3的3个乒乓球，现分别从每个盒子中随机地各取出1个乒乓球，那么至少有一个编号是奇数的概率为_【答案】【解析】从1是个盒子取出的乒乓球的编号是偶数的概率为 ，则从3个盒子取出的乒乓球的编号都是偶数的概率为 ，所以至少有一个编号是奇数的概率概率为 3.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_.【答案】【解析】从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，不同的共有5种，所以其概率为【方法总结】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误热点二 古典概型1. 【2017课标ii，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )a. b. c. d. 【答案】d2.【2018届贵州省遵义航天高级中学高三9月模拟】设,向量,则的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】 ，所以 因此概率为 ，选b.3.【2017届云南省红河州高三统一检测】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2；从以上五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于的有种情况，红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，故所求的概率为故答案选4.【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 .【答案】【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为【方法总结】1.计算古典概型事件的概率可分三步：算出基本事件的总个数n；求出事件a所包含的基本事件个数m；代入公式求出概率p.2.古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.热点三 几何概型1.【2017课标1，文4】如图，正方形abcd内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是abcd【答案】b【解析】2.【2018届广东省揭阳市惠来县第一中学高三上第一次月考】在上随机地取一个数，则事件“直线与有公共点”发生的概率为（）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由直线与圆有公共点得： ，所以概率为 ，选d.3.【2016高考山东理数】在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 . 【答案】【解析】直线y=kx与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率p=.4.【2018届河北省衡水中学高三9月大联考】2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为，设军旗的面积为s，由题意可得： .本题选择b选项.【方法总结】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率应用公式【热点预测】1.从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件a：“这个三角形是等腰三角形”，下列推断正确的是（ ）a事件a发生的概率等于 b事件a发生的概率等于c事件a是不可能事件 d事件a是必然事件【答案】d【解析】因为任意三个顶点连成三角形都是等腰三角形，所以事件a是必然事件.2.【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】b【解析】如图所示,画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段中,而当他的到达时间落在线段或时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率故选b3.在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为( )（a） （b） （c） （d）【答案】【解析】由得，所以，由几何概型概率的计算公式得，故选.4.已知件产品中有件次品，其余为合格品现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（ ）a b c d【答案】b【解析】件产品中有件次品，记为，有件合格品，记为，从这件产品中任取件，有种，分别是，恰有一件次品，有种，分别是，设事件“恰有一件次品”，则，故选b5.【2018届广东省兴宁市沐彬中学高三上第二次月考】“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3.5元的概率是（）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由题意可得总共情况有种，满足条件的有（2.28，1.83）（2.28，1.72）（2.28，1.55）（1.83，1.72）可以交换顺序，所以共8种，所以概率为，选b.6.【2018届江西省宜春昌黎实验学校高三第二次段考】 五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为a. b. c. d. 【答案】c7.【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】现有2个正方体，3个三棱柱，4个球和1个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由题意知共有10个几何体，其中旋转体为球和圆台，共5个，根据古典概型，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率.8.【2017届福建省数学基地校高三】甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()a. b. c. d. 【答案】c【解析】甲共得6条，乙共得6条，共有6636(对)，其中垂直的有10对，.本题选择c选项.9.投掷两颗骰子，其向上的点数分别为和，则复数为纯虚数的概率为（ ） a b c d【答案】c【解析】复数为纯虚数 10.【2018届湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上期中】在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】根据三角函数的图像和特殊角的三角函数值，得到 ，根据几何概型判断，概率为： 故答案选c。11.【2018届甘肃省兰州第一中学高三9月月考】九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】因为该直角三角形两直角边长分别为8步和15步，则斜边为，其内切圆的半径为，则由几何概型的概率公式，得若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是；故选b.12.从集合中随机选取3个不同的数，这个数可以构成等差数列的概率为 .【答案】【解析】从集合中随机选取3个不同的数有种.则3个数能构成等差数列的有，有4种，所以这个数可以构成等差数列的概率为.13.【2017届山东省实验