高考数学 考点一遍过 专题35 直线与圆的位置关系 文.doc

考点35直线与圆的位置关系（1）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（3）初步了解用代数方法处理几何问题的思想.一、直线与圆的三种位置关系（1）直线与圆相离，没有公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相交，有两个公共点二、直线与圆的位置关系的判断方法判断方法直线与圆的位置关系几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断方程无实数解，直线与圆相离方程有唯一的实数解，直线与圆相切方程有两个不同的实数解，直线与圆相交三、圆与圆的位置关系两圆的位置关系外切相切两圆有唯一公共点内切内含相离两圆没有公共点外离相交两圆有两个不同的公共点四、圆与圆位置关系的判断圆与圆的位置关系的判断方法有两种：（1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长r，r的关系来判断（如下图，其中）（2）代数法：设圆c1：x2+y2+d1x+e1y+f1=0 ，圆c2：x2+y2+d2x+e2y+f2=0 ，联立，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交五、两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆c1：x2+y2+d1x+e1y+f1=0 ，圆c2：x2+y2+d2x+e2y+f2=0 ，若两圆相交，则有一条公共弦，由，得（d1d2）x+（e1e2）y+f1f2=0 方程表示圆c1与圆c2的公共弦所在直线的方程考向一直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：（1）明确圆心c的坐标（a,b）和半径长r，将直线方程化为一般式；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；（3）比较d与r的大小，写出结论.典例1（1）已知点在圆o：外，则直线与圆o的位置关系是a相切b相交c相离d不确定（2）若直线与圆不相交，则实数a的取值范围是a（2，2）b2，2c，d（，22，）【答案】（1）b；（2）d.（2）若直线与圆不相交，则直线与圆相离或相切，故有解得a2或a2，故选d.1若直线y=kx+2k与圆x2+y2+mx+4=0至少有一个交点,则m的取值范围是a0,+）b4,+）c（4,+）d2,4考向二圆与圆的位置关系判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：（1）确定两圆的圆心坐标和半径长；（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求；（3）比较的大小，写出结论.典例2 圆o1:和圆的位置关系是a相离b相交c外切d内切【答案】b2若圆c1：x2y21与圆c2：x2y26x8ym0外切，则m_考向三圆的弦长问题1涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解；二是若斜率为k的直线l与圆c交于两点，则.2求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.典例3已知直线y=kx+3与圆相交于m,n两点,若|mn|=23,则k的值是a1或b1或-1c或d或【答案】c【解析】由已知得圆的标准方程为,则该圆的圆心为（3,2）,半径为22.设圆心到直线y=kx+3的距离为d,则,解得d=5,即,解得或.故选c.3直线ax+y-5=0截圆c:x2+y2-4x-2y+1=0的弦长为4,则a=a-2b-3c2d3考向四圆的切线问题1求过圆上的一点的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则由图形可写出切线方程为;若,则由图形可写出切线方程为;若k存在且k0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可求切线方程.2求过圆外一点的圆的切线方程：（1）几何方法当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即,代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由,求得k,切线方程即可求出.3在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在典例4已知点，点m（3，1），圆c：（x1）2（y2）24（1）求过点p的圆c的切线方程；（2）求过点m的圆c的切线方程，并求出切线长【解析】由题意得圆心c（1，2），半径长r2（1）因为，所以点p在圆c上又，所以切线的斜率，所以过点p的圆c的切线方程是，即当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k（x3），即kxy13k0，则圆心c到切线的距离d=，解得k，所以切线方程为y1（x3），即3x4y50综上可得，过点m的圆c的切线方程为x3=0或3x4y50因为|mc|=，所以过点m的圆c的切线长为4设,若直线与圆相切,则m+n的取值范围是abcd1圆与轴交于两点，则abcd2以点为圆心且与直线相切的圆的方程为abcd3已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为a相交b内切c外切d相离4如果实数x，y满足等式，那么yx的最大值是a12b33c32d35已知双曲线的离心率为，则其渐近线与圆的位置关系是a相交b相切c相离d不确定6若直线将圆的周长分为两部分，则直线的斜率为a或b或cd7已知两点，（），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为abcd8动圆m与圆外切，与圆内切，则动圆圆心m的轨迹方程是abcd9已知圆c:，直线l1:y=3x，l2:y=kx-1，若l1，l2被圆c所截得的弦的长度之比为1:2，则k的值为a3b1c12d3310已知动直线与圆相交于两点，且满足，点为直线上的一点，且满足，若是线段的中点，则的值为abcd11圆截直线所得的弦长为8，则的值是_12过定点的直线：与圆相切于点，则_13设圆的弦的中点为，则直线的方程是_14已知动直线：,则直线被圆：截得的最短弦长为_15已知圆的方程为，过点的圆的三条弦的长分别为，若成等比数列，则其公比的最大值为_16已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是_17已知直线与圆:相交于两点,且为等边三角形,则圆的面积为_18已知圆：和圆：，若点（，）在两圆的公共弦上，则的最小值为_19已知：,q是x轴上的动点,qa,qb分别切于a,b两点.（1）如果,求直线mq的方程.（2）求证：直线ab恒过一个定点. 20已知圆c：（x3）2（y4）24，直线l1过定点a（1，0）（1）若l1与圆相切，求l1的方程；（2）若l1与圆相交于p、q两点，线段pq的中点为m，又l1与l2：x2y20的交点为n，判断|am|an|是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由21已知圆关于直线对称的圆为.（1）求圆的方程；（2）过点作直线与圆交于两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形中？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.22已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.（1）求的轨迹方程；（2）当时，求直线的方程及的面积.23已知抛物线c：y2=2x，过点（2,0）的直线l交c于a,b两点，圆m是以线段ab为直径的圆.（1）证明：坐标原点o在圆m上；（2）设圆m过点，求直线l与圆m的方程.1（2016北京文）圆的圆心到直线的距离为a1 b2 c d2（2016新课标ii文）圆的圆心到直线的距离为1，则a=abcd23（2016山东文）已知圆m：截直线所得线段的长度是，则圆m与圆n：的位置关系是a内切 b相交c外切d相离4（2016上海文）已知平行直线，则的距离为_5（2016浙江文）已知，方程表示圆，则圆心坐标是_，半径是_6（2016天津文）已知圆c的圆心在x轴的正半轴上，点在圆c上，且圆心到直线的距离为，则圆c的方程为_7（2016新课标i文）设直线与圆c：相交于a，b两点，若，则圆c的面积为_8（2017江苏）在平面直角坐标系中，点在圆上，若则点的横坐标的取值范围是9（2017新课标iii文）在直角坐标系xoy中，曲线与x轴交于a，b两点，点c的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现acbc的情况？说明理由；（2）证明过a，b，c三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.10（2016江苏）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围变式拓展1【答案】c【解析】由y=k（x+2）,得直线y=k（x+2）恒过定点,因此可得点必在圆内或圆上,故有.由方程表示圆的条件,知或.综上可知.故选c.2【答案】93【答案】c【解析】圆c：x2+y2-4x-2y+1=0，x-22+y-12=4,r=2,圆心为2，1，直线截圆的弦长为4,圆心在直线ax+y-5=0上,即a2+1-5=0,a=2.故选c.4【答案】a【解析】由题意可知|m+n|=（m+1）2+（n+1）2,整理得mn=m+n+1.由mn（m+n2）2可知m+n+114（m+n）2,解得m+n（-,2-222+22,+）.考点冲关1【答案】c【解析】令得，即圆与y轴的交点坐标为，则，故选c.2【答案】a【解析】，所求圆的方程为，故选a3【答案】c【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆的圆心距，两圆外切，故选4【答案】d【解析】过原点作圆的切线，切线斜率k=，故选d【名师点睛】与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法形如u=y-bx-a型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；形如t=ax+by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题5【答案】c6【答案】b【解析】由题意知直线将圆分成的两部分中劣弧所对圆心角为，又圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，即，解得或，所以直线的斜率为或，故选b.7【答案】b【解析】把圆的方程化为，以为直径的圆的方程为，若曲线上存在点，使得，则两圆有交点，所以，解得，选b.8【答案】b【解析】设动圆m半径为，则因此动圆圆心m的轨迹是以为焦点的椭圆，所以，故选b.【名师点睛】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程定义法：根据圆、直线等定义列方程几何法：利用圆的几何性质列方程代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等9【答案】c结合l1，l2被圆c所截得的弦的长度之比为1:2，可得24-2k-1k2+12=22，求得k=12，故选c10【答案】a【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，是线段的中点，设，解得，故选a11【答案】【解析】弦长为8，圆的半径为5，弦心距为3，圆心坐标为，解得为【名师点睛】涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断12【答案】4【名师点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法（1）几何法：利用d与r的关系（2）代数法：联立方程之后利用判断（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题13【答案】【解析】,所以圆心为，因此.14【答案】【名师点睛】在处理直线和圆的位置关系问题（如：弦长、中点弦、切线的条数）时，往往借助平面几何知识可起到事半功倍的效果.15【答案】【解析】将圆的一般方程化为标准方程为，数列的公比取最大值时，为最短弦，此时弦心距且，为最大弦（直径），因此公比的最大值是16【答案】【解析】动圆c与直线相切于点，故直线ac与直线垂直，故c落在直线上，设c点坐标为，则圆的半径r=，则圆的方程为：令，则，即，圆c被x轴所截得的弦长为2，, 解得：，或，故所有圆c的半径之积为,故应填10.17【答案】【解析】圆：，化为，圆心，半径，因为直线和圆相交，为等边三角形，所以圆心到直线的距离为，即，解得，所以圆的面积为，故答案为 .18【答案】即时，等号成立），即的最小值为.19【答案】（1）2x+5y-25=0或2x-5y+25=0；（2）见解析【解析】（1）如图所示,连am,bm,设p是ab的中点,由|ab|=423,可得|mp|=|ma|2-|ab|22=1-2232=13.由射影定理,得|mb|2=|mp|mq|,得|mq|=3,在中,|oq|=|mq|2-|mo|2=32-22=5,故q点的坐标为（5,0）或（-5,0）,所以直线mq的方程是：2x+5y-25=0或2x-5y+25=0.（2）设q（a,0）,由题意知m,a,q,b四点共圆,直径为mq.设r（x,y）是该圆上任一点,由得.即.式与联立,消去项得两圆公共弦ab所在的直线方程为.所以无论a取何值,直线ab恒过点0,32,故直线ab恒过一个定点.20【答案】（1）x1或；（2）6.（2）（解法1）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为由得n.又直线cm与l1垂直，由得m.为定值故|am|an|是定值，且为6.（解法2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0.由得n.再由得.x1x2，得m.以下同解法1.（解法3）用几何法连接ca并延长交l2于点b，kac2，cbl2.如图所示，则，可得6，是定值.所以，解得，所以圆的方程为.（2）由，所以平行四边形为矩形，所以.要使，必须使，即：.当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，与圆交于两点，.因为，所以，所以当直线的斜率不存在时，直线满足条件.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为.设由得：.由于点在圆内部，所以恒成立，所以，要使，必须使，即，也就是：整理得：.解得，所以直线的方程为存在直线和，它们与圆交两点，且平行四边形的对角线相等.【名师点睛】在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，如本题中当斜率不存在时也符合题意.由题设知，故，即.由于点p在圆c的内部，所以点m的轨迹方程是.（2）由（1）可知m的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.由于，故o在线段pm的垂直平分线上，又p在圆n上，从而.因为on的斜率为3，所以直线的斜率为，故直线的方程为.又，o到的距离为，所以的面积为.23【答案】（1）证明略；（2）直线的方程为，圆的方程为.或直线的方程为，圆的方程为因此的斜率与的斜率之积为，所以.故坐标原点在圆上.（2）由（1）可得.故圆心的坐标为，圆的半径.由于圆过点，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.直通高考1【答案】c【解析】圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选c2【答案】a 【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，故选a3【答案】b ，因为，所以圆与圆相交，故选b4【答案】【解析】利用两平行线间的距离公式得5【答案】5【解析】由题意，得1或2当时方程为，即，圆心为，半径为5，当时方程为， 不表示圆6【答案】【解析】设，则，故圆c的方程为7【答案】【解析】由题意，直线方程可化为，圆的标准方程为，所以圆心到直线的距离，所以，解得，故，所以8【答案】横坐标的取值范围为【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方