高中数学 课时分层作业13 抛物线的简单几何性质 新人教A版选修21.doc

课时分层作业(十三) 抛物线的简单几何性质(建议用时：40分钟)基础达标练一、选择题1方程y2所表示曲线的形状是()d方程y2等价于故选d.2过抛物线c：y212x的焦点作直线l交c于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，若x1x26，则|ab|()a16 b12c10d8b由题意知p6，故|ab|x1x2p12.3过点(2,4)的直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有() 【导学号：46342115】a1条b2条 c3条d4条b点(2,4)在抛物线y28x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选b.4已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a，b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ()ax1bx1cx2dx2b易知抛物线的焦点为f，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为yx，即xy，代入y22px得y22p2pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系得p2(y1，y2分别为点a，b的纵坐标)，所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x1.5设抛物线y28x的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，pal，a为垂足，如果直线af的斜率为，那么|pf|()a4b8 c8d16b设p(x0，y0)，则a(2，y0)，又f(2,0)所以，即y04.由y8x0得8x048，所以x06.从而|pf|628.二、填空题6直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_.0或1当k0时，直线与抛物线有唯一交点，当k0时，联立方程消去y得k2x24(k2)x40，由题意16(k2)216k20，k1.72017设抛物线y24x的焦点为f，准线为l.已知点c在l上，以c为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点a.若fac120，则圆的方程为_(x1)2(y)21由y24x可得点f的坐标为(1,0)，准线l的方程为x1.由圆心c在l上，且圆c与y轴正半轴相切(如图)，可得点c的横坐标为1，圆的半径为1，cao90.又因为fac120，所以oaf30，所以|oa|，所以点c的纵坐标为.所以圆的方程为(x1)2(y)21.8抛物线y24x上的点到直线xy40的最小距离为_. 【导学号：46342116】设与直线xy40平行且与抛物线y24x相切的直线方程为xym0.由得x2(2m4)xm20则(2m4)24m20，解得m1即直线方程为xy10直线xy40与直线xy10的距离为d.即抛物线y24x上的点到直线xy40的最小距离为.三、解答题9已知抛物线c的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点p(4，m)到焦点的距离为6.(1)求抛物线c的方程(2)若抛物线c与直线ykx2相交于不同的两点a，b，且ab中点横坐标为2，求k的值解(1)由题意设抛物线方程为y22px，其准线方程为x，因为p(4，m)到焦点的距离等于p到其准线的距离，所以46，所以p4，所以抛物线c的方程为y28x.(2)由消去y，得k2x2(4k8)x40.因为直线ykx2与抛物线相交于不同的两点a，b，则有k0，64(k1)0，解得k1且k0.又2，解得k2或k1(舍去)，所以k的值为2.10已知ab是抛物线y22px(p0)的过焦点f的一条弦设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab的中点为m(x0，y0)求证：(1)若ab的倾斜角为，则|ab|；(2)x1x2，y1y2p2；(3)为定值. 【导学号：46342117】证明(1)设直线ab的方程为xmy，代入y22px，可得y22pmyp20，y1y2p2，y1y22pm，yy2p(x1x2)(y1y2)22y1y24p2m22p2，x1x22pm2p，90时，m0，x1x2p，|ab|x1x2p2p；90时，m，x1x2p，|ab|x1x2p2p.|ab|.(2)由(1)知，y1y2p2，x1x2；(3).能力提升练1已知抛物线x22py(p0)的焦点为f，过f作倾斜角为30的直线与抛物线交于a，b两点，若(0,1)，则()a. b. c. d.c因为抛物线的焦点为f，故过点f且倾斜角为30的直线的方程为yx，与抛物线方程联立得x2pxp20，解方程得xap，xbp，所以，故选c.2过抛物线c：y24x的焦点f，且斜率为的直线交c于点m(m在x轴的上方)，l为c的准线，点n在l上，且mnl，则m到直线nf的距离为()a.b2 c2d3c抛物线y24x的焦点为f(1,0)，准线方程为x1.由直线方程的点斜式可得直线mf的方程为y(x1)联立得方程组解得或点m在x轴的上方，m(3,2)mnl，n(1,2)|nf|4，|mf|mn|4.mnf是边长为4的等边三角形点m到直线nf的距离为2.故选c.3已知点a(2,0)，b(4,0)，动点p在抛物线y24x上运动，则取得最小值时的点p的坐标是_(0,0)设p(x0，y0)，则(x02，y0)，(x04，y0)，所以(x02)(x04)y，又y4x0，所以x10x08(x05)217，因为x00，所以当x00时，取得最小值此时点p的坐标为(0,0)4已知抛物线y24x，过点p(4,0)的直线与抛物线相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则yy的最小值是_. 【导学号：46342118】32y4x1，y4x2，则yy4(x1x2)若过点p(4,0)的直线垂直于x轴，则直线方程为x4，此时x1x28，yy32，若过点p(4,0)的直线存在斜率，则设直线方程为yk(x4)，由得k2x2(8k24)x16k20，则x1x288，此时yy32因此yy的最小值为32.5已知点a，b是抛物线y22px(p0)上的两点，且oaob.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积(2)求证：直线ab过定点解(1)设点a，b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有koa，kob.因为oaob，所以koakob1，所以x1x2y1y20.因为y2px1，y2px2，所以y1y20.因为y10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p