高三数学一轮复习 第八章 立体几何 第六节 立体几何中的向量方法夯基提能作业本 理.doc

第六节立体几何中的向量方法a组基础题组1.如图,在直棱柱abcd-a1b1c1d1中,adbc,bad=90,acbd,bc=1,ad=aa1=3.(1)证明:acb1d;(2)求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值.2.如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为直角梯形,adbc,adc=90,平面pad底面abcd,q为ad的中点,m是棱pc上的动点(不包括端点),pa=pd=2,bc=12ad=1,cd=3.(1)求证:平面pbq平面pad;(2)若m为棱pc的中点,求异面直线ap与bm所成角的余弦值.3.(2016课标全国,19,12分)如图,菱形abcd的对角线ac与bd交于点o,ab=5,ac=6,点e,f分别在ad,cd上,ae=cf=54,ef交bd于点h.将def沿ef折到def的位置,od=10.(1)证明:dh平面abcd;(2)求二面角b-da-c的正弦值.b组提升题组4.如图,在四棱锥p-abcd中,平面pac平面abcd,且paac,pa=ad=2.四边形abcd满足bcad,abad,ab=bc=1.点e,f分别为侧棱pb,pc上的点,且pepb=pfpc=(0).(1)求证:ef平面pad;(2)当=12时,求异面直线bf与cd所成角的余弦值;(3)是否存在实数,使得平面afd平面pcd?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.5.(2016天津,17,13分)如图,正方形abcd的中心为o,四边形obef为矩形,平面obef平面abcd,点g为ab的中点,ab=be=2.(1)求证:eg平面adf;(2)求二面角o-ef-c的正弦值;(3)设h为线段af上的点,且ah=23hf,求直线bh和平面cef所成角的正弦值.答案全解全析a组基础题组1.解析(1)易知,ab,ad,aa1两两垂直.如图,以a为坐标原点,ab,ad,aa1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设ab=t,则相关各点的坐标为a(0,0,0),b(t,0,0),b1(t,0,3),c(t,1,0),c1(t,1,3),d(0,3,0),d1(0,3,3).从而b1d=(-t,3,-3),ac=(t,1,0),bd=(-t,3,0).因为acbd,所以acbd=-t2+3+0=0,解得t=3或t=-3(舍去).于是b1d=(-3,3,-3),ac=(3,1,0).因为acb1d=-3+3+0=0,所以acb1d,即acb1d.(2)由(1)知,ad1=(0,3,3),ac=(3,1,0),b1c1=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面acd1的法向量,则nac=0,nad1=0,即3x+y=0,3y+3z=0,令x=1,则n=(1,-3,3).设直线b1c1与平面acd1所成角为,则sin =|cos|=nb1c1|n|b1c1|=37=217.即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为217.2.解析(1)证明:因为adbc,bc=12ad,q为ad的中点,所以bcdq,所以四边形bcdq为平行四边形.所以cdbq.因为adc=90,所以aqb=90,即bqad.又因为平面pad平面abcd,且平面pad平面abcd=ad,bq平面abcd,所以bq平面pad.因为bq平面pbq,所以平面pbq平面pad.(2)因为pa=pd,q为ad的中点,所以pqad.因为平面pad平面abcd,且平面pad平面abcd=ad,所以pq平面abcd.如图,以q为原点,qa,qb,qp所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系q-xyz,则q(0,0,0),a(1,0,0),p(0,0,3),b(0,3,0),c(-1,3,0).因为m是pc的中点,所以m-12,32,32,所以ap=(-1,0,3),bm=-12,-32,32.设异面直线ap与bm所成角为,则cos =|cos|=|apbm|ap|bm|=277,所以异面直线ap与bm所成角的余弦值为277.3.解析(1)由已知得acbd,ad=cd.又由ae=cf得aead=cfcd,故acef.因此efhd,从而efdh.(2分)由ab=5,ac=6得do=bo=ab2-ao2=4.由efac得ohdo=aead=14.所以oh=1,dh=dh=3.于是dh2+oh2=32+12=10=do2,故dhoh.(4分)又dhef,而ohef=h,所以dh平面abcd.(5分)(2)如图,以h为坐标原点,hf的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系h-xyz.则h(0,0,0),a(-3,-1,0),b(0,-5,0),c(3,-1,0),d(0,0,3),ab=(3,-4,0),ac=(6,0,0),ad=(3,1,3).(6分)设m=(x1,y1,z1)是平面abd的法向量,则mab=0,mad=0,即3x1-4y1=0,3x1+y1+3z1=0,所以可取m=(4,3,-5).(8分)设n=(x2,y2,z2)是平面acd的法向量,则nac=0,nad=0,即6x2=0,3x2+y2+3z2=0,所以可取n=(0,-3,1).(10分)于是cos=mn|m|n|=-145010=-7525.sin=29525.因此二面角b-da-c的正弦值是29525.(12分)b组提升题组4.解析(1)证明:因为pepb=pfpc=(0),所以efbc.因为bcad,所以efad.而ef平面pad,ad平面pad,所以ef平面pad.(2)因为平面abcd平面pac,平面abcd平面pac=ac,且paac,所以pa平面abcd.则paab,paad.又abad,故pa,ab,ad两两垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,则a(0,0,0),b(1,0,0),c(1,1,0),d(0,2,0),p(0,0,2).当=12时,f为pc的中点,故f12,12,1,bf=-12,12,1,又cd=(-1,1,0),设异面直线bf与cd所成的角为,则cos =|cos|=12+1214+14+12=33,故异面直线bf与cd所成角的余弦值为33.(3)存在.设f(x0,y0,z0),则pf=(x0,y0,z0-2),又pc=(1,1,-2),则由pf=pc,得(x0,y0,z0-2)=(1,1,-2),所以x0=,y0=,z0=2-2,则af=(,2-2).设平面afd的法向量为n1=(x1,y1,z1),因为af=(,2-2),ad=(0,2,0),n1af=0,n1ad=0,所以x1+y1+(2-2)z1=0,2y1=0.令z1=,得n1=(2-2,0,).设平面pcd的法向量为n2=(x2,y2,z2),因为pd=(0,2,-2),cd=(-1,1,0),n2pd=0,n2cd=0,所以2y2-2z2=0,-x2+y2=0.来源:zxxk.com令x2=1,得n2=(1,1,1).若平面afd平面pcd,则n1n2=0,所以(2-2)+=0,解得=23.所以当=23时,平面afd平面pcd.5.解析依题意,of平面abcd,如图,以o为原点,分别以ad,ba,of的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得o(0,0,0),a(-1,1,0),b(-1,-1,0),c(1,-1,0),d(1,1,0),e(-1,-1,2),f(0,0,2),g(-1,0,0).(1)证明:依题意,ad=(2,0,0),af=(1,-1,2).设n1=(x,y,z)为平面adf的法向量,则n1ad=0,n1af=0,即2x=0,x-y+2z=0.不妨设z=1,可得n1=(0,2,1),又eg=(0,1,-2),可得egn1=0,又因为直线eg平面adf,所以eg平面adf.(2)易证oa=(-1,1,0)为平面oef的一个法向量.依题意,ef=(1,1,0),cf=(-1,1,2).设n2=(x,y,z)为平面cef的法向量,则n2ef=0,n2cf=0,即x+y=0,-x+y+2z=0.不妨设x=1,可得n2=(1,-1,1).因此有cos=o