高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第2课时 空间向量与垂直关系学案 新人教A版选修21.doc

第2课时空间向量与垂直关系学习目标：1.能利用平面法向量证明两个平面垂直(重点)2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系(重点，难点)自 主 预 习探 新 知空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lmab0a1b1a2b2a3b30线面垂直设直线l的方向向量是a(a1，b1，c1)，平面的法向量是u(a2，b2，c2)，则lauaku(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kr)面面垂直若平面的法向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则 uv uv0a1a2b1b2c1c20思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？提示垂直基础自测1思考辨析(1)直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直()(2)两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直()(3)若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直()答案(1)(2)(3)2若直线l的方向向量a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()alblcldl与斜交bn(2,0，4)2(1,0,2)2a，na，l.3若直线l1的方向向量为u1(1,3,2)，直线l2上有两点a(1,0,1)，b(2，1,2)，则两直线的位置关系是_l1l2(1，1,1)，u11131210，因此l1l2.4已知两平面，的法向量分别为u1(1,0,1)，u2(0,2,0)，则平面，的位置关系为_. 【导学号：46342167】u1u20，则.合 作 探 究攻 重 难应用向量法证明线面垂直如图3210所示，正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1的中点图3210求证：ab1平面a1bd思路探究法一：通过证明，得到ab1ba1，ab1bd法二：证明与平面a1bd的法向量平行证明法一：如图所示，取bc的中点o，连接ao.因为abc为正三角形，所以aobc因为在正三棱柱abca1b1c1中，平面abc平面bcc1b1，所以ao平面bcc1b1.取b1c1的中点o1，以o为原点，以，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则b(1,0,0)，d(1,1,0)，a1(0,2，)，a(0,0，)，b1(1,2,0)所以(1,2，)，(1,2，)，(2,1,0)因为1(1)22()0.1(2)21()00.所以，即ab1ba1，ab1bd又因为ba1bdb，所以ab1平面a1bd法二：建系同方法一设平面a1bd的法向量为n(x，y，z)，则，即令x1得平面a1bd的一个法向量为n(1,2，)，又(1,2，)，所以n，即n.所以ab1平面a1bd规律方法1.坐标法证明线面垂直有两种思路法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行2使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决跟踪训练1.如图3211，长方体abcda1b1c1d1中，abad1，aa12，点p为dd1的中点，求证：直线pb1平面pac图3211证明依题设，以d为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系dxyz，则c(1,0,0)，p(0,0,1)，a(0，1,0)，b1(1,1,2)，于是(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)，(1,1,0)(1,1,1)0，(1,0,1)(1,1,1)0，故，即pb1cp，pb1ca，又cpcac，且cp平面pac，ca平面pac故直线pb1平面pac应用向量法证明面面垂直如图3212所示，在直三棱柱abca1b1c1中，abbc，abbc2，bb11，e为bb1的中点，证明：平面aec1平面aa1c1c图3212思路探究要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1n20.解由题意得ab，bc，b1b两两垂直以b为原点，ba，bc，bb1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则a(2,0,0)，a1(2,0,1)，c(0,2,0)，c1(0,2,1)，e，则(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，2,0，.设平面aa1c1c的一个法向量为n1(x1，y1，z1)则令x11，得y11.n1(1,1,0)设平面aec1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)则令z24，得x21，y21.n2(1，1,4)n1n2111(1)040.n1n2，平面aec1平面aa1c1c规律方法1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直2向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度跟踪训练2三棱锥被平行于底面abc的平面所截得的几何体如图3213所示，截面为三角形a1b1c1，bac90，a1a平面abca1a，abac2a1c12，d为bc中点图3213证明：平面a1ad平面bcc1b1. 【导学号：46342168】证明如图，建立空间直角坐标系则a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，a1(0,0，)，c1(0,1，)，因为d为bc的中点，所以d点坐标为(1,1,0)，所以(2,2,0)，(1,1,0)，(0,0，)，因为2200，0000，所以，所以bcad，bcaa1，又adaa1a，所以bc平面ada1，而bc平面bcc1b1，所以平面a1ad平面bcc1b1.当 堂 达 标固 双 基1若直线l的方向向量a(8，12,0)，平面的法向量(2，3,0)，则直线l与平面的位置关系是()alblc直线l与平面相交但不垂直d无法确定ba.a，l.2若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()an1(1,2,1)，n2(3,1,1)bn1(1,1,2)，n2(2,1,1)cn1(1,1,1)，n2(1,2,1)dn1(1,2,1)，n2(0，2，2)a选项a中，n1n21(3)21110.故选a3已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面abc的一个单位法向量为()abc db设平面abc的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y2，z2.所以n(1，2,2)由于|n|3，所以平面abc的一个单位法向量可以是.4已知平面和平面的法向量分别为a(1,2,3)，b(x，2,3)，且，则x_.5，ab，abx490，x5.5在正方体abcda1b1c1d1中，e为cc1的中点，证明：平面b1ed平面b1bd 【导学号：46342169】证明以da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴