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第二章 几个重要的不等式1已知a2b2c21,若不等式abc|x1|对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取值范围是()a(,31,)b3,1c(,13,) d1,3解析:由柯西不等式,得(a2b2c2)(112)(abc)2.所以abc2.因为abc|x1|,所以|x1|2.解得x1或x3.答案:a2若a,b,c(0,),且abc1,则的最大值为()a1 bc d2解析:,当且仅当abc时取等号又abc1,则.的最大值为.答案:c3若axxx,bx1x2x2x3xn1xnxnx1,其中x1,x2,xn都是正数,则a与b的大小关系为()aab ba0,且ma3(a1)3(a2)3,na2(a1)(a1)2(a2)a(a2)2,则m与n的大小关系是_.解析:取两组数a,a1,a2与a2,(a1)2,(a2)2,显然a3(a1)3(a2)3是顺序和,而a2(a1)(a1)2(a2)a(a2)2是乱序和由排序不等式易知mn.答案:mn6设a,b,c(0,),若不等式(abc)25恒成立,则正数k的最小值是_.解析:因为(abc)(11)2(2)2,当且仅当ab时等号成立,所以(abc)的最小值是(2)2.由不等式(abc)25恒成立,得(2)225.所以k9.所以正数k的最小值是9.答案:97设c1,c2,cn为正数a1,a2,an的某一排列,则与n的大小关系是_.解析:不妨设00时等号成立答案:n8若正数a,b,c满足abc1,求 的最小值解:由abc1,可得(2a1)(2b1)(2c1)5.因为2a1,2b1,2c1均为正数,由柯西不等式,得(2a12b12c1)29,当且仅当abc时取等号,所以.故的最小值为.9在abc中,试证:.证明:不妨设abc,于是abc由排序不等式,得aabbccaabbcc,aabbccbacbac,aabbcccaabbc以上三式相加,得3(aabbcc)(abc)(abc)(abc)所以.由0bca,0abc,0acb,得0a(bca)c(abc)b(acb)a(bca)b(acb)c(abc)a(2a)b(2b)c(2c)(abc)2(aabbcc)所以.由,得原不等式成立10已知函数yf(x)满足f(n1)f(n)lg an1(n2,nn),且f(1)lg a是否存在实数,使f(n)(n2n1)lg a对任意nn都成立?证明你的结论解:f(n)f(n1)lg an1,令n2,则f(2)f(1)lg alg alg a0.又f(1)(1)lg a,所以解得,.所以f(n)lg a.下证对任何nn都成立(1)当n1时,显然成立(2)假设当nk(k1)时等式成立,即f(k)lg a,则当nk1时,f(k1)f(k)lg akf(k)klg
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