高考数学 考点一遍过 专题36 椭圆 文.doc

考点36椭圆（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.（3）了解椭圆的简单应用.（4）理解数形结合的思想.一、椭圆的定义平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.二、椭圆的标准方程焦点在轴上，；焦点在轴上，.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.三、椭圆的图形及其简单几何性质i)图形焦点在轴上焦点在轴上ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆，对称轴：轴，轴，对称中心：原点，注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.四、必记结论1.设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，p点在短轴端点处；当时，有最大值a，p点在长轴端点处2.已知过焦点f1的弦ab，则的周长为4a.考向一椭圆定义的应用1.椭圆定义的集合语言:往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.以椭圆上一点和焦点f1 (c，0)， f2 (c，0)为顶点的中，若，注意以下公式的灵活运用：（1）；（2）；（3）.2.解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.典例1已知f1，f2是椭圆的两个焦点，点p在椭圆上（1）若点p到焦点f1的距离等于1，则点p到焦点f2的距离为_；（2）过f1作直线与椭圆交于a，b两点，则的周长为_；（3）若，则点p到焦点f1的距离为_【答案】（1）3；（2）8；（3）（3）在中，由余弦定理可得，即，由椭圆的定义可得，两式联立解得1p是椭圆1上的一点，f1和f2是椭圆的两个焦点，若f1pf230，则的面积为ab4(2)c16(2) d16考向二求椭圆的标准方程求椭圆的方程有两种方法: （1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）. 第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为. 典例2 椭圆以x轴和y轴为对称轴,经过点(2,0),长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的方程为a.x24+y2=1 b.y216+x24=1 c.x24+y2=1或y216+x24=1 d.x24+y2=1或y24+x2=1【答案】c2离心率为，长轴长为的椭圆的标准方程是ab或cd或考向三椭圆的几何性质及应用1.与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了. 2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：（1）求出a,c，代入公式.（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.典例3已知椭圆的方程为2x23y2m，(m0)，则此椭圆的离心率为a.b.c.d.【答案】b【解析】由题意，得椭圆的标准方程为1，a2，b2，c2a2b2，e2，即e.故选b.3已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为abcd1方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是a(0,+)b(0，2) c(1，+) d(0，1)2椭圆2x2+3y2=6的焦距是a2 b 2(3-2)c 25d 2(3+2)3已知椭圆的一个焦点为抛物线y2=8x的准线与其对称轴的交点,且椭圆的离心率为12,则椭圆的方程为ax212+y216=1 bx216+y212=1 cx248+y264=1 dx264+y248=14已知椭圆x2+my2=1的离心率e(12,1),则实数m的取值范围是a(0,34) b(34,+) c(0,34)(43,+) d(34,1)(1,43)5已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,右顶点到直线x=a2c(c为椭圆的半焦距)的距离为2-2,则椭圆c的方程为ax22+y2=1 bx24+y22=1 cx24+y2=1 dx26+y24=16对于常数m,n,“mn0”是“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”的a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件7如图，椭圆x29+y24=1的左、右焦点分别为f1、f2，点p为其上的动点，当f1pf2为钝角时，则点p的横坐标的取值范围是a(-355,355)b(-3,-355)(355,3)c(-255,255)d(-53,53)8已知点m是椭圆x24+y2=1上一点,f1,f2是椭圆的焦点,且满足mf1mf2=0,则的面积为a1 b3c2 d49已知f1,f2为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,过f2作椭圆的弦ab,若的周长为16,椭圆的离心率e=32,则椭圆的方程是ax24+y23=1 bx216+y23=1 cx216+y212=1 dx216+y24=110设p是椭圆x216+y212=1上一点,p到两焦点f1,f2的距离之差为2,则是a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d等腰直角三角形11已知f1,f2分别是椭圆e:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点(1,22)在椭圆上,且点(-1,0)到直线pf2的距离为455,其中点p(-1,-4),则椭圆的标准方程为ax2+y24=1 bx24+y2=1 cx2+y22=1 dx22+y2=112已知椭圆x24+y22=1的两个焦点是f1,f2,点p在该椭圆上,若|pf1|-|pf2|=2,则的面积是a2b2 c22d313已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点、上顶点分别为a,b,坐标原点到直线ab的距离为433,且a=2b,则椭圆c的方程为ax28+y24=1 by28+x24=1 cx216+y28=1 dy216+x28=114已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为f1(-c,0),f2(c,0),若椭圆上存在点p,使asinpf1f2=csinpf2f1,则该椭圆离心率的取值范围为a(0,2-1) b(22,1) c(0,22) d(2-1,1)15若椭圆x2m+y24=1(m0)的焦距为2,则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为.16已知f1,f2为椭圆的两个焦点,过f1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于a,b两点,若为正三角形,则椭圆的离心率为.17已知f1,f2是椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,p为椭圆c上的一点,且pf1pf2,若的面积为9,则b=.18如图,a,b分别为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点,点p在椭圆上,是面积为4的等腰直角三角形,则b=.19设f1,f2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,p为椭圆上任一点,点m的坐标为(6,4),则|pm|+|pf1|的最大值为.20已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为f1,f2，离心率为33，过f2的直线l交c于a,b两点，若的周长为，则椭圆c的方程为.21设椭圆x24+y2=1的两个焦点为f1,f2,m是椭圆上任一动点,则mf1mf2的取值范围为.22某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心f为焦点的椭圆,测得近地点a距离地面m km,远地点b距离地面n km,地球半径为r km,关于这个椭圆有下列说法:焦距长为n-m;短轴长为(m+r)(n+r);离心率e=n-mm+n+2r.其中正确说法的序号为.23求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,32);(2)对称轴为坐标轴,经过点p(-6,0)和q(0, 8).24p是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上任意一点,f1,f2是它的两个焦点,o为坐标原点,有一动点q满足oq=pf1+pf2,求动点q的轨迹方程.25已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2.直线l:y=kx+m(m0)与椭圆相交于不同的a,b两点.(1)求椭圆的方程;(2)若线段ab中点的横坐标为m2,求k的值.1（2017浙江）椭圆的离心率是abcd2（2017新课标全国iii文）已知椭圆c：的左、右顶点分别为a1，a2，且以线段a1a2为直径的圆与直线相切，则c的离心率为abcd3（2017新课标全国i文）设a，b是椭圆c：长轴的两个端点，若c上存在点m满足amb=120，则m的取值范围是abcd4（2017江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为8点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标（注：椭圆的准线方程：）变式拓展1【答案】b【解析】由题意知c1；|pf1|pf2|2，|f1f2|2，在中有：|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos30|f1f2|2，(|pf1|pf2|)2(2)|pf1|pf2|4，|pf1|pf2|16(2)，的面积为s|pf1|pf2|sin304(2)故选b.2【答案】b【解析】由题意知，当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，故选b3【答案】c又因为，所以故选c考点冲关1【答案】d【解析】方程x2+y21k=2表示焦点在y轴上的椭圆，所以1k1,则0k1,故选d.2【答案】a【解析】将椭圆的方程化为标准方程为x23+y22=1，则a2=3,b2=2,所以c=1，则焦距2c=2.3【答案】b4【答案】c【解析】椭圆x2+my2=1的标准方程为x2+y21m=1.又12e1,即0b2a243;当椭圆的焦点在y轴上时,a2=1m,b2=1,则0m34.所以实数m的取值范围是0m43.【名师点睛】椭圆的性质分两类:(1)与坐标系无关的,如轴长、焦距、离心率;(2)与坐标系有关的,如顶点坐标、焦点坐标. 5【答案】a【解析】由题意知,ca=22a2c-a=2-2,解得a=2c=1,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆c的方程为x22+y2=1.6【答案】b【解析】由mn0,得m0n0或m0n0n0mn.故“mn0”是“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.7【答案】a【解析】f1-5,0、f25,0,设pxp,yp,-3xp3，则pf1=-5-xp,-yp，pf2=5-xp,-yp,当f1pf2为钝角时,pf1pf20,即-5-xp5-xp+yp20，由点p在椭圆上，可得yp2=4-49xp2，xp2-5+4-49xp20，xp295，解得-355xp0),则kpf2=4c+1,故直线pf2的方程为y=4c+1(x-c),即4c+1x-y-4cc+1=0,点(-1,0)到直线pf2的距离d=|-4c+1-4cc+1|(4c+1)2+1=4(4c+1)2+1=455,即(4c+1)2=4,解得c=1或c=-3(舍去),所以a2-b2=1.又点(1,22)在椭圆e上,所以1a2+12b2=1,由可得a2=2,b2=1,所以椭圆的标准方程为x22+y2=1.故选d.12【答案】a13【答案】c【解析】依据题意,可得直线ab的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.又坐标原点到直线ab的距离为433,故433=aba2+b2a2b2a2+b2=163,又a=2b,解得a=4,b=22,故椭圆c的方程为x216+y28=1.14【答案】d【解析】根据正弦定理得|pf2|sinpf1f2=|pf1|sinpf2f1,又asinpf1f2=csinpf2f1可得a|pf2|=c|pf1|,即|pf1|pf2|=ca=e,所以|pf1|=e|pf2|.又|pf1|+|pf2|=e|pf2|+|pf2|=|pf2|(e+1)=2a,所以|pf2|=2ae+1.因为a-c|pf2|a+c,所以a-c2ae+1a+c,所以1-ca2e+11+ca,所以1-e2e+11+e, 即(1+e)(1-e)2,2(1+e)2,0e1,解得2-1eb0),f1(c,0),f2(-c,0),由x=ca2=b2+c2x2a2+y2b2=1得|y|=b2a,即|af1|=|bf1|=b2a,|ab|=2b2a.因为为正三角形,所以2b2a32=2c,得3(a2-c2)=2ac,即3e2+2e-3=0.又0eb0).方法一:由椭圆的定义知,所以a=6.又c=2,所以b=a2-c2=42,所以椭圆的标准方程为y236+x232=1.方法二:因为所求椭圆过点(4,32),所以18a2+16b2=1.又a2-b2=c2=4,所以a2=36,b2=32,所以椭圆的标准方程为y236+x232=1.(2)由椭圆的几何性质可知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以点p,q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点,则短半轴长b=6,长半轴长a=8,且短轴、长轴分别在x轴和y轴上,所以椭圆的标准方程为y264+x236=1.24【解析】作p关于o的对称点m,连接f1m,f2m,则四边形f1pf2m为平行四边形,所以pf1+pf2=pm=2po=-2op.又oq=pf1+pf2,所以op=-12oq.设q(