2016_17学年高中数学3.1.13.1.2第2课时复数的几何意义学案【新人教B版选修】.docx

第2课时复数的几何意义1.理解复平面、实轴、虚轴等概念.2.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系.(重点)3.理解复数模的概念，会求复数的模.(难点)基础初探教材整理1复数的几何意义及复数的模阅读教材P52例2以下的内容，完成下列问题.1.复平面(1)定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；(2)实轴：在复平面内，x轴叫做实轴，单位是1，实轴上的点都表示实数；(3)虚轴：在复平面内，y轴叫做虚轴，单位是i，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；(4)原点：原点(0，0)表示实数0.2.复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)复平面内的点Z(a，b).(2)复数zabi(a，bR)平面向量.为方便起见，我们常把复数zabi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数.3.复数的模向量的长度叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，且|abi|.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.()(2)复数的模一定是正实数.()(3)复数z1z2的充要条件是|z1|z2|.()【解析】(1)正确.根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2，0)表示实数2.(2)错误.复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0也是复数，它的模为0不是正实数.(3)错误.两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小.【答案】(1)(2)(3)教材整理2共轭复数阅读教材P53例1以下部分，完成下列问题.1.定义：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数.2.表示：复数z的共轭复数用表示，即当zabi(a，bR)时，则abi.若x2yi和3xi互为共轭复数，则实数x与y的值分别是_，_.【解析】x2yi和3xi互为共轭复数，解得【答案】11质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型复数与复平面内点的关系已知复数z(a21)(2a1)i，其中aR.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围).(1)在实轴上；(2)在第三象限；(3)在抛物线y24x上.【精彩点拨】解答本题可先确定复数z的实部、虚部，再根据要求列出关于a的方程(组)或不等式(组)求解.【自主解答】复数z(a21)(2a1)i的实部为a21，虚部为2a1，在复平面内对应的点为(a21，2a1).(1)若z对应的点在实轴上，则有2a10，解得a.(2)若z对应的点在第三象限，则有解得1a.(3)若z对应的点在抛物线y24x上，则有(2a1)24(a21)，即4a24a14a24，解得a.复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系.每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部、虚部分别对应点的横坐标、纵坐标，从而讨论复数对应点在复平面内的位置，关键是确定复数的实、虚部，由条件列出相应的方程(或不等式)组.再练一题1.在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线yx上，分别求实数m的取值范围.【解】复数z(m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2，虚部为m23m2.(1)由题意得m2m20，解得m2或m1.(2)由题意得1m1.(3)由已知得m2m2m23m2，m2.复数与向量的对应关系已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，求向量对应的复数. 【导学号：37820037】【精彩点拨】【自主解答】向量，对应的复数分别为23i，32i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量(2，3)，(3，2).由向量减法的坐标运算可得向量(23，32)(5，5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是55i.1.根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.2.解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.再练一题2.(2016黄山高二检测)在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.【解】(1)设向量对应的复数为z1x1y1i(x1，y1R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2，1).根据对称性可知：x12，y11，故z12i.(2)设点C对应的复数为z2x2y2i(x2，y2R)，则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知：x22，y21，故z22i.探究共研型复数模的几何意义及应用探究1若zC，则满足|z|2的点Z的集合是什么图形？【提示】因为|z|2，即|2，所以满足|z|2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图所示.探究2若zC，则满足2|z|3的点Z的集合是什么图形？【提示】不等式2|z|2的解集是圆|z|2外部所有的点组成的集合，不等式|z|3的解集是圆|z|3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集.因此，满足条件2|z|3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示.已知复数z1i，z2i.(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小；(2)设复平面内，复数z满足|z2|z|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？【精彩点拨】(1)利用复数模的定义来求解.若zabi(a，bR)，则|z|.(2)先确定|z|的范围，再确定点Z满足的条件，从而确定点Z的图形.【自主解答】(1)|z1|2.|z2|1.21，|z1|z2|.(2)由(1)知|z2|z|z1|，则1|z|2. 因为不等式|z|1的解集是圆|z|1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界.1.两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小.2.复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.3.|z1z2|表示点Z1，Z2两点间的距离，|z|r表示以原点为圆心，以r为半径的圆.再练一题3.如果复数z1ai满足条件|z|2，那么实数a的取值范围是_.【解析】由|z|2知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包括边界)，由z1ai知z对应的点在直线x1上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合，由图可知a.【答案】(， )构建体系1.在复平面内，若(0，5)，则对应的复数为()A.0 B.5C.5iD.5【解析】对应的复数z05i5i.【答案】C2.在复平面内，复数zsin 2icos 2对应的点位于() 【导学号：37820038】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】20，cos 20.故zsin 2icos 2对应的点在第四象限.【答案】D3.已知复数z3i，则复数的模|z|是()A.5 B.8 C.6 D.【解析】|z|.【答案】D4.若复数z13ai，z2b4i(a，bR)，且z1与z2互为共轭复数，则zabi的模为_.【解析】z13ai，z2b4i互为共轭复数，z43i，|z|5.【答案】55.已知复数z满足z|z|28i，求复数z.【解】设zabi(a，bR)，则|z|，代入方程得，abi28i，解得z158i.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.(2016长春高二检测)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.48iB.82iC.24iD.4i【解析】由题意知A(6，5)，B(2，3)，则AB中点C(2，4)对应的复数为24i.【答案】C2.复数z13i的模等于()A.2B.4C.D.2【解析】|z|13i|，故选C.【答案】C3.复数z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，则实数a的取值范围是() 【导学号：37820039】A.(1，1)B.(1，)C.(0，)D.(，1)(1，)【解析】|z1|，|z2|，1a1.【答案】A4.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为()A.2iB.2iC.12iD.12i【解析】因为A(1，2)关于直线yx的对称点为B(2，1)，所以向量对应的复数为2i.【答案】B5.已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部为，则z为()A.2iB.2iC.3iD.3i【解析】设zbi(bR)，由|z|3，解得b2，又复数z对应的点在第二象限，则b2，z2i.【答案】A二、填空题6.在复平面内，复数z与向量(3，4)相对应，则|z|_.【解析】由题意知z34i，|z|5.【答案】57.已知复数x26x5(x2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围是_.【解析】由已知得1x2.【答案】(1，2)8.已知ABC中，对应的复数分别为12i，23i，则对应的复数为_.【解析】因为，对应的复数分别为12i，23i，所以(1，2)，(2，3).又(2，3)(1，2)(1，5)，所以对应的复数为15i.【答案】15i三、解答题9.若复数zx3(y2)i(x，yR)，且|z|2，则点(x，y)的轨迹是什么图形？【解】|z|2，2，即(x3)2(y2)24.点(x，y)的轨迹是以(3，2)为圆心，2为半径的圆.10.实数m取什么值时，复平面内表示复数z(m3)(m25m14)i的点：(1)位于第四象限；(2)位于第一、三象限；(3)位于直线yx上.【解】(1)由题意得得3m7或2m3，此时复数z对应的点位于第一、三象限.(3)要使复数z对应的点在直线yx上，只需m25m14m3，m26m110，m32，此时，复数z对应的点位于直线yx上.能力提升1.(2016吉林高二检测)已知aR，且0a1，i为虚数单位，则复数za(a1)i的共轭复数z在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】0a0，故复数za(a1)i的共轭复数za(1a)i在复平面内所对应的点(a，1a)位于第一象限.【答案】A2.已知实数a，x，y满足a22a2xy(axy)i0，则点(x，y)的轨迹是()A.直线B.圆心在原点的圆C.圆心不在原点的圆D.椭圆【解析】因为a，x，yR，所以a22a2xyR，axyR.又a22a2xy(axy)i0，所以消去a得(yx)22(yx)2xy0，即x2y22x2y0，亦即(x1)2(y1)22，该方程表示圆心为(1，1)，半径为的圆.【答案】C