高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.2 双曲线的简单几何性质学案 新人教A版选修11.doc

2.2.2双曲线的简单几何性质学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义(难点)自 主 预 习探 新 知1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e1渐近线yxyx思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？提示(1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同(2)e21，是渐近线的斜率或其倒数2双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e.基础自测1思考辨析(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点()(2)等轴双曲线的渐近线是yx.()(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长()答案(1)(2)(3)2双曲线y21的顶点坐标是()a(4,0)，(0,1)b(4,0)，(4,0)c(0,1)，(0，1) d(4,0)，(0，1)b由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a4，因此双曲线的顶点坐标是(4,0)，(4,0)3若双曲线1(m0)的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是_. 【导学号：97792087】(，0)，(，0)由双曲线方程得出其渐近线方程为yx，m3，求得双曲线方程为1，从而得到焦点坐标为(，0)，(，0)合 作 探 究攻 重 难根据双曲线方程研究几何性质(1)已知ab0，椭圆c1的方程为1，双曲线c2的方程为1，c1与c2的离心率之积为，则c2的渐近线方程为()axy0b.xy0cx2y0 d2xy0(2)求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程解(1)椭圆c1的离心率e1，双曲线c2的离心率e2.由e1e2，解得，所以，所以双曲线c2的渐近线方程是yx，即xy0.答案a(2)把方程nx2my2mn(m0，n0)，化为标准方程1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e.顶点坐标为(，0)，(，0)渐近线的方程为yxx.规律方法由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质提醒：求性质时一定要注意焦点的位置跟踪训练1(1)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()ax21 b.y21c.x21 dy21ca、b选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；c、d选项中双曲线的焦点在y轴上，令x20，得y2x；令y20，得yx.故选c.(2)若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为()ay2x byxcyx dyxb在双曲线中，离心率e，可得，故所求的双曲线的渐近线方程是yx.利用几何性质求双曲线方程(1)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为f，点a在双曲线的渐近线上，oaf是边长为2的等边三角形(o为原点)，则双曲线的方程为()a.1 b.1c.y21 dx21(2)渐近线方程为yx，且经过点a(2，3)的双曲线方程为_. 【导学号：97792088】思路探究(1)oaf是边长为2的等边三角形求c和点a的坐标渐近线的斜率求a，b(2)方法一：分焦点在x轴和y轴上两种情况求解方法二：待定系数法求解解析(1)不妨设点a在第一象限，由题意可知c2，点a的坐标为(1，)，所以，又c2a2b2，所以a21，b23，故所求双曲线的方程为x21，故选d.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为：1(a0，b0)，则.因为点a(2，3)在双曲线上，所以1.联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.因为点a(2，3)在双曲线上，所以1.联立，解得a28，b232.故所求双曲线的标准方程为1.法二：由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为y2(0)因为点a(2，3)在双曲线上，所以(3)2，即8.故所求双曲线的标准方程为1.答案(1)d(2)1规律方法1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解为了避免讨论，也可设方程为mx2ny21(mn0)，从而直接求解2常见双曲线方程的设法(1)渐近线为yx的双曲线方程可设为(0，m0，n0)；如果两条渐近线的方程为axby0，那么双曲线的方程可设为a2x2b2y2m(m0，a0，b0)(2)与双曲线1或1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为或(0)(3)与双曲线1(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为(0)或(0)，这是因为离心率不能确定焦点位置跟踪训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程；(1)以直线2x3y0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点m(3，2)；(3)过点(2,0)，与双曲线1离心率相等；解(1)由题意可设所求双曲线方程为4x29y2(0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得32.因此所求双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为(0)由点m(3，2)在双曲线上得，得2.故所求双曲线的标准方程为1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得0，b0)，不妨设点m在双曲线的右支上，如图，abbm2a，mba120，作mhx轴于h，则mbh60，bha，mha，所以m(2a，a)将点m的坐标代入双曲线方程1，得ab，所以e.故选d.答案(1)d(2)d规律方法求双曲线离心率的方法(1)若可求得a，c，则直接利用e得解.(2)若已知a，b，可直接利用e得解.(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0求解.跟踪训练3(1)设f1，f2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点p使得|pf1|pf2|3b，|pf1|pf2|ab，则该双曲线的离心率为()a.b.c.d3b考虑双曲线的对称性，不妨设p在右支上，则|pf1|pf2|2a，而|pf1|pf2|3b，两式等号左右两边平方后相减，得|pf1|pf2|.又已知|pf1|pf2|ab，ab，得(负值舍去)该双曲线的离心率e.(2)过双曲线c：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交c于点p.若点p的横坐标为2a，则c的离心率为_2如图，f1，f2为双曲线c的左，右焦点，将点p的横坐标2a代入1中，得y23b2，不妨令点p的坐标为(2a，b)，此时kpf2，得到c(2)a，即双曲线c的离心率e2.直线与双曲线的位置关系探究问题1直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？提示：可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点2过点(0,2)和双曲线1只有一个公共点的直线有几条？提示：四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线已知双曲线c：x2y21及直线l：ykx1，(1)若直线l与双曲线c有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线c交于a，b两点，o是坐标原点，且aob的面积为，求实数k的值思路探究直线方程与双曲线方程联立方程组判断“”与“0”的关系直线与双曲线的位置关系解(1)联立方程组消去y并整理得(1k2)x22kx20.直线与双曲线有两个不同的交点，则解得k，且k1.若l与c有两个不同交点，实数k的取值范围为(，1)(1,1)(1，)(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，对于(1)中的方程(1k2)x22kx20，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，|ab|x1x2|.又点o(0,0)到直线ykx1的距离d，saob|ab|d，即2k43k20，解得k0或k.实数k的值为或0.规律方法直线与双曲线位置关系的判断方法1方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2bxc0的形式，在a0的情况下考察方程的判别式(1)0时，直线与双曲线有两个不同的公共点(2)0时，直线与双曲线只有一个公共点(3)0，符合题意，所求直线mn的方程为yx，即3x4y50.法二设m(x1，y1)，n(x2，y2)，m，n均在双曲线上，两式相减，得yy，.点a平分弦mn，x1x26，y1y22.kmn.经验证，该直线mn存在所求直线mn的方程为y1(x3)，即3x4y50.当 堂 达 标固 双 基1双曲线1的渐近线方程是()ayxbyxcyx dyxc双曲线的焦点在x轴上，且a2，b3，因此渐近线方程为yx.2已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()a2b.c.d1d由题意得e2，2a，a234a2，a21，a1.3若一双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为()ay23x236 bx23y236c3y2x236 d3x2y236a椭圆4x2y264，即1，焦点为(0，4)，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c4，e，从而a