高考数学 专题13.2 推理与证明试题 理.doc

推理与证明【三年高考】1. 【2017课标ii，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）a.乙可以知道四人的成绩 b.丁可以知道四人的成绩c.乙、丁可以知道对方的成绩 d.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】d2.【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.3【2015高考山东，理11】观察下列各式： 照此规律，当nn时， .【答案】 【解析】因为第一个等式右端为： ；第二个等式右端为： ；第三个等式右端为： 由归纳推理得：第 个等式为： 所以答案应填： 4.【2015江苏高考，23】 已知集合，令表示集合所含元素的个数.（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.【解析】（1）（2）当时，（）下面用数学归纳法证明：当时，结论成立；假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，中产生，分以下情形讨论：1）若，则，此时有，结论成立；2）若，则，此时有，结论成立；3）若，则，此时有，结论成立；4）若，则，此时有，结论成立；5）若，则，此时有，结论成立；6）若，则，此时有，结论成立综上所述，结论对满足的自然数均成立【2017考试大纲】1.合情推理与演绎推理 (1)了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用. (2)了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. (3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 2.直接证明与间接证明 (1)了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. (2)了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点. 3.数学归纳法 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 高考对本部分知识的考查主要在合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小.【2018年高考复习建议与高考命题预测】推理与证明是数学的基础思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，推理一般包括合情推理与演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养.证明包括直接证明与间接证明，其中数学归纳法是将无穷的归纳过程，根据归纳原理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过程，要很好地掌握其原理并灵活运用.推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力，表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度，增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现. 预测2018年高考将会有题目用到推理证明的方法.复习建议：推理证明题主要和其它知识结合到一块，属于知识综合题，解决此类题目时要建立合理的解题思路. 【2018年高考考点定位】高考的考查：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法（理科）等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小；【考点1】合情推理与演绎推理【备考知识梳理】1.合情推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理(2)合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类a.数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；b.形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的分类:类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法a.类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；b.类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；c.类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移 2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫做演绎推理演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真.(2)模式：三段论大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理【规律方法技巧】1. 归纳推理与类比推理之区别：(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质2.演绎推理问题的处理方法从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果3.应用合情推理应注意的问题：(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质注意：归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性4.归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；检验猜想(2)类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；检验猜想5.演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提6.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论,归纳推理所得的结论不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具体到抽象的认知过程，是发现一般规律的重要方法类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则会犯机械类比的错误演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性.【考点针对训练】1. 【湖北省荆州中学2018届高三第二次月考】如图，在梯形中， 若 ， 到与的距离之比为，则可推算出： 试用类比的方法，推想出下述问题的结果在上面的梯形中，延长梯形两腰相交于点，设， 的面积分别为， 且到与的距离之比为，则的面积与的关系是（ ）a. b. c. d. 【答案】c2. 【江西省南昌市2017届高三第三次模拟】已知若，则a. b. c. d. 【答案】c【解析】观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是时，则等号右边的数为,因此，令，则，n=10.本题选择c选项.【考点2】直接证明与间接证明【备考知识梳理】1直接证明(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.框图表示：(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式： 要证明命题q为真，只需要证明命题为真，从而有，这只需要证明命题为真，从而又有这只需要证明命题p为真，而已知p为真，故命题q必为真框图表示：.2间接证明反证法：要证明某一结论a是正确的，但不直接证明，而是先去证明a的反面（非a）是错误的，从而断定a是正确的，即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法.【规律方法技巧】1. 明晰三种证题的一般规律(1)综合法证题的一般规律：用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论(2)分析法证题的一般规律：分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件(3)反证法证题的一般规律：反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是a，或者是非a.即在同一讨论过程中，a和非a有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现2.综合法证题的思路：3.分析法证题的技巧：(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证4.反证法证明问题的一般步骤:(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立)注意：可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾在证明过程中，推出自相矛盾的结论.5.反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等.【考点针对训练】1. 【宁夏石嘴山市2017届高三第三次模拟】高三（1）班某一学习小组的、四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步.不在散步，也不在打篮球；不在跳舞，也不在跑步；“在散步”是“在跳舞”的充分条件；不在打篮球，也不在跑步；不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么在 .【答案】画画【解析】由，可知,a、d都不散步，必有c在散步，由可知必有a在跳舞，由可知d不在打篮球，因此 在画画，故答案为画画.2. 【山东莱芜市第一中学2017年高三数学模拟】用反证法证明命题“设为实数，则方程没有实数根”时，要做的假设是a. 方程至多有一个实根 b. 方程至少有一个实根c. 方程至多有两个实根 d. 方程恰好有两个实根【答案】a【解析】至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选a.【考点3】数学归纳法【备考知识梳理】1. 一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法2数学归纳法：设是一个与正整数相关的命题集合，如果：证明起始命题(或)成立；在假设成立的前提下，推出也成立，那么可以断定对一切正整数成立3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：归纳奠基：证明当取第一个自然数时命题成立；归纳递推：假设，(，)时，命题成立，证明当时，命题成立；由得出结论【规律方法技巧】1. 明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在nk1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值的值(2)由到时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉来3. 数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由成立，推证时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明4. “归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题在使用数学归纳法时还要明确：(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可； (2)在运用数学归纳法时，要注意起点，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目；(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由到时命题变化的情况6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法例如根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的【考点针对训练】1.用数学归纳法证明不等式“（n2）”过程中，由到时，不等式的左边（ ）a增加了一项 b增加了两项c增加了一项，又减少了一项 d增加了两项，又减少了一项 【答案】d【解析】当时，不等式左边为，比较时，增加了，但也减少了，故选d.2. 【江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟】已知函数，设为的导数， .（1）求；（2）猜想的表达式，并证明你的结论.【应试技巧点拨】1逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.2.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论,归纳推理所得的结论不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具体到抽象的认知过程，是发现一般规律的重要方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 归纳推理的一般步骤:通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.3类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则会犯机械类比的错误4.反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等.证明问题的一般步骤:(1)反设； (2)归谬； (3)立论.注意：可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾在证明过程中，推出自相矛盾的结论. 1.【西藏自治区拉萨中学2017届高三第八次月考】在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语乙是法国人，还会说日语丙是英国人，还会说法语丁是日本人，还会说汉语戊是法国人，还会说德语则这五位代表的座位顺序应为（ ）a. 甲丙丁戊乙 b. 甲丁丙乙戊 c. 甲乙丙丁戊 d. 甲丙戊乙丁【答案】d【解析】这道题实际上是一个逻辑游戏，首先要明确解题要点：甲乙丙丁戊个人首尾相接，而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流，而且个备选答案都是从甲开始的，因此，我们从甲开始推理思路一：正常的思路，根据题干来作答甲会说中文和英语，那么甲的下一邻居一定是会说英语或者中文的，以此类推，得出答案思路二：根据题干和答案综合考虑，运用排除法来解决，首先，观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流，因此，b，c不成立，乙不能和甲交流，a错误，因此，d正确 2.【2017届山西省高三3月一模】已知是圆上的一个动点，过点作曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为， 的中点为.若曲线，且，则点的轨迹方程为.若曲线，且，则点的轨迹方程是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由于椭圆与双曲线定义中的运算互为逆运算，所以猜想与双曲线对应的点的轨迹方程为. 3. 【江西省新余市2017届高三高考全真模拟】我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得.类似上述过程，则=（ ）a. 3 b. c. 6 d. 【答案】a4. 【北京市朝阳区2017届高三二模】“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c（abc且a,b,cn*），选手最终得分为各项得分之和已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是a. 甲 b. 乙 c. 丙 d. 乙和丙都有可能【答案】b【解析】射击击剑游泳马术越野跑总分甲5552522乙111519丙222129总分为5(a+b+c)=22+9+9=40，所以a+b+c=8，只有两种可能521或421。显然421不符，因为即使五个第一名也不够22分。所以a=5,b=2,c=1。所以上面可知，甲其余四个选项都是第一名，马术第二名，记2分，总共22分。由于丙马术第三名，记1分，所以其余四项均第二名，记2分，共9分。乙马术第一名，记5分，其余四项均第三名，记1分，共9分。所以选b.5. 【辽宁省沈阳市2017届高三第三次模拟】“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的详解九章算法一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）a. b. c. d. 【答案】b6. 【河南省郑州市一中2017届高三4月模拟】“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的（ ）a. 丁酉年 b. 戊未年 c. 乙未年 d. 丁未年【答案】a【解析】由题意有，2016年是丙申年，则后一年2017年是丁酉年，选a.7.【北京市海淀区2017届高三5月二模】已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为，大圆盘上所写的实数分别记为,如图所示.将小圆盘逆时针旋转次，每次转动，记为转动次后各区域内两数乘积之和，例如. 若， ，则以下结论正确的是a. 中至少有一个为正数 b. 中至少有一个为负数c. 中至多有一个为正数 d. 中至多有一个为负数【答案】a【解析】根据题意可知：（）0,又（）去掉括号即得：（）=0,所以可知中至少有一个为正数，故选a8.【北京市西城区2017届高三二模】有三支股票， ， ，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】设只持有a股票的人数为（如图所示），则持有a股票还持有其它股票的人数为（图中 的和），因为只持有一支股票的人中，有一半没持有b或c股票，则只持有了b和c股票的人数和为（图中部分）假设只同时持有了b和c股票的人数为（如图所示），那么： ，即： ，则：x的取值可能是：9、8、7、6、5、4、3、2、1与之对应的值为：2、5、8、11、14、17、20、23、26因为没持有a股票的股民中，持有b股票的人数为持有c股票人数的2倍，得，即，故， 时满足题意，故， ，故只持有b股票的股民人数是，故选a.9.【2017届山东省济宁市高三3月模拟】已知（，2,3， ），观察下列不等式：；照此规律，当（）时， _【答案】【解析】观察下列不等式： ；，知左边每一个式子是算术平均数，右边的式子是几何平均数，即几个数算术平均数不小于它们的几何平均数。归纳推测到一个对也成立的不等式为 故答案为： 10.【浙江省2017届高三五校联考】已知数列中，满足记为前n项和（i）证明： ；（）证明： （）证明： .【解析】（i）因 故只需要证明即可，下用数学归纳法证明：当时， 成立；假设时， 成立，那么当时， ，所以综上所述，对任意， （）用数学归纳法证明，当时， 成立，假设时， ，那么当时， 所以综上所述，对任意， （）得 故 11. 【2016届河南省八市高三4月质检】已知，观察下列算式：； ，；若，则的值为（ ）a b c d【答案】c【解析】由题意：； ，； ；据此可知，则的值为.12. 【2016届河北省衡水中学高三一模】定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.如：，依次类推可得：，其中.设，则的最小值为（ ）a b c d【答案】c【解析】由题意得，则，因为，所以时，有最小值，此时最小值为，故选c.13. 【2016届宁夏六盘山高中高三四模】对于函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究的结果，计算 = .【答案】201614. 【2016届江苏省清江中学高三考前一周】如图甲所示，在直角中，、，是垂足，则有，该结论称为射影定理如图乙所示，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比直角三角形中的射影定