高考数学 考点通关练 第七章 平面解析几何 55 曲线与方程试题 理.DOC

考点测试55曲线与方程一、基础小题1方程(xy)2(xy1)20的曲线是()a一条直线和一条双曲线 b两条双曲线c两个点 d以上答案都不对答案c解析(xy)2(xy1)20或2点a、b分别为圆m：x2(y3)21与圆n：(x3)2(y8)24上的动点，点c在直线xy0上运动，则|ac|bc|的最小值为()a7 b8 c9 d10答案a解析设m(0,3)关于直线xy0的对称点为p(3,0)，且n(3,8)，|ac|bc|pn|1237.3已知点f，直线l：x，点b是l上的动点若过b垂直于y轴的直线与线段bf的垂直平分线交于点m，则点m的轨迹是()a双曲线 b椭圆 c圆 d抛物线答案d解析由已知得|mf|mb|.由抛物线定义知点m的轨迹是以f为焦点，l为准线的抛物线4与圆x2y21及x2y28x120都外切的圆的圆心在()a一个椭圆上 b双曲线的一支上c一条抛物线上 d一个圆上答案b解析圆x2y28x120的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1，由此可知动圆的圆心在双曲线的一支上5|y|1表示的曲线是()a抛物线 b一个圆 c两个圆 d两个半圆答案d解析原方程等价于或故选d.6动点p为椭圆1(ab0)上异于椭圆顶点a(a,0)，b(a,0)的一点，f1，f2为椭圆的两个焦点，动圆m与线段f1p，f1f2的延长线及线段pf2相切，则圆心m的轨迹为除去坐标轴上的点的()a一条直线 b双曲线的右支c抛物线 d椭圆答案a解析如图，画出圆m，设切点分别为e，g，d，由切线长定理知|f1g|f1e|，|pd|pe|，|f2d|f2g|，根据椭圆的定义知|pf1|pf2|2a，|pf1|pf2|f1e|df2|f1g|f2d|f1g|f2g|2a，2|f2g|2a2c，即|f2g|ac，点g与点a重合，点m在x轴上的射影是长轴的端点a，点m的轨迹是垂直于x轴的一条直线(除去点a)，故选a.7设f1、f2为椭圆1的左、右焦点，a为椭圆上任意一点，过焦点f1向f1af2的外角平分线作垂线，垂足为d，则点d的轨迹方程是_答案x2y24解析由题意，延长f1d、f2a并交于点b，易证rtabdrtaf1d，|f1d|bd|，|f1a|ab|，又o(o为坐标原点)为f1f2的中点，连接do，odf2b，从而可知|do|f2b|(|af1|af2|)2，设点d的坐标为(x，y)，则x2y24，点d的轨迹方程为x2y24.8点p(3,0)是圆c：x2y26x550内一定点，动圆m与已知圆相内切且过p点，则圆心m的轨迹方程为_答案1解析已知圆为(x3)2y264，其圆心c(3,0)，半径为8，由于动圆m过p点，所以|mp|等于动圆的半径r，即|mp|r.又圆m与已知圆c相内切，所以圆心距等于半径之差，即|mc|8r，从而有|mc|8|mp|，即|mc|mp|8.根据椭圆的定义，动点m到两定点c，p的距离之和为定值86|cp|，所以动点m的轨迹是椭圆，并且2a8，a4；2c6，c3；b21697，因此m点的轨迹方程为1.二、高考小题92015广东高考已知双曲线c：1的离心率e，且其右焦点为f2(5,0)，则双曲线c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案c解析由已知得解得故b3，从而所求的双曲线方程为1，故选c.102015安徽高考下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()ax21 b.y21c.x21 dy21答案c解析由于焦点在y轴上，故排除a、b.由于渐近线方程为y2x，故排除d.故选c.112015天津高考已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案d解析由题意知点(2，)在渐近线yx上，所以，又因为抛物线的准线为x，所以c，故a2b27，所以a2，b.故双曲线的方程为1.选d.122014大纲卷已知椭圆c：1(ab0)的左、右焦点为f1、f2，离心率为，过f2的直线l交c于a、b两点若af1b的周长为4，则c的方程为()a.1 b.y21c.1 d.1答案a解析由题意及椭圆的定义知4a4，则a，又，c1，b22，c的方程为1，选a.三、模拟小题132016天津津南调研平面直角坐标系中，已知两点a(3，1)，b(1,3)，若点c满足12(o为原点)，其中1，2r，且121，则点c的轨迹是()a直线 b椭圆 c圆 d双曲线答案a解析设c(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又121，所以1，即x2y5，所以点c的轨迹为直线，故选a.142017石家庄模拟已知点q在椭圆 c：1上，点p满足()(其中o为坐标原点，f1为椭圆c的左焦点)，则点p的轨迹为()a圆 b抛物线 c双曲线 d椭圆答案d解析因为点p满足()，所以q是线段pf1的中点设p(a，b)，由于f1为椭圆c：1的左焦点，则f1(，0)，故q，由点q在椭圆c：1上，则点p的轨迹方程为1，故点p的轨迹为椭圆152017衡水调研 如图，正方体ac1中，点p为平面efgh内的一动点，且满足paa1c1aa1，则点p的轨迹是()a抛物线 b圆 c椭圆 d双曲线答案c解析因为点p为平面efgh内一动点而且保证paa1c1aa1，可以看作以aa1为轴，ac1为母线，将ac1进行旋转与平面efgh相交形成一个轨迹曲线，因为，所以这个轨迹曲线是椭圆162017浙江宁波质检与圆(x2)2y21外切，且与直线x10相切的动圆圆心的轨迹方程是_答案y28x解析设动圆圆心为p(x，y)，则|x1|1，依据抛物线的定义结合题意可知动圆圆心p(x，y)的轨迹是以(2,0)为焦点，x2为准线的抛物线，故方程为y28x.172016山西临汾月考在abc中，|4，abc的内切圆切bc于d点，且|2，则顶点a的轨迹方程为_答案1(x)解析以bc的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，e、f分别为两个切点则|be|bd|，|cd|cf|，|ae|af|.|ab|ac|2.点a的轨迹为以b，c为焦点的双曲线的右支(y0)，且a，c2，b.轨迹方程为1(x)一、高考大题12016全国卷设圆x2y22x150的圆心为a，直线l过点b(1,0)且与x轴不重合，l交圆a于c，d两点，过b作ac的平行线交ad于点e.(1)证明|ea|eb|为定值，并写出点e的轨迹方程；(2)设点e的轨迹为曲线c1，直线l交c1于m，n两点，过b且与l垂直的直线与圆a交于p，q两点，求四边形mpnq面积的取值范围解(1)证明：因为|ad|ac|，ebac，故ebdacdadc.所以|eb|ed|，故|ea|eb|ea|ed|ad|.又圆a的标准方程为(x1)2y216，从而|ad|4，所以|ea|eb|4.由题设得a(1,0)，b(1,0)，|ab|2，由椭圆定义可得点e的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，m(x1，y1)，n(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.则x1x2，x1x2.所以|mn|x1x2|.过点b(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，a到m的距离为，所以|pq|24.故四边形mpnq的面积s|mn|pq|12.可得当l与x轴不垂直时，四边形mpnq面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|mn|3，|pq|8，四边形mpnq的面积为12.综上，四边形mpnq面积的取值范围为12,8)22015湖北高考一种作图工具如图1所示o是滑槽ab的中点，短杆on可绕o转动，长杆mn通过n处铰链与on连接，mn上的栓子d可沿滑槽ab滑动，且dnon1，mn3.当栓子d在滑槽ab内做往复运动时，带动n绕o转动一周(d不动时，n也不动)，m处的笔尖画出的曲线记为c.以o为原点，ab所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系(1)求曲线c的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于p，q两点若直线l总与曲线c有且只有一个公共点，试探究：opq的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由解(1)设点d(t,0)，(|t|2)，n(x0，y0)，m(x，y)，依题意，2，且|1，所以(tx，y)2(x0t，y0)，且即且t(t2x0)0.由于当点d不动时，点n也不动，所以t不恒等于0，于是t2x0，故x0，y0，代入xy1，可得1，即所求的曲线c的方程为1.(2)()当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有sopq448.()当直线l的斜率存在时，设直线l：ykxm，由消去y可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线l总与椭圆c有且只有一个公共点，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24.又由得p；同理可得q.由原点o到直线pq的距离为d和|pq|xpxq|，可得sopq|pq|d|m|xpxq|m|.将代入，得sopq8.当k2时，sopq888；当0k2时，sopq88.因0k2，则014k21，2，所以sopq88，当且仅当k0时取等号所以当k0时，sopq的最小值为8.综合()()，当直线l与椭圆c在四个顶点处相切时，opq的面积取得最小值8.二、模拟大题32016福建福安月考已知两点a(2,0)，b(2,0)，直线l经过点b且与x轴垂直，点c是l上异于点b的动点，直线bp垂直线段oc并交线段ac于点p，记点p的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点d(1,0)的直线与曲线交于m，n两点，直线am，an分别与l交于e，f两点，当aef的面积是amn的面积的2倍时，求直线mn的方程解(1)设c(2，m)(m0)，则koc，kac，所以kbp，所以直线bp的方程为y(x2)直线ac的方程为y(x2)，设p(x0，y0)，由得1，所以曲线的方程为1(y0)(2)依题意知直线mn的斜率不为0，故可设直线mn的方程为xmy1，联立消去x得(m22)y22my30，设m(x1，y1)，n(x2，y2)(y1y2)，则y1y2，y1y2，直线am的方程为y(x2)，由xe2，得ye，同理，yf，所以|ef|yeyf|.所以saef|ab|ef|.samn|ad|y1y2|y1y2|.又因为saef2samn，所以3|y1y2|，所以8，得8，解得m，所以直线mn的方程为xy1，即y2(x1)42016江西二模已知动圆c过点a(2,0)，且与圆m：(x2)2y264相内切(1)求动圆c的圆心的轨迹方程；(2)设直线l：ykxm(其中k，mz)与(1)中所求轨迹交于不同两点b，d，与双曲线1交于不同两点e，f，问是否存在直线l，使得0？若存在，指出这样的直线有多少条；若不存在，请说明理由解(1)圆m：(x2)2y264，圆心m的坐标为(2,0)，半径r8.|am|4|am|.圆心c的轨迹是中心在原点，焦点为a，m，长轴长为8的椭圆，设其方程为1(ab0)，则a4，c2，b2a2c212，动圆c的圆心的轨迹方程为1.(2)存在满足条件的直线l.由消去y并整理得(34k2)x28kmx4m2480.设b(x1，y1)，d(x2，y2)，则x1x2.1(8km)24(34k2)(4m248)0.由消去y并整理得(3k2)x22kmxm2120.设e(x3，y3)，f(x4，y4)，则x3x4，2(2km)24(3k2)(m212)0.0，(x4x2)(x3x1)0，即x1x2x3x4，km0或，解得k0或m0.当k0时，由、得2m2，mz，m的值为3，2，1,0,1,2,3；当m0时，由、得k，kz，k1,0,1.满足条件的直线共有9条52017江南十校联考已知圆心为h的圆x2y22x150和定点a(1,0)，b是圆上任意一点，线段ab的垂直平分线l和直线bh相交于点m，当点b在圆上运动时，点m的轨