高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 第二节 空间几何体的表面积与体积教师用书 理.doc

第二节空间几何体的表面积与体积2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。2016，全国卷，6,5分(表面积)2016，全国卷，6,5分(表面积)2016，全国卷，10,5分(体积最大值)2016，北京卷，6,5分(三棱锥体积)2016，浙江卷，14,6分(体积最大值)本节主要考查空间几何体表面积与体积的计算，同时考查空间几何体的结构特征、三视图等内容，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想。微知识小题练自|主|排|查1几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为s柱2r22rl，s锥r2rl。(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为s(rr)(r1r2)l。(5)球的表面积为4r2(球半径是r)。2几何体的体积(1)v柱体sh。(2)v锥体sh。(3)v台体(ss)h，v圆台(rr1r2r)h，v球r3(球半径是r)。微点提醒1求多面体的表面积，应找到其特征几何图形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁。求旋转体(除球外)的侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和。2求几何体的体积，要注意分割与补形。将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解。小|题|快|练一 、走进教材1(必修2p28a组t3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_。【解析】设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为v1abcabc，剩下的几何体的体积v2abcabcabc，所以v1v2147。【答案】1472(必修2p36a组t10改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为_。【解析】旋转一周所得几何体为以 cm为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为s68(cm2)。【答案】 cm2二、双基查验1(2016全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()a20 b24c28 d32【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r2，底面圆的周长c2r4，圆锥的母线长l4，圆柱的高h4，所以该几何体的表面积s表r2chcl416828。故选c。【答案】c2已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为()a12 b36c72 d108【解析】依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为36，高为 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于43236。故选b。【答案】b3表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_。【解析】设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则rlr23，l2r。解得r1，即直径为2。【答案】24(2016北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_。【解析】通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积s，通过侧视图可知四棱柱的高h1，所以该四棱柱的体积vsh。【答案】5(2016赤峰模拟)已知三棱柱abca1b1c1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球o的表面上，且球o的表面积为7，则此三棱柱的体积为_。【解析】如图，设三棱柱abca1b1c1的棱长为2a，在odc中，od2dc2oc2，即a22r2，所以r2，s球表4r2a27，所以a2，即a，v三棱柱(2a)22a2a323。【答案】微考点大课堂考点一 空间几何体的表面积【典例1】(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()a82b112c142 d15(2)(2016全国卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。若该几何体的体积是，则它的表面积是()a17 b18c20 d28【解析】(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示。直角梯形斜腰长为，所以底面周长为4，侧面积为2(4)82，两底面的面积和为21(12)3，所以该几何体的表面积为823112。故选b。(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，设球的半径为r，故r3，所以r2，表面积s4r2r217。故选a。【答案】(1)b(2)a反思归纳以三视图为载体的几何体表面积的求法1恰当分析给出的三视图。2找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系。3注意组合体的表面积问题中重合部分的处理。【变式训练】一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是()a. b.6c11 d.3【解析】这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半。根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，高为，母线长是2，其表面积是两个半圆、圆台侧面积的一半和一个轴截面的面积之和，故s1222(12)2(24)3。故选d。【答案】d考点二 空间几何体的体积多维探究角度一：以三视图为背景的体积问题【典例2】(2016浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3。【解析】将三视图还原成直观图如图所示，它由2个长方体组合而成，其体积v222432 cm3，表面积为62462272 cm2。【答案】7232角度二：利用割补法、换底法求体积【典例3】如图所示，多面体是经过正四棱柱底面顶点b作截面a1bc1d1而截得的，已知aa1cc1，截面a1bc1d1与底面abcd成45的二面角，ab1，则这个多面体的体积为()a. b.c. d.【解析】以正方形abcd为底面，dd1为棱将题图补成一个正四棱柱abcda2b1c2d1，如图所示。截面a1bc1d1与底面abcd成45的二面角，原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一半。aa1cc1，易知d1bd为截面a1bc1d1与底面abcd所成的二面角的平面角。d1bd45。ab1，bd，dd1。正四棱柱abcda2b1c2d1的体积v11。所求多面体的体积为。故选a。【答案】a反思归纳1.分割法：通过对不规则几何体进行分割，化为规则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体体积。2.补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后进行计算。3.换底法：三棱锥换底法通常在高或底面积不好求时使用。4.三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为棱锥的顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解。考点三 与球有关的“切”、“接”问题母题发散【典例4】已知a，b是球o的球面上两点，aob90，c为该球面上的动点，若三棱锥oabc体积的最大值为36，则球o的表面积为()a36 b64c144 d256【解析】如图所示，当点c位于垂直于面aob的直径端点时，三棱锥oabc的体积最大，设球o的半径为r，此时voabcvcaobr2rr336，故r6，则球o的表面积为s4r2144，故选c。【答案】c【母题变式】1.若本典例条件变为“直三棱柱abca1b1c1的6个顶点都在球o的球面上”，若ab3，ac4，abac，aa112，求球o的半径。【解析】设球的半径为r，因为直三棱柱中ab3，ac4，aa112，abac，所以bc5，且bc为过底面abc的截面圆的直径。取bc中点d，则od底面abc，则o在侧面bcc1b1内，矩形bcc1b1的对角线长即为球直径，所以2r13，即r。【答案】2若本典例条件变为“正四棱锥的顶点都在球o的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积。【解析】如图，设球心为o，半径为r，则在rtaof中，(4r)2()2r2，解得r，则球o的体积v球r33。【答案】反思归纳空间几何体与球接、切问题的求解方法1.求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解。2.若球面上四点p，a，b，c构成的三条线段pa，pb，pc两两互相垂直，且paa，pbb，pcc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4r2a2b2c2求解。【拓展变式】(2016全国卷)在封闭的直三棱柱abca1b1c1内有一个体积为v的球。若abbc，ab6，bc8，aa13，则v的最大值是()a4 b.c6 d.【解析】由题意可得若v最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径r，该球的体积最大，vmaxr3。故选b。【答案】b微考场新提升1一个球的表面积是16，那么这个球的体积为()a. b.c16 d24解析设球的半径为r，则表面积是16，即4r216，解得r2。所以体积为r3。故选b。答案b2在三角形abc中，ab3，bc4，abc90，若将abc绕直线bc旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为()a15 b20c30 d40解析依题意知几何体为底面半径为3，母线长为5的圆锥，所得几何体的侧面积等于3515。故选a。答案a3如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是()a9 b10c12 d18解析由三视图还原出几何体的直观图如图，sd平面abcd，ab与dc平行，ab2，dc4，ad3，sd3，所求体积v(24)339。故选a。答案a4(2016四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_。解析由正视图知，底面三角形是腰长为2，底边为2的等腰三角形，三棱锥的高为1，所以该三棱锥的体积v1。答案5.中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)。若取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为_。解析由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得(5.4x)312x12.6，解得x1.6。答案1.6微专题巧突破巧定各类外接球的球心简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重要的考点，此类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐。有些同学对于此类问题的解答，往往不知从何处入手，其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置。为此下面介绍了几个解决球类问题的策略，可以快速秒杀各类球的球心。一、由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心。深刻理解球的定义，可以得到简单多面体的一些常见结论：1长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；2正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；3直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；4正棱锥的外接球球心在其高线上，具体位置可通过构造直角三角形运用勾股定理计算得到；5若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。【典例1】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()a16b20c24d32【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为2，半径为，球的表面积为24，故选c。【答案】c【小结】本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来迅速求解的。【变式训练1】已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为()a16 b4 c8 d2【解析】由三视图可知该三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面外接圆的半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上。由于顶点到底面的距离与底面外接圆的半径相等，则三棱锥的外接球的半径r为1，则三棱锥的外接球的表面积s4r24，故选b。【答案】b二、构造长方体或正方体确定球心1正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；2同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；3若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；4若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体。【典例2】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的体积是_。【解析】三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则可将三棱锥补形成正方体。从而外接球的直径为3，半径为，故所求外接球的体积v3。【答案】【小结】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径。设其外接球的半径为r，则2r。【变式训练2】(2016洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()a200 b150c100 d50【解析】由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，所以其外接球半径r满足2r5，所以