高考数学二轮复习 专题八 系列4选讲 第1讲 坐标系与参数方程专题突破讲义 文.doc

第1讲坐标系与参数方程高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.热点一极坐标与直角坐标的互化直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设m是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则例1(2017届江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模)在极坐标系中，已知点a，点b在直线l：cos sin 0(00)的参数方程为(t为参数)例2(2017全国)在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为 (为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求c与l的交点坐标；(2)若c上的点到l的距离的最大值为，求a.解(1)曲线c的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而c与l的交点坐标是(3,0)，.(2)直线l的普通方程是x4y4a0，故c上的点(3cos ，sin )到l的距离为d.当a4时，d的最大值为 .由题设得，所以a8；当a0)，点m的极坐标为(1，)(10)，由题设知，|op|，|om|1.由|om|op|16，得c2的极坐标方程4cos (0)所以c2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点b的极坐标为(b，)(b0)由题设知|oa|2，b4cos .于是oab的面积s|oa|bsinaob4cos 4cos |sin 2cos 2|22.当2，即时，s取得最大值2，所以oab面积的最大值为2.押题预测1已知曲线c的极坐标方程是4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)(1)将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线c相交于a，b两点，且|ab|，求直线的倾斜角的值押题依据极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题解(1)由4cos ，得24cos .因为x2y22，xcos ，所以x2y24x，即曲线c的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)将代入圆的方程(x2)2y24，得(tcos 1)2(tsin )24，化简得t22tcos 30.设a，b两点对应的参数分别为t1，t2，由根与系数的关系，得所以|ab|t1t2|，故4cos21，解得cos .因为直线的倾斜角0，)，所以或.2在平面直角坐标系xoy中，曲线c1：(为参数)，其中ab0.以o为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线c2：2cos ，射线l：(0)若射线l与曲线c1交于点p，当0时，射线l与曲线c2交于点q，|pq|1；当时，射线l与曲线c2交于点o，|op|.(1)求曲线c1的普通方程；(2)设直线l：(t为参数，t0)与曲线c2交于点r，若，求opr的面积押题依据将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势解(1)因为曲线c1的参数方程为(为参数)，且ab0，所以曲线c1的普通方程为1，而其极坐标方程为1.将0(0)代入1，得a，即点p的极坐标为(a,0)；将0(0)代入2cos ，得2，即点q的极坐标为(2,0)因为|pq|1，所以|pq|a2|1，所以a1或a3.将(0)代入1，得b，即点p的极坐标为，因为|op|，所以b.又因为ab0，所以a3，所以曲线c1的普通方程为1.(2)因为直线l的参数方程为(t为参数，t0)，所以直线l的普通方程为yx(x0)，而其极坐标方程为(r，0)，所以将直线l的方程代入曲线c2的方程2cos ，得1，即|or|1.因为将射线l的方程(0)代入曲线c1的方程1，得，即|op|，所以sopr|op|or|sinpor1sin .a组专题通关1(2017届江苏如东高级中学等四校联考)已知极坐标系中的曲线cos2sin 与曲线sin交于a，b两点，求线段ab的长解曲线cos2sin 可化为x2y，sin可化为xy2，联立方程组解得a(1,1)，b(2,4)，所以|ab|3.2已知曲线c的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线c的极坐标方程；(2)已知倾斜角为135且过点p(1,2)的直线l与曲线c交于m，n两点，求的值解(1)依题意知，曲线c的普通方程为x2(y3)29，即x2y26y0，故x2y26y，故26sin ，故所求极坐标方程为6sin .(2)设直线l为(t为参数)，将此参数方程代入x2y26y0中，化简可得t22t70，显然0.设m，n所对应的参数分别为t1，t2，故.3(2017届河北省衡水中学押题卷)直线l的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，圆c的极坐标方程为2.(1)求直线l被圆c截得的弦长；(2)若m的坐标为(1,0)，直线l与圆c交于a，b两点，求|ma|mb|的值解(1)将直线l的参数方程化为普通方程，可得xy10，而圆c的极坐标方程可化为28，化为普通方程，可得x2y28，圆心c到直线l的距离为d，故直线l被圆c截得的弦长为2 .(2)把代入x2y28，可得t2t70.(*)设t1，t2是方程(*)的两个根，则t1t27，故|ma|mb|t1t2|7.4(2017全国)在直角坐标系xoy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c.(1)写出c的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，m为l3与c的交点，求m的极径解(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m，得l2的普通方程l2：y(x2)设p(x，y)，由题设得消去k，得x2y24(y0)，所以c的普通方程为x2y24(y0)(2)c的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)，联立得cos sin 2(cos sin )故tan ，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4，得25，所以l3与c的交点m的极径为.5(2017届江西省重点中学协作体联考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线c的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点p的极坐标为.(1)求直线l以及曲线c的极坐标方程；(2)设直线l与曲线c交于a，b两点，求pab的面积解(1)由消去t得yx，则sin cos ，直线l的极坐标方程为(r)曲线c：(x1)2(y2)24，则(cos 1)2(sin 2)24，曲线c的极坐标方程为22cos 4sin 90.(2)由得到2790，设其两根为1，2，则127，129，|ab|21|.点p的极坐标为，|op|2，pob，spab|spobspoa|2|ab|.b组能力提高6(2017届广东省深圳市一模)在直角坐标系xoy中，已知曲线e经过点p，其参数方程为 (为参数)，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线e的极坐标方程；(2)若直线l交e于点a，b，且oaob，求证：为定值，并求出这个定值(1)解将点p代入曲线e的方程得解得a23，所以曲线e的普通方程为1，极坐标方程为21.(2)证明不妨设点a，b的极坐标分别为a(1，)，b，10，20，则即所以，即，所以为定值.7(2017届广西玉林、贵港质检)已知在平面直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，p点的极坐标为，曲线c的参数方程为2cos(为参数)(1)写出点p的直角坐标及曲线c的直角坐标方程；(2)若q为曲线c上的动点，求pq的中点m到直线l：2cos 4sin 的距离的最小值解(1)点p的直角坐标为，由2cos，得2cos sin ，将2x2y2，cos x，sin y代入，可得曲线c的直角坐标方程为221.(2)直线2cos 4sin 的直角坐标方程为2x4y0，设点q的直角坐标为，则m，m到直线l的距离d，其中tan .d(当且仅当sin()1时取等号)，m到直线l：2cos 4sin 的距离的最小值为.8(2017届四川省大教育联盟三诊)已知0，)，在直角坐标系xoy中，直线l1的参数方程为(t为参数)；在以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程为cos()2sin.(1)求证：l1l2；(2)设点a的极坐标为，p为直线l1，l2的交点，求|op|ap|的最大值(1)证明易知直线l1的普通方程为xsin ycos 0.又cos()2sin可变形为cos co