高中数学 第二章 几个重要的不等式阶段质量评估 北师大版选修45.doc

阶段质量评估(二)几个重要的不等式a卷(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设nn， 则4n与3n的大小关系是()a4n3nb4n3nc4n3n，即4n3n.答案：a2用数学归纳法证明“12(n2，nn)”时，第一步应验证()a12 b12c12 d12解析：n2，nn，第一步应验证当n2时，10，则a3b3c3.依据排序不等式，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab.所以a4b4c4a2bcb2cac2ab，即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.答案：b4若5x16x27x34x41，则3x2x5xx的最小值是()a bc3 d解析：因为2(5x16x27x34x4)21，所以3x2x5xx.答案：b5学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现选择商店中单价为5元、3元、2元的商品作为奖品，则至少要花()a300元 b360元c320元 d340元解析：由排序不等式，可知逆序和最小最小值为502403205320(元)答案：c6已知2x3y4z10，则x2y2z2取到最小值时的x，y，z的值分别为()a， b，c1， d1，解析：当且仅当时取到最小值，联立可得x，y，z.答案：b二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在题中横线上)7若xyzt4，则x2y2z2t2的最小值为_.解析：由柯西不等式，得(x2y2z2t2)(12121212)(xyzt)2，当且仅当xyzt1时取等号故x2y2z2t2的最小值为4.答案：48已知a(0，)，x2，x3，xn1(nn)，则a的值为_.解析：x2，x33，x(n1)(n1)n1.ann(nn)答案：nn(nn)9设x1，x2，xn为不同的正整数，则m的最小值是_.解析：设a1，a2，an是x1，x2，xn的一个排列，且满足a1a2，所以a11123n1.答案：1三、解答题(本大题共3小题，共35分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)10(本小题满分10分)已知x，y，z(0，)，且xyz1，求证：81.证明：由柯西不等式，得(xyz)281，当且仅当，即x，y，z时取等号所以81.11(本小题满分12分)设x0，求证：1xx2x2n(2n1)xn.证明：当x1时，1xx2xn，由顺序和逆序和，得11xxx2x2xnxn1xnxxn1xn1xxn1，即1x2x4x2n(n1)xn.因为x，x2，x3，xn,1为序列1，x，x2，xn的一个排列，由乱序和逆序和，得1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1，即xx3x2n1xn(n1)xn.将和相加，得1xx2x2n(2n1)xn.当0xxx2xn.仍然成立，于是也成立综上，原不等式成立12(本小题满分13分)已知正数x，y，z满足5x4y3z10.(1)求证：5；(2)求9x29y2z2的最小值(1)证明：根据柯西不等式，得(4y3z)(3z5x)(5x4y)(5x4y3z)2.因为5x4y3z10，所以5.(2)解：根据平均值不等式，得9x29y2z2223x2y2z2，当且仅当x2y2z2时等号成立根据柯西不等式，得(x2y2z2)(524232)(5x4y3z)2100，当且仅当时等号成立所以x2y2z22.综上，9x29y2z223218，当且仅当x1，y，z时等号成立所以9x29y2z2的最小值为18.b卷(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知x，y，z(0，)，且1，则x的最小值是()a5b6c8 d9解析：x29.答案：d2用数学归纳法证明“”时，假设当nk时不等式成立，则当nk1时，应推证的目标是()abcd解析：当nk1时，不等式变为.答案：a3已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值为()a1 bnc d2解析：由柯西不等式，得(aaa)(xxx)(a1x1a2x2anxn)2，即11(a1x1a2x2anxn)2.a1x1a2x2anxn1.故所求的最大值为1.答案：a4已知x，y(0，)，且xy1，则的最小值为()a5 b5c52 d52解析：(xy)2()252，当且仅当yx时取等号的最小值为52.答案：c5用数学归纳法证明“对任意x0和正整数n，都有xnxn2xn4n1”时，需要验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()a1 b2c1,2 d以上答案均不正确解析：当n1时，左边x，右边11，而x2，即当n1时不等式成立答案：a6设a，b，c为正数，且a2b3c13，则的最大值为()a bc d6解析：(a2b3c)12()2，当且仅当时取等号()2，即.又a2b3c13，a9，b，c.故有最大值.答案：a二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在题中横线上)7函数y的最小值是_.解析：由柯西不等式，得y22(1)232，当且仅当，sin 21，即时等号成立答案：328已知数列an的各项均为自然数且它的前n项和为sn，a11.若对所有的正整数n，有sn1sn(sn1sn)2成立，通过计算a2，a3，a4，可归纳出sn_.解析：由已知，得sn1sna.当n2时，snsn1a.两式相减，得an1anaa.an1an1.数列an为等差数列，公差d1.a22，a33，ann.sn.答案：9三角形的三边a，b，c对应的高为ha，hb，hc，r为三角形内切圆的半径若hahbhc的值为9r，则此三角形为_三角形解析：记三角形的面积为s，则2sahabhbchc.因为2sr(abc)，所以hahbhc2sr(abc).由柯西不等式，得(abc)()2()2()229，当且仅当abc时取等号所以hahbhc9r.故当hahbhc9r时，三角形为等边三角形答案：等边三、解答题(本大题共3小题，共35分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)10(本小题满分10分)已知正数x，y，z满足xyz1.(1)求证：；(2)求4x4y4z2的最小值(1)证明：因为x0，y0，z0，所以由柯西不等式，得(y2z)(z2x)(x2y)(xyz)2.因为xyz1，所以.(2)解：由平均值不等式，得4x4y4z23.因为xyz1，所以xyz21zz22.故4x4y4z233，当且仅当xy，z时等号成立所以4x4y4z2的最小值为3.11(本小题满分12分)已知函数f(x)m|x2|，mr，且关于x的不等式f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，c(0，)，且m，求证：a2b3c9.(1)解：因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明：由(1)，知1.又a，b，c(0，)，由柯西不等式，得a2b3c(a2b3c)29.12(本小题满分13分)已知数列bn是等差数列，b11，b1b2b10145(nn)(1)求数列bn的通项；(2)设数列an的通项anloga(其中a0且a1)，记sn是数列an的前n项和，试比较sn与logabn1的大小，并证明你的结论解：(1)设数列bn的公差为d，由题意，得101d145.d3，bn3n2.(2)由bn3n2，知snloga(11)logalogaloga，logabn1loga.因此，要比较sn与logabn1的大小，可先比较(11)与的大小取n1，有(11).猜想取n1，