高考数学一轮总复习 专题6.2 等差数列及其前n项和练习（含解析）理.doc

专题6.2 等差数列及其前n项和1.【2017课标1理4】记为等差数列的前项和若，则的公差为（ ）a1 b2 c4 d8【答案】c【考点解读】本题考查了等差数列的基本量求解及等差数列的性质。解法一；运用基本量法；即运用方程思想建立关于a1，d的方程，转化为解关于基本量的方程。解法二；运用了等差数列的性质，即注意到项的序号之间的关系（若，则），则可减少运算量。2.【2017课标3理9】等差数列的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（ ）a b c3 d8【答案】a【解析】等差数列的首项为1，公差不为0a2，a3，a6成等比数列，（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d0，解得d=2，an前6项的和为故选：a【考点解读】本题考查等差数列前n项和及等比数列的性质。利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出an前6项的和3.【2017课标ii理15】等差数列的前项和为，则 。【答案】【考点解读】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用。求解中等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。4.【2017浙江高考6】已知等差数列an的公差为d，前n项和为sn，则“d0”是“s4 + s62s5”的（ ）a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件【答案】c【解析】 由题s4+s62s5， 4a1+6d+6a1+15d2（5a1+10d），21d20d，d0，故“d0”是“s4+s62s5”充分必要条件，故选：c【考点解读】本题考查等差数列的前项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故为充要条件5.【2017江苏高考19】 对于给定的正整数,若数列满足 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”. （1）证明：等差数列是“数列”; （2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.【答案】（1）见解析（2）见解析【考点解读】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题6【2017北京高考理20】设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数（）若，求的值，并证明是等差数列；（）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列【答案】（）详见解析；（）详见解析.（）设数列和的公差分别为，则.所以 时，取正整数，则当时，因此. 此时，是等差数列. 时，对任意，此时，是等差数列. 时，当时，有.所以， 对任意正数，取正整数，故当时，.【考点解读】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式（放缩法）的综合应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题考点了解a掌握b灵活运用c等差数列的概念b等差数列的通项公式与前n项和公式c等差数列作为一种特殊的数列，高考考点为等差数列的概念，等差数列的通项公式与前n项和公式，等差数列与一次函数、二次函数的关系。高考中选填题以考查等差数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，为中低档题。解答题以考查等差（比）数列通项公式、求和公式，错位相减求和、简单递推数列、也常与不等式结合综合考查。复习中注意对等差数列的定义与性质的理解，函数与方程的思想、分类与转化的思想、运算能力等的训练和培养。等差数列知识要点：（1）通项公式要点：.（2）前项和公式要点：snna1d.（3）通项公式的函数特征：是关于的一次函数形式(a、b为常数)，其中；前项和公式的函数特征：是关于的常数项为0的二次函数形式snan2bn (a、b为常数)，其中.（4）判断方法：定义法：；（证明方法）等差中项法：；（证明方法）通项公式法：；前项和公式法：snan2bn (a、b为常数).（5）常用性质：如果数列是等差数列（），特别地，当为奇数时，.等差数列an的前n项和为sn，则sm，s2msm，s3ms2m，成等差数列.等差数列an，bn的前n项和为an，bn，则.等差数列an的前n项和为sn，则数列仍是等差数列.（6）等差数列的单调性设等差数列的公差为，当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列；若，则数列为常数数列.（7）等差数列的最值若是等差数列，求前项和的最值时，若，且满足，则前项和最大;若，且满足，则前项和最小.题型一 等差数列的基本运算典例1.（1）（2017包头一中高二月考）已知等差数列满足，则等于 （ ）a. 31 b. 32 c. 61 d. 62【答案】a【解析】由题设可得，故，应选答案a。（2）（2017武威一中高二期末）已知等差数列的前项和为，且， ，则等于（ ）a. b. c. 0 d. 1【答案】a【解析】得（3）（2017南昌模拟）已知数列是首项为1，公差为（）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能的是（ ）a. 2 b. 3 c. 4 d. 5【答案】b（4）（2017银川一中高二月考）已知等差数列的前三项为；，则此数列的通项公式为_ .【答案】【解析】由题，解得，所以数列的前3项分别为，所以通项公式为.（5）(2015陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_【答案】5【解析】设数列首项为a1，则1 010，故a15. （6）（2017哈尔滨模拟）等差数列中，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.解题技巧与方法总结1等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是；设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题2等差数列前n项和公式的应用方法；根据不同的已知条件选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使用公式snna1d，若已知通项公式，则使用公式sn.【变式训练】（1）（2017淮安模拟）已知等差数列的前项和为，若则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由题 , ,故选d.（2）（2017武汉模拟）九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）a8 b9 c10 d11【答案】b（3）（2017湖南衡阳市高三联考）一组数据共有7个数，记得其中有10、2、5、2、4、2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均值、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（ ）a. b. 3 c. 9 d. 17【答案】c【解析】设没记清的数为，若，则这列数： ，2，2，2，4，5，10，平均数为，中位数为2，众数为2，所以， ，若，则这列数为2，2，2， ，4，5，10，则平均数为，中位数为，众数为2，所以，若，则这列数为 2，2，2，4，5， ，10，或 2，2，2，4，5，10， ，则平均数为，中位数4，众数2，所以，所以-11+3+17=9（4）（2017襄阳高中高二期末）在等差数列中，已知，将次等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵，则此数阵中，第10行从左到右的第5个数是 【答案】148【解析】由题；，所以，第10行从左到右的第5个数是原等差数列中第项，即为。（5）（2017山西师大附中高二月考）已知等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，且，若对于一切正整数，总有成立，求实数的取值范围【答案】（1）;（2）.题型二等差数列的判定与证明典例2. （1）（2017安徽无为县高中期末）若数列的通项公式是，则此数列（）a. 是公差为2的等差数列 b. 是公差为3的等差数列c. 是公差为5的等差数列 d. 不是等差数列【答案】a【解析】由题意可得， ，即此数列是以公差为2的等差数列，故选a.（2）（2017宝鸡模拟）已知数列是等差数列，且， ，则（ ）a. 12 b. 24 c. 16 d. 32【答案】a【解析】令 ，由题意可知： ，则等差数列 的公差 ，可得： .选a.（3）（2017兰州模拟）数列= 。【答案】320【解析】为等差数列，公差为1，第三项为（4）（2017广州模拟）已知数列an满足: ,则 【答案】25（5）（2017湖南师大高三模拟）在数列中,（）求证：数列是等差数列,并求的通项公式；（）求的前项和【答案】（）;（）【解析】分析：（）由所给递推公式化简变形，可得是等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项公式，进一步求出的通项公式；（）利用阶乘的运算性质，结合裂项法求和可得解：（）证明；依题意，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，即（）因为，所以，所以解题技巧与方法总结等差数列的四个判定方法1定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数2等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列3通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列4前n项和公式法：得出snan2bn后，根据sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列【变式训练】（1）（2017银川一中高二期末）设an(n1)2，bnn2n(nn*)，则下列命题中不正确的是()aan1an是等差数列 bbn1bn是等差数列canbn是等差数列 danbn是等差数列【答案】d（2）（2017大连模拟）数列满足，则（）a. b. c. d.【答案】c【解析】由题意得数列成等差数列，所以，因此，选c.（3）(2016福州模拟)在等差数列an中，a12 016，其前n项和为sn.若2，则s2 016的值等于()a2 016 b2 015 c2 014 d2 017【答案】a（4）（2017宁夏石嘴山高中月考）已知数列中，且，则 【答案】【解析】由题意且，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，所以.（5）（2017郑州模拟）在等差数列中， ，其前项的和为，若，则_【答案】【解析】因为 ，所以数列也成等差数列，由得公差为1，因此（6）（2017石家庄一中月考）若数列满足， ， ，则 。【答案】【解析】由递推关系可得： ，又， ， 是首项为1,公差为 的等差数列,则： . (7)(2014全国卷)已知数列an的前n项和为sn，a11，an0，anan1sn1，其中为常数证明：an2an；是否存在，使得an为等差数列？并说明理由【答案】见解析（8）（2017昆山高中模拟）已知数列的各项为正数，其前项和为满足，设.（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求的最大值.（3）设数列的通项公式为，问:是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）最大值是25；（3）存在正整数t，使得成等差数列.当时，；当时，；当时，.知识链接：1. 若数列an，bn是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列pan，anp，panqbn都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1qd2.2当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数题型三等差数列性质的应用典例3.（1）（2017宝鸡一中高二期末）已知等差数列中，其前项和为，若，则 ( )a. 98 b. 49 c. 14 d. 147【答案】a【解析】，解得： ， ，故选a.（2）（2017四川泸州中学月考）若一等差数列前三项的和为122，后三项的和为148，又各项的和为540，则此数列共有（）a. 3项 b. 12项 c. 11项 d. 10项【答案】b 【解析】设此等差数列共有项，又故选b. （3）（2017福建漳州模拟）设等差数列的前项和为，若，则的值为 ()a. b. c. d. 【答案】b（4）（2017宝鸡高中月考）中国古代数学名著九章算术中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为_.【答案】300【解析】由题设五人分得的鹿肉斤数成等差数列，因为，所以，则由等差数列的性质可得，即，所以。（5）（2017威海模拟）已知等差数列的前项和为,、是方程的两根,且,则数列的公差为.【答案】或解题技巧与方法总结等差数列性质的应用技巧1本例中主要使用了等差数列中两项和的性质，即若mnpq2k，则amanapaq2ak.2掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口【变式训练】（1）（2017锦州模拟）已知为等差数列，若，则的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】为等差数列， ，解得，故选a.（2）（2017山西师大附中期末）在等差数列中， 是方程的根，则的值是 （ ）a. 41 b. 51 c. 61 d. 68【答案】b【解析】由题,所以， .（3）(2017佛山模拟)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.【答案】10【解析】因为等差数列an中，a3a4a5a6a725，所以5a525，即a55.所以a2a82a510.（4）（2017福建莆田一中高二期末）已知等差数列满足，且是此数列的前项和，则_【答案】 (5)（2017哈尔滨模拟）设等差数列an的前n项和为sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，sn324(n6)，则n=_.【答案】18【解析】由题意知a1a2a636， ， anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又sn324，18n324，n18. 题型四等差数列的前n项和考向1等差数列前n项和的最值典例4（1）（2017北京石景山区一模）设等差数列的前项和为，若，则当取最小值时，等于_.【答案】【解析】由题当时，取最小值.（2）（2017包头模拟）已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前项和取得最小值时，的值为_.【答案】或【解析】由题意得，则，当时，当，当时，因此当或时，取最小值.（3） (2017景德镇模拟)在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为sn，当且仅当n8时sn取得最大值，则d的取值范围为_【答案】【解析】当且仅当n8时，sn取得最大值，说明1d.（4）(2016济南模拟)等差数列an中，设sn为其前n项和，且a10，s3s11，则当n为_.时，sn最大。【答案】7（5）（2017湖南长沙长郡中学高三）已知， ，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为_【答案】-4【解析】由，数列的前项和为，又，当且仅当，即时等号成立.考向2求数列|an|的前n项和典例5（1）（2017兰州一中）已知数列满足， ，则（ ）a. 30 b. 18 c. 15 d. 9【答案】b【解析】由题意得数列为等差数列, ,因此选b. （2）（2017烟台模拟）等差数列中，公差，则使前项和取得最大值的自然数是_【答案】或（3）（2017沈阳高三三模）已知等差数列， ，公差，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）;（2）.解题技巧与方法总结1求等差数列前n项和最值的方法(1 )二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意nn*.(2) 图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使sn取得最值(3) 项的符号法：当a10，d0时，满足的项数n，使sn取最大值；当a10，d0时，满足的项数n，使sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使sn取最值的n有两个2求数列|an|前n项和的方法(1) 先求an，令an0(an0)找出an0与an0 【答案】【解析】，因为只有是中的最小项，所以。因为，所以，即。，由可得，即所以的符号正、负、0均有可能综上可得结论正确的有。（4）（2017潍坊模拟）设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值是_【答案】【解析】等差数列an的公差为d，前n项和为sn，若a1=d=1， ,(当且仅当n=4时取等号)故答案为： （5）（2017福建泉州二模）等差数列的前项和为，首项，公差，对任意的，总存在，使则的最小值为_【答案】-4（6）(2016长春模拟)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.【答案】见解析知识链接：1.等差数列的增减性：d0时为递增数列，且当a10时，前n项和sn有最小值，d0时为递减数列，且当a10时，前n项和sn有最大值2.数列an的前n项和snan2bn(a0)是an成等差数列的充分条件3.两个等差数列an，bn的前n项和sn，tn之间的关系为.4.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列课本典例解析与变式例1.【必修第5五十页例2】已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，由这些条件能确定这个数列的前n项和公式吗？【解析】 解法一；由题意可知； ， 将它们代入公式；得； ，解这个关于a1和d的方程组得；解得；a1=4，d=6，所以这个等差数列的前n项和的公式为 解法二；设等差数列的求和公式为； 则将代入可得；化简得； 解得；a=3 b=1，所以这个等差数列的前n项和的公式为 解法三；由题； ，又， 可得；， 再由，得； 所以这个等差数列的前n项和的公式为【原题解读】本例题考查了等差数列的求和公式及方程思想。需要学生对等差数列的概念有深刻理解。 解法一；突出体现了等差（等比）数列中的基本量思想为此类问题的通法；解法二；为待定系数法，突出了等差数列求和公式的函数特征，可简化运算。解法三；体现了对等差数列定义的深刻理解，运算则更为简洁。 变式1.（2016年高考北京）已知为等差数列，为其前项和，若，则_.【答案】6变式2.（2015高考新课标1）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ） （a） （b） （c） （d）【答案】b【解析】公差，解得=，故选b.变式3.（2017兰州模拟）已知等差数列的前项和为，又知，则为（ ）a21 b30 c48 d50【答案】b变式4.（2016高考江苏卷）已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 .【答案】【解析】由得，因此变式5.（2014天津高考）设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和若 成等比数列，则的值为_【答案】【解析】依题意得，解得变式6.（2017西安模拟）已知等差数列的前项和为满足，则数列的前项和为_ 【答案】【解析】由已知可得，即，解得，故的通项公式为，从而的前项和，所以； 变式7.（2017衡水金卷）设是数列的前项和，且，则使取得最大值时的值为_【答案】3【课本回眸反思】 1. 注重运用概念思考解决教材中的例题，例题常常是高考题目生成和变化的源头；2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；3 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。1.（2017银川一中期末）设数列an是等差数列，其前n项和为sn，若a62且s530，则s8等于()a31 b32 c33 d34【答案】b【解析】由已知可得解得s88a1d32.考点：等差数列基本量的运算2.(2017银川一中模拟)已知等差数列中， 是方程的两根，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由题意得： ，选d.考点：等差数列的性质3(2017大连模拟)设数列an的通项公式为an2n7，则|a1|a2|a15|()a153 b210 c135 d120【答案】a考点：等差数列与含绝对值问题4.（2017泰安模拟）已知等差数列的前项和为，且,若，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】设公差为，由得，即，则由得，解得.故选a.考点：等差数列的性质.5.(2017唐山模拟)各项均为正数的数列an的前n项和为sn，且3snanan1，则a2a4a6a2n()a. b. c. d. 【答案】c【解析】当n1时，3s1a1a2,3a1a1a2，a23.当n2时，由3snanan1，可得3sn1an1an，两式相减得3anan(an1an1)，又an0，an1an13，a2n为一个以3为首项，3为公差的等差数列，a2a4a6a2n3n3，选c.考点：等差数列的定义及求和6.（2017南昌模拟）已知三角形的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为（ ）a. 15 b. 18 c. 21 d. 24【答案】a【解析】不妨设三边分别为，由题设可知边所对角为，则由余弦定理可得，即，解之得（舍去），故三角形的周长为，应选答案a。7.（2017湖北黄石模拟）已知等差数列中， 为其前项和， （其中为圆周率），现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】a考点：等差数列数列与几何概型8.（2017西安模拟）已知点在曲线上，且，且，则的最大值等于（ ）a9 b10 c6 d11【答案】a【解析】由点在曲线是等差数列的最大值为。考点：1、点与曲线的位置关系；2、等差数列的性质；3、基本不等式.9.（2017河北正定中学模拟）已知函数的图象关于对称，且在上单调，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为（ ）a. b. c. d. 0【答案】b考点：函数的性质与等差数列求和10.（2017石家庄一中模拟）设等差数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）a b c d【答案】a【解析】令,则,得到在上单调递增,且为奇函数.由条件,有,即.,从而,则,在上单调递增,即,所以a选项是正确的.考点：函数与导数及等差数列.11.（2017成都市龙泉一中、新都一中等九校联考）等差数列中的分别是函数的两个不同极值点，则为_【答案】-【解析】 是函数 的极值点， 是方程 的两个实数根，则 ，而 为等差数列， ，即 ，从而 。考点：等差数列的性质与导数.12.（2017福建莆田一中模拟）公差不为0的等差数列an的前n项的和为sn,若a6=3a4,且s10=la4,则l的值为_【答案】25【解析】设公差为 ，由 ，且 ，则，解得 。 考点：等差数列与方程思想.13.（2017