高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节 平面向量的概念及其线性运算学案 文.doc

1.了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义知识点一向量的有关概念 1向量：既有大小又有_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_2零向量：长度为_的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于_的向量4平行向量：方向相同或_的非零向量，又叫共线向量规定：0与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向_的向量6相反向量：长度相等且方向_的向量答案1方向模2.03.1个单位4相反5.相同6.相反1给出下列结论： a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；有相同起点的两个非零向量不平行其中正确结论的序号是 _.解析：结论中的向量b如果是零向量，则结论不成立；结论中两个向量的起点和终点在同一条直线上时，它们的起点和终点不是平行四边形的四个顶点；在结论中，如果向量a与b中至少有一个零向量，根据零向量与任意向量共线，则a与b共线，故结论是正确的；根据向量平行的概念知，两个向量有相同的起点，它们也可能平行答案：知识点二向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：ab_.(2)结合律：(ab)c_.减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|_.(2)当0时，a与a的方向_；当0时，a与a的方向_；当0时，a_.(a)_；()a_；(ab)_.答案baa(bc)|a|相同相反0aaaab2判断正误(1).()(2)在abc中，d是bc的中点，则()()答案：(1)(2)3(必修p92习题2.2b组第5题改编)在平行四边形abcd中，若|，则四边形abcd的形状为_解析：如图，因为，所以|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形abcd是矩形答案：矩形知识点三共线向量定理 向量a(a0)与b共线的_条件是存在唯一一个实数，使得_答案充要ba4下列结论：若a，b共线，则一定存在实数，使得ab；若存在实数，使得ab，则a，b共线；若对任意实数恒有ab，则ab0；其中正确结论的序号是_解析：中若a0，b0，则不存在实数，使得ab，不正确；中，若b0，则a0，两个零向量共线，若b0，根据共线向量定理知a，b共线；中，只有当ab0时，对任意恒有ab，正确答案：5已知a与b是两个不共线的向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.解析：由于abl(b3a)，所以解得.答案：热点一平面向量的概念 【例1】给出下列命题：若|a|b|，则ab；若a，b，c，d是不共线的四点，则是四边形abcd为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_【解析】不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又a，b，c，d是不共线的四点，四边形abcd为平行四边形；反之，若四边形abcd为平行四边形，则且|，因此，.故“”是“四边形abcd为平行四边形”的充要条件正确ab，a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a|b|且ab”不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.【答案】【总结反思】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈(4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量.设a0为单位向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.假命题的个数是()a0 b1c2 d3解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.答案：d热点二 平面向量的线性运算 考向1向量的线性运算【例2】(1)设d，e，f分别为abc的三边bc，ca，ab的中点，则等于()a. b.c. d.(2)在abc中，c，b，若点d满足2，则等于()a.bc b.cbc.bc d.bc【解析】(1)()()().(2)2，22()，32，bc.【答案】(1)c(2)a考向2根据向量线性运算求参数【例3】在abc中，点d在线段bc的延长线上，且3，点o在线段cd上(与点c，d不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()a. b.c. d.【解析】设y，yy()y(1y).3，点o在线段cd上(与点c，d不重合)，y，x(1x)，xy，x.【答案】d【总结反思】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.(2017惠州模拟)已知点o，a，b不在同一条直线上，点p为该平面上一点，且，则()a点p在线段ab上 b点p在线段ab的反向延长线上c点p在线段ab的延长线上d点p不在直线ab上解析：()，即，所以点p在线段ab的反向延长线上答案：b热点三 向量共线及应用 【例4】设两个非零向量a和b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：a、b、d三点共线(2)试确定实数k，使kab和akb共线【解】(1)证明：因为ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以，共线，又与有公共点b，所以a、b、d三点共线(2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab(akb)即解得k1.即k1时，kab与akb共线1若将本例(1)中“2a8b”改为“amb”，则m为何值时，a、b、d三点共线？解：(amb)3(ab)4a(m3)b，即4a(m3)b.若a、b、d三点共线，则存在实数，使.即4a(m3)b(ab)解得m7.故当m7时，a、b、d三点共线2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为kab与akb反向共线，所以存在实数，使kab(akb)(0)所以所以k1.又0，k，所以k1.故当k1时两向量反向共线.【总结反思】(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立；若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线.(1)设，不共线，求证：点p，a，b共线的充要条件是：且1，r.(2)运用(1)的结论解决下面问题：在abc中，2，则_.解：(1)充分性：1，(1)().，共线有公共点a，a，p，b三点共线必要性：若p，a，b三点共线，则().(1).令1，则，其中1.(2)由2，知a，b，d三点共线1，从而.1正确区别向量与数量确定向量需要同时确定其“大小”和“方向”，向量可以用有向线段表示数量的一些运算性质规律对于向量并不一定成立2注意0与数0的区别，00，零向量是有方向的，它的方向是任意