八级数学上册 第十三章《轴对称》小专题（四）活用等腰三角形“三线合一”解题试题 （新版）新人教版.doc

小专题(四)活用等腰三角形“三线合一”解题等腰三角形“顶角平分线,底边上的高,底边上的中线”只要知道其中“一线”,就可以说明是其他“两线”.运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等,线段相等或垂直关系,可减少证全等的次数,简化解题过程.类型1利用“三线合一”求角1.如图,房屋顶角bac=100,过屋顶a的立柱adbc,屋檐ab=ac.求顶架上的b,c,bad,cad的度数.解:在abc中,ab=ac,b=c.b=c=(180-bac)=40.又adbc,bad=cad=100=50.类型2利用“三线合一”求线段2.在等腰abc中,ab=ac,adbc于点d,且ab+ac+bc=50 cm,而ab+bd+ad=40 cm,则ad=15 cm.3.如图,在abc中,ab=ac,ad=db=bc,deab于点e,若cd=4,且bdc的周长为24,求ae的长.解:bd+bc+cd=24,cd=4,bd+bc=20,ad=bd=bc=10.又ab=ac=ad+cd=14,deab,ae=be=7.类型3利用“三线合一”证角(线段)相等4.如图,已知点d,e,f在abc的bc边上,ab=ac,ad=ae,df=fe.求证:cae=bad.证明:ad=ae,df=fe,daf=eaf,afbc.又ab=ac,baf=caf,baf-daf=caf-eaf,即cae=bad.5.如图,已知ab=ad,ac=ae,bad=cae,db交ac于点f,且af平分bd,ce交ad于点g,求证:cg=ge.证明:ab=ad,af平分bd,bf=df.在baf和daf中,bafdaf(sss),baf=daf.bad=cae,bad-cad=cae-cad,bac=dae,cad=eag.又ac=ae,cg=ge.类型4利用“三线合一”证垂直6.如图,在abc中,d是bc上一点,p是ad上一点,若1=2,pb=pc.求证:adbc.证明:作pmab于点m,pnac于点n.1=2,pm=pn.在rtbpm和rtcpn中,rtbpmrtcpn(hl),abp=acp.pb=pc,pbc=pcb.abc=acb,ab=ac.1=2,adbc.类型5利用“三线合一”证线段(或角)的倍数关系(构造三线法)7.已知:如图,abc中,ab=ac,cdab于点d.求证:bac=2dcb.解:过点a作aebc于点e,aeb=90,bae+b=90.cdab,dcb+b=90,dcb=bae.ab=ac,aebc,bac=2bae,bac=2dcb.8.如图,已知等腰rtabc中,ab=ac,bac=90,bf平分abc,cdbd交bf的延长线于点d.试说明:bf=2cd.解:延长ba,cd交于点e.bf平分abc,cdbd,bd=bd,bdcbde,bc=be.又bdce,ce=2cd.bac=90,bdc=90,afb=dfc,abf=dcf.又ab=ac,baf=cae=90,abface,bf=ce.bf=2cd.类型6利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)9.如图,在abc中,adbc于点d,且abc=2c.试说明:cd=ab+bd.解:在线段dc上取一点e,使de=bd,连接ae.adbc,