高考数学 黄金考点精析精训 考点13 解三角形 理.doc

考点13 解三角形【考点剖析】1.最新考试说明：(1)考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.(2)考查利用正、余弦定理判断三角形的形状(3)考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法2. 命题方向预测：(1)利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点(2)常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.3.课本结论总结：（1）正弦定理：（2）余弦定理：a2b2c22bccosa，b2a2c22accosb，c2a2b22abcosc 余弦定理可以变形为：cos a，cos b，cos c.（3）sabcabsin cbcsin aacsin b（4）已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，a，则a为锐角a为钝角或直角图形关系式absin aabsin absin aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解（5） 常见题型：在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角4.名师二级结论：（1）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在abc中，ababsin asin b.（2）正弦定理的变形：2r，其中r是三角形外接圆的半径abcsin asin bsin c；a2rsin_a，b2rsin_b，c2rsin_c；sin a，sin b，sin c等形式，以解决不同的三角形问题（4） 三角形的面积公式：sabcabsin cbcsin aacsin b(abc)r(r是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算r，r.（5） 解三角形的常用途径： 化边为角；化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换5.课本经典习题：(1)新课标a版第10 页，第 b2 题（例题）在中，如果有性质，试问这个三角形的形状具有什么特点【经典理由】一题多解，既可利用正弦定理进行求解，也可利用余弦定理进行求解。新课标a版第 25 页，第 b3题（例题）研究一下，一个三角形能否同时具有一下两个性质：（1） 三边是连续的三个自然数；（2）最大角是最小角的2倍.【解析】设三角形的三边长依次为，对应角依次为;由正弦定理，得，则，又由余弦定理得，化简得，解得，即存在这样的三角形，边长依次为4,5,6.【经典理由】综合考查解三角形与二倍角公式.6. 考点交汇展示：(1) 与三角函数的图像与性质的交汇【2018届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减如图，四边形中， 为的内角的对边，且满足（1）证明： ；（2）若，设， ， ，求四边形面积的最大值【答案】（1）见解析;（2）.试题解析:（1）由题意知： ，解得： ， ， ，.（2）因为， ，所以，所以为等边三角形， ，当且仅当，即时取最大值， 的最大值为.（2）与平面向量的交汇【2017浙江，14】已知向量a，b满足则的最小值是_，最大值是_【答案】4，【解析】 (3)与实际问题的交汇【全国百强校】2018届江苏省泰州中学高三10月月考】如图所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中.（1）若，求的面积的最大值；（2）若的面积为，问为何值时取得最小值.【答案】（1）；（2）时， 有最小值，即最小.【解析】试题分析：（1）建系设点，根据条件求出a的轨迹方程，则三角形的高为圆上动点到直线的距离，数形结合可求三角形面积的最大值（2）设，表示出三角形面积，求出bc= ，利用导数求其最值即可.试题解析：（1）以所在直线为轴， 的中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由得， 化简得.所以点的轨迹为以为圆心， 为半径的圆.（除去与轴的交点），所以.（2）设，由得.令， 令得，列表：略. 在上单调递减，在上单调递增，当时， 有最小值，即最小.【考点分类】热点一 利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长1.【2017课标ii，理17】的内角所对的边分别为，已知，（1）求；（2）若，的面积为，求.【答案】(1)；(2)。【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合求出；利用（1）中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出。2.【2017山东，文17】在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知b=3,sabc=3,求a和a.【答案】【解析】试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得,由此求a,再利用余弦定理求a.试题解析：因为，所以，又，所以，因此，又，所以，又，所以，由余弦定理，得，所以.【方法规律】(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意（3）已知三边，解三角形，利用余弦定理；（4）已知两边与夹角解三角形，利用余弦定理；【解题技巧】在处理解三角形过程中，要注意“整体思想”的运用，可起到事半功倍的效果。如：在abc中，bca，acb，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角c的度数； (2)ab的长度。【解析（1） c120（2）由题设： 【易错点睛】已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意 如：在abc中，a，b，b45，则a等于（）a30 b60 c60或120d 30或150【解析】由正弦定理，可得，解得;因为，,所以，故选c.热点二 利用正余弦定理判断三角形形状1.若，且，那么是（ ）a直角三角形 b等边三角形 c.等腰三角形 d等腰直角三角形【答案】b2. 中，若且，则的形状是（ ）a. 等边三角形 b. 等腰三角形 c. 等腰直角三角形 d. 直角三角形【答案】c【解析】，化为是等腰直角三角形故选c【方法规律】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用abc这个结论【解题技巧】熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用如：在中，已知，则角a为（ ） a. b. c. d.或【解析】考虑余弦定理的公式特点，则：，则，又，,故选c.【易错点睛】在利用正弦定理或余弦定理判定三角形的形状时，在化简过程中，要保证等价变形，一定不要漏解。如：(1)新课标a版第10 页，第 b2 题（例题）在中，如果有性质，试问这个三角形的形状具有什么特点热点三 利用正余弦定理求三角形面积 1. 【2017课标3，理17】abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知 ，a=2,b=2.（1）求c；（2）设d为bc边上一点，且adac,求abd的面积.【答案】(1) ；(2) 【解析】试题分析：(1)由题意首先求得，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得 ；(2)利用题意首先求得abd面积与acd面积的比值，然后结合abc的面积可求得abd的面积为 .试题解析：（1）由已知得 ，所以 .在 abc中，由余弦定理得 ，即 .解得： (舍去)， .2.【2017北京，理15】在abc中， =60，c=a.（）求sinc的值；（）若a=7，求abc的面积.【答案】（）；（）.【解析】【方法规律】常用三角形的面积公式 (p是周长的一半，即，r为内切圆半径)； (r为外接圆半径)【解题技巧】在解三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的综合使用.如： 中，角，的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若为边上的中线，求的面积【答案】（1）（2）【解析】（1），由正弦定理，得，以，又，（2）在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得，由已知得.，由，解得，【易错点睛】在利用面积公式解三角形时，要注意不要漏解.如：已知abc的面积为，且，则a等于 （ ）a30b30或150c60d60或120 【解析】由三角形的面积公式,得,解得：;,所以60或120.【热点预测】1.【2018届福建省三明市第一中学高三上第一次月考】在abc中，角a,b,c的对边分别为a,b,c，且b2=a2+bc，a=6，则角c等于()a. 6 b. 4或34 c. 34 d. 4【答案】d2.【2017山东，理9】在中，角，的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】 所以，选a.3.【2018届福建省数学基地校】如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1 000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km) ( )a. 11.4 b. 6.6c. 6.5 d. 5.6【答案】b【解析】ab1 000 (km)，bcsin30 (km)航线离山顶hsin7511.4(km)山高为1811.46.6(km)选b.4.【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， 【答案】5.【2018届广东省揭阳市惠来县第一中学高三上第一次月考】已知a，b，c分别是abc的三个内角a，b，c所对的边，若，三内角a，b，c成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于_；【答案】1【解析】a，b，c成等差数列，所以.6.【2018届河北省大名县第一中学高三上第一次月考】设abc的内角a,b,c所对的边长分别为a,b,c,若acosb-bcosa=35c,则tanatanb的值为_.【答案】4【解析】由正弦定理可得sinacosb-sinbcosa=35sinc,又因为sinc=sina+b=sinacosb+sinbcosa,所以2sinacosb=8sinbcosa,即tana=4tanb,所以tanatanb=4.7.【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】 在钝角abc中，内角a,b,c的对边分别为a,b,c，若a=4，b=3，则c的取值范围是_.【答案】(1,7)(5,7)8.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶d在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 【答案】【解析】依题意，在中，由，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，所以，所以m.9.【2018届河北省衡水中学高三上学期二调】如图，在中， ， 为边上的点， 为上的点，且， ， （1）求的长；（2）若，求的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用。（1）中，在中可得的大小，运用余弦定理得到关于的一元二次方程，通过解方程可得的值；（2）中先在中由正弦定理得，并根据题意判断出为钝角，根据求出。（2）在中，由正弦定理得，即所以，所以因为点在边上，所以，而，所以只能为钝角，所以，所以10. 的内角，所对的边分别为，向量与平行（i）求；（ii）若，求的面积【答案】（i）；（ii）【解析】（i）因为，所以，由正弦定理，得又，从而，由于，所以(ii)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故的面积为.解法二：由正弦定理，得，从而，又由，知，所以.故所以的面积为.11. 中，分别为角的对边，满足.（）求角的值；（）若，设角的大小为的周长为，求的最大值.【答案】（）;（）.【解析】（）在中，由及余弦定理得 而，则；（）由及正弦定理得， 同理 ，即时，12. 【百强校】2017届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检一】的内角所对的边分别为，已知向量，若共线，且为钝角.（1）证明：；（2）若，求的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.13.【2018届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第一次月考】已知a，b，c为abc的内角a，b，c的对边，满足sinb+sincsina=2-cosb-cosccosa，函数f(x)=sinx (0)在区间0,3上单调递增，在区间3,上单调递减.（1）证明：b+c=2a；（2）若f(9)=cosa，证明abc为等边三角形【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）通过已知表达式，去分母化简，利用两角和与差的三角函数，化简表达式通过正弦定理直接推出b+c=2a； （2）利用函数的周期求出 ，通过f(9)cosa， 求出的值，利用余弦定理说明三角形是正三角形，即可试题解析： sinb+sincsina=2-cosb-cosccosa sinbcosa+sinccosa=2sina-cosbsina-coscsina sinbcosa+cosbsina+sinccosa+coscsina=2sinasin(a+b)+sin(a+c)=2sina,sinc+sinb=2sina,所