高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第五节 椭圆学案 文.doc

1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质2了解圆锥曲线的简单应用3理解数形结合的思想知识点一椭圆的定义 平面内与两个定点f1，f2的距离的和等于_的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距答案常数(大于|f1f2|)1判断正误(1)平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)动点p到两定点a(0，2)，b(0,2)的距离之和为4，则点p的轨迹是椭圆()答案：(1)(2)2已知椭圆1上一点p到椭圆一个焦点的距离为3，则p到另一个焦点的距离为_解析：|pf2|7.答案：7知识点二椭圆的标准方程和几何性质 标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)b1(b,0)，b2(b,0)轴长轴a1a2的长为_；短轴b1b2的长为_焦距|f1f2|_离心率e_a，b，c的关系c2_答案2a2b2c(0,1)a2b23(选修11p42第2(1)题改编)已知椭圆1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于()a8b7c6d5解析：因为椭圆1的焦点在x轴上所以解得6mb0)因为椭圆的一个焦点为f(1,0)，离心率e，所以解得故椭圆的标准方程为1.答案：15(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xoy中，f是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于b，c两点，且bfc90，则该椭圆的离心率是_解析：由题意可得b(a，)，c(a，)，f(c,0)，则由bfc90得(ca，)(ca，)c2a2b20，化简得ca，则离心率e.答案：热点一椭圆的定义及标准方程 【例1】(1)过椭圆4x2y21的一个焦点f1的直线与椭圆交于a，b两点，则a与b和椭圆的另一个焦点f2构成的abf2的周长为()a2b4c8d2(2)一个椭圆的中心在原点，焦点f1，f2在x轴上，p(2，)是椭圆上一点，且|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等差数列，则椭圆的方程为()a.1 b1c.1 d1【解析】(1)因为椭圆方程为4x2y21，所以a1.根据椭圆的定义，知abf2的周长为|ab|af2|bf2|af1|bf1|af2|bf2|(|af1|af2|)(|bf1|bf2|)4a4.(2)设椭圆的标准方程为1(ab0)由点p(2，)在椭圆上知1.又|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等差数列，则|pf1|pf2|2|f1f2|，即2a22c，又c2a2b2，联立得a28，b26，故椭圆方程为1.【答案】(1)b(2)a【总结反思】(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当p在椭圆上时，与椭圆的两焦点f1，f2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|pf1|pf2|；通过整体代入可求其面积等(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式. (1)已知动圆m过定点a(3,0)并且与定圆b：(x3)2y264相切，则动圆圆心m的轨迹方程为()a.1 b.1c.1 d.1(2)已知f1，f2是椭圆c：1(ab0)的两个焦点，p为椭圆c上的一点，且.若pf1f2的面积为9，则b_.解析：(1)因为点a在圆b内，所以过点a的圆与圆b只能内切，因为b(3,0)，所以|ab|6.所以|bm|8|ma|，即|mb|ma|8|ab|，所以动点m的轨迹是以a，b为焦点的椭圆，设其方程为1，又a4，c3，b27，所以方程为1.故选a.(2)由题意知|pf1|pf2|2a，所以|pf1|2|pf2|2|f1f2|24c2，所以(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|4c2，所以2|pf1|pf2|4a24c24b2.所以|pf1|pf2|2b2，所以spf1f2|pf1|pf2|2b2b29.所以b3.答案：(1)a(2)3热点二椭圆的几何性质 考向1求椭圆的离心率(或取值范围)【例2】(2016新课标全国卷)已知o为坐标原点，f是椭圆c：1(ab0)的左焦点，a，b分别为c的左，右顶点p为c上一点，且pfx轴过点a的直线l与线段pf交于点m，与y轴交于点e.若直线bm经过oe的中点，则c的离心率为()a. b.c. d.【解析】设e(0，m)，则直线ae的方程为1，由题意可知m(c，m)，(0，)和b(a,0)三点共线，则，化简得a3c，则c的离心率e.【答案】a考向2根据椭圆的性质求值或范围【例3】(1)(2017安庆模拟)p为椭圆1上任意一点，ef为圆n：(x1)2y24的任意一条直径，则的取值范围是()a0,15b5,15c5,21d(5,21)(2)已知椭圆c：1的左、右焦点分别为f1，f2，椭圆c上的点a满足af2f1f2，若点p是椭圆c上的动点，则的最大值为()a. b.c. d.【解析】(1)()()()()22|24，因为ac|ac，即3|5，所以的范围是5,21(2)由椭圆方程知c1，所以f1(1,0)，f2(1,0)因为椭圆c上点a满足af2f1f2，则可设a(1，y0)，代入椭圆方程可得y，所以y0.设p(x1，y1)，则(x11，y1)，(0，y0)，所以y1y0.因为点p是椭圆c上的动点，所以y1，的最大值为.【答案】(1)c(2)b【总结反思】(1)椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆1(ab0)，有axa，byb,0eb0)的右焦点为f，短轴的一个端点为m，直线l：3x4y0交椭圆e于a，b两点若|af|bf|4，点m到直线l的距离不小于，则椭圆e的离心率的取值范围是()a. b.c. d.(2)(2017安徽淮南一模)椭圆c：1的左、右顶点分别为a1、a2，点p在椭圆c上且直线pa2斜率的取值范围是2，1，那么直线pa1斜率的取值范围是()a. b.c. d.解析：(1)不妨设左焦点为f2，连接af2，bf2，由椭圆的对称性可知四边形afbf2的对角线互相平分，所以四边形afbf2为平行四边形，所以|af|bf|bf2|bf|2a4，所以a2，设m(0，b)，所以dbb1，所以e，又e(0,1)，所以e.(2)由题意，得a1(2,0)，a2(2,0)，设p(x0，y0)(x02)，则有1，整理，得.因为k，k，所以kk，又k2，1，所以k，故选c. 答案：(1)a(2)c热点三直线与椭圆的位置关系 【例4】(2016四川卷)已知椭圆e：1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点p(，)在椭圆e上()求椭圆e的方程；()设不过原点o且斜率为的直线l与椭圆e交于不同的两点a，b，线段ab的中点为m，直线om与椭圆e交于c，d，证明：|ma|mb|mc|md|.【解】()由已知，a2b.又椭圆1(ab0)过点p(，)，故1，解得b21，所以椭圆e的方程是y21.()证明：设直线l的方程为yxm(m0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，由方程组得x22mx2m220，方程的判别式为4(2m2)，由0，即2m20，解得mb0)的左、右焦点，m是c上一点且mf2与x轴垂直直线mf1与c的另一个交点为n.(1)若直线mn的斜率为，求椭圆c的离心率；(2)若直线mn在y轴上的截距为2，且|mn|5|f1n|，求a，b.解：(1)根据a2b2c2及题设知m，得2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故椭圆c的离心率为.(2)设直线mn与y轴的交点为d，由题意，原点o为f1f2的中点，mf2y轴，所以直线mf1与y轴的交点d(0,2)是线段mf1的中点，故4，即b24a.由|mn|5|f1n|得|df1|2|f1n|.设n(x1，y1)，由题意知y10，则即代入c的方程，得1.将及a2b2c2代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.1涉及椭圆定义的题目，要抓住“椭圆上任一点到两焦点距离之和等于2a”这个特征充分利用定义“回到定义中去”是一个很重要的思想方法2求椭圆方程的方法(1)直接法：根据所给条件判断焦点位置，并确定a，b的值，按标准方程写出方程，其中难点为确定a，b的值(2)待定系数法：先设出字母系数的方程，根据条件建立字母系数的方程并求解，然后代入所设方程而得方程，其中难点是建立字母系数的方程3离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有两类：一类是