八级数学上册 第13章 全等三角形本章总结提升练习 （新版）华东师大版.doc

全等三角形本章总结提升问题1命题与逆命题、定理与逆定理什么叫做命题？什么叫做逆命题？怎样写出一个命题的逆命题？什么叫逆定理？每个定理都有逆定理吗？例1 下列命题的逆命题不是定理的是()a相等的角是对顶角b两直线平行，同位角相等c全等三角形的对应角相等d线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等问题2运用全等三角形解决问题从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？判定两个直角三角形全等的条件是什么？例2 已知：如图13t1所示，cdab，bad和adc的平分线相交于点e，过点e的直线bc分别交dc，ab于c，b两点求证：adabcd.图13t1问题3尺规作图什么叫尺规作图，基本的尺规作图有哪些？运用尺规作图需要注意哪些问题？例3 如图13t2，已知abc，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求回答问题：(1)作abc的平分线bd交ac于点d；(2)作线段bd的垂直平分线交ab于点e，交bc于点f.由(1)(2)观察：线段ef与线段bd有怎样的关系？图13t2问题4等腰三角形、角平分线和线段垂直平分线的综合应用利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？线段的垂直平分线与角平分线的性质与判定定理是怎样的？你能用全等三角形证明垂直平分线与角平分线的性质吗？例4 如图13t3所示，accd，bdcd，线段ab的垂直平分线ef交ab于点e，交cd 于点f，且acfd，连结af，bf.求证：abf是等腰直角三角形图13t3等角对等边的几个应用等腰三角形是一类特殊的三角形，它比一般的三角形应用更为广泛我们在七年级已经知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这是等腰三角形的定义，也可以作为等腰三角形的判定条件不过，它是根据三角形的边来判定它是等腰三角形的那么，能否根据三角形的角的关系来判定一个三角形是等腰三角形呢？回答是肯定的，课本的第82页就证明了“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，这个结论简称为“等角对等边”至此，我们就可以用三角形中角的关系来判定等腰三角形了下面，我们来看看这个定理的常见应用：一、用等角对等边判定等腰三角形例1 如图13t4，已知acbc，bdad，ac与bd交于点o，acbd.(1)求证：bcad；(2)试判断oab的形状，并说明理由解：(1)证明： acbc，bdad，cd90.在rtacb和rtbda中，abba，acbd，rtacbrtbda(h.l.)，bcad.(2)oab是等腰三角形理由：由acbbda，得cabdba，oaob，oab是等腰三角形点评 判定一个三角形是等腰三角形的两种途径：两边相等或两角相等图13t4二、用等角对等边证明等腰三角形例2 如图13t5，点o是ad，bc的交点，acbd，bacabd.求证：abo是等腰三角形图13t5解析 要证明abo是等腰三角形，由图可知，就是要证明oaob，也就是要证明cbadab，则只要证明abcbad即可证明：acbd(已知)，bacabd(已知)， abba(公共边)，abcbad(s.a.s.)，cbadab(全等三角形的对应角相等)，oaob (等角对等边)，即abo是等腰三角形点评 由例2进一步弄清了证明题的两个主要步骤：分析是执果索因，即根据结论去寻找原因；证明是由因到果，即由题设推理出要证明的结果三、用等角对等边计算等腰三角形例3 已知三角形的内角分别是x度，y度，且x2y20.三角形的一边长为7，另一边长为10，求它的周长解析 先由内角关系x2y20，判断出该三角形为等腰三角形，再分情况求出三角形的周长解：由x2y20，得(xy)(xy)0.因为xy0，所以xy0, 即xy.由等角对等边，可知此三角形是等腰三角形当腰长是7时，则底边长是10，其周长是771024；当腰长是10时，则底边长是7，其周长是1010727.所以这个三角形的周长是24或27.点评 涉及等腰三角形的计算等问题，一般要分情况讨论，才能避免漏解详解详析【整合提升】例1c例2解析 要证adabcd，在ad上截取线段af，使afab，只需证dfdc即可证明：在线段ad上截取线段af，使afab，连结ef.在abe和afe中，abaf，baefae，aeae，abeafe(s.a.s.)，bafe(全等三角形的对应角相等)cdab，cb180(两直线平行，同旁内角互补)又dfeafe180，cdfe.在cde和fde中，cdefde，cdfe，dede，cdefde(a.a.s.)，dcdf，adafdfabcd.例3解析 (1)以点b为圆心，任意长为半径画弧与ab，bc交于e，f两点，再以这两点为圆心，以大于两点间距离的一半为半径画弧，连结点b与两弧在abc内部的交点并延长，与ac交于点d，bd就是所求作的角平分线(2)分别以b，d为圆心，以大于bd一半的长为半径在bd的两侧画弧交于两点，连结两弧的交点，交ab于点e，交bc于点f，ef就是所求作的线段bd的垂直平分线解：(1)，(2)如图所示从图中可以看出ef与bd互相垂直平分例4解析 ef垂直平分ab，afbf.只需再证afb90，即证afcbfd 90.根据“h.l.”可判定rtacf和rtfdb全等，从而cafdfb，再由afccaf90可证afcdfb 90.证明：ef是ab的垂直平分线，