高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第2课时 角度问题学案 新人教A版必修5.doc

第2课时角度问题学习目标：1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题(重点).2.会将实际问题转化为解三角形问题(难点).3.能根据题意画出几何图形(易错点)自 主 预 习探 新 知1方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角如点b的方位角为(如图1218所示)图1218方位角的取值范围：0，360)2视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角，如图1219所示，视角50指的是观察该物体的两端视线张开的角度图1219思考：方位角的范围为什么不是(0，)?提示方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是0,2)基础自测1思考辨析(1)如图1220所示，该角可以说成北偏东110.()图1220(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是.()(3)方位角210的方向与南偏西30的方向一致()答案(1)(2)(3)提示：(1)说成南偏东70或东偏南20.(2)方位角的范围是0,2)2从a处望b处的仰角为，从b处望a处的俯角为，则，的关系是() 【导学号：91432060】abc90 d180b由仰角与俯角的水平线平行可知.3在某次高度测量中，在a处测得b点的仰角为60，在同一铅垂平面内测得c点的俯角为70，则bac等于()a10 b50c120 d130d如图所示：bac130.4某人从a处出发，沿北偏东60行走3公里到b处，再沿正东方向行走2公里到c处，则a、c两地的距离为_公里. 【导学号：91432061】7如图所示，由题意可知ab3，bc2，abc150.由余弦定理得ac2274232cos 15049，ac7.所以a、c两地的距离为7公里合 作 探 究攻 重 难角度问题(1)如图1221，两座灯塔a和b与海岸观察站c的距离相等，灯塔a在观察站南偏西40，灯塔b在观察站南偏东60，则灯塔a在灯塔b的 ()图1221a北偏东10b北偏西10c南偏东80 d南偏西80(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是() 【导学号：91432062】a.，60 b.，60c.，30 d.，30(1)d(2)b(1)由条件及图可知，ab40，又bcd60，所以cbd30，所以dba10，因此灯塔a在灯塔b南偏西80.(2)如图所示，横断面是等腰梯形abcd，ab10 m，cd6 m，高de2 m，则ae2 m，tan dae，dae60.规律方法测量角度问题画示意图的基本步骤跟踪训练1在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_，大小为_km/h.6020如图，aob60，由余弦定理知oc2202202800cos 1201 200，故oc20，coy303060.求航向的角度在海岸a处，发现北偏东45方向，距a处(1)海里的b处有一艘走私船，在a处北偏西75的方向，距离a处2海里的c处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船此时，走私船正以10海里/时的速度从b处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？思路探究：你能根据题意画出示意图吗？在abc中，能求出bc与abc吗？在bcd中，如何求出bcd?解设缉私船用t小时在d处追上走私船，画出示意图，则有cd10t，bd10t，在abc中，ab1，ac2，bac120，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccosbac(1)2222(1)2cos 1206，bc，且sinabcsinbac，abc45，bc与正北方向成90角cbd9030120，在bcd中，由正弦定理，得sinbcd，bcd30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船规律方法1测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解2在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角因为余弦函数在(0，)上是单调递减的，而正弦函数在(0，)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角但角在上时，用正、余弦定理皆可跟踪训练2甲船在a处观察到乙船在它的北偏东60方向的b处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile? 【导学号：91432063】解如图所示，设两船在c处相遇，并设cab，乙船行驶距离bc为x n mile，则acx，由正弦定理得sin ，而1510，所以此人在c点能与投递员相遇如图1222，甲船在a处，乙船在a处的南偏东45方向，距a有9海里的b处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船沿南偏东度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在c处追上乙船问用多少小时追上乙船，并求sin 的值(结果保留根号，无需求近似值) 【导学号：91432064】图1222思路探究：根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决解设用t小时，甲船追上乙船，且在c处相遇，则在abc中，ac28t，bc20t，ab9，abc1801545120，由余弦定理得，(28t)281(20t)22920t，即128t260t270，解得t或t(舍去)，ac21(海里)，bc15(海里)根据正弦定理，得sinbac，则cosbac.又abc120，bac为锐角，45bac，sin sin(45bac)sin 45cosbaccos 45sin bac.母题探究：(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度解设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在c处相遇(如图所示)，则在abc中，ac28t，bcxt，cab30，abc135.由正弦定理得，即.所以x14(海里每小时)故乙船的速度为14海里每小时规律方法解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题.当 堂 达 标固 双 基1在某测量中，设a在b的南偏东3427，则b在a的() 【导学号：91432065】a北偏西3427b北偏东5533c北偏西5533 d南偏西3427a由方向角的概念，b在a的北偏西3427.2如图1223所示，已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离相等，灯塔a在观察站c的北偏东40，灯塔b在观察站c的南偏东60，则灯塔a在灯塔b的()图1223a北偏东5 b北偏西10 c南偏东5 d南偏西10 b由题意可知acb180406080.acbc，cabcba50，从而可知灯塔a在灯塔b的北偏西10.3如图1224所示，d，c，b三点在地面的同一直线上，dca，从d，c两点测得a点仰角分别为，()，则点a离地面的高度ab等于()图1224a. b. c. d.a结合图形可知dac.在acd中，由正弦定理得，ac.在rtabc中，abacsin .4如图1225所示，在坡度一定的山坡a处测得山顶上一建筑物cd的顶端c对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m到达b处，又测得c对于山坡的斜度为45，若cd50 m，山坡对于地平面的坡度为，则cos 等于() 【导学号：91432066】图1225a. b.c.1 d.1c在abc中，由正弦定理，ac100.在adc中，cos sin(90)1.5如图1226，某海轮以60海里/小时的速度航行，在a点测得海面上油井p在南偏东60，向北航行40分钟后到达b点，测得油井p在南