高考数学一轮复习 考点一篇过 专题35 直线的位置关系 理.doc

专题35 直线的位置关系（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.（2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.一、两条直线的位置关系斜截式一般式与相交 与垂直与平行且或与重合且注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况二、两条直线的交点对于直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，与的交点坐标就是方程组的解（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；（2）方程组无解；（3）方程组有无数解与重合三、距离问题（1）平面上任意两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)间的距离|p1p2|（2）点p0(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离d（3）两条平行线axbyc10与axbyc20(c1c2)间的距离d四、对称问题（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则考向一 两直线平行与垂直的判断及应用由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.典例1（1）若直线与平行，则a=_.（2）已知经过点和点的直线l1与经过点和点的直线互相垂直，则实数a的值为_.【答案】（1）2或；（2）1或0.当时，的斜率.因为所以，即,解得a=1. 当a=0时，这时直线为y轴，直线为x轴，显然.综上可知，实数a的值为1或0.1直线的斜率为2，直线l2过点，且与y轴交于点p，则p点坐标为a bc d考向二 两直线的相交问题1两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.2求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.典例2 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点p,且垂直于直线2x+3y+5=0,求直线l的方程.【答案】直线l的方程为3x-2y-4=0.设直线l的方程为3x-2y+c=0，把点p的坐标代入得32-21+c=0，解得c=-4.故直线l的方程为3x-2y-4=0.方法三：直线l的方程可设为2x-y-3+(4x-3y-5)=0(其中为常数),即(2+4)x-(1+3)y-5-3=0,因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以(-)=-1,解得=1.故直线l的方程为3x-2y-4=0.2若两条直线2xmy4=0和2mx3y6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是a bcd考向三 距离问题1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.典例3 （1）若点a(2，3)，b(4，5)到直线l的距离相等，且直线l过点p(1,2)，则直线l的方程为_；（2）若直线m被两直线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为，则直线m的倾斜角( 为锐角)为_ 【答案】（1）x3y50或x1；（2）15或75在中，sinabc=，所以abc=30，又直线l1的倾斜角为45，所以直线m的倾斜角为4530=15或45+30=75，故直线m的倾斜角 =15或753已知直线l与直线l1：3xy3=0和l2：3xy1=0的距离相等，则直线l的方程是_考向四 对称问题解决对称问题要抓住以下两点：（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上典例4 已知直线l:3x-y+3=0,求:（1）点p(4,5)关于直线l的对称点的坐标;（2）直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.【答案】（1）(-2,7)；（2）7x+y+22=0.【解析】设p(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为p(x,y).kppkl=1,3=-1,又pp的中点在直线3x-y+3=0上,3-+3=0.即7x+y+22=0.4如图，在等腰直角三角形abc中，abac4，点p是边ab上异于a，b的一点，光线从点p出发，经bc，ca发射后又回到原点p若光线qr经过三角形abc的重心，则求ap的长考向五 直线过定点问题求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.典例5求证：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标【答案】详见解析.【解析】证法一：对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，所以所给的直线不论m取什么实数，都经过定点(2，3)5已知直线l：kxy12k0(kr)（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围1过点(2,1)且与直线x+2y-1=0平行的直线方程是ax-2y-2=0bx-2y+2=0cx+2y-4=0dx+2y+4=02“a=15”是“直线2ax+(a-1)y+2=0与直线(a+1)x+3ay+3=0垂直”的a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3已知倾斜角为的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos(2 0192-2)的值为a45b-45c2d-124若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则两直线间的距离为a22b23c 823d8335若过点p(2,2)且与直线ax+y+1=0垂直的直线l被圆x2+y2=9所截得的弦长为2,则a=a3b3c1d16在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线c1：2x2-y2=1，过c1的左顶点引c1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积为a24b22c28d2167已知圆o:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则实数a的取值范围为ab(-,-32)(32,+)c(-22,22)d-32,328设点m是圆c:x2+y2-4y+3=0上的一个动点,则点m到直线l:x-3y+33=0的最大距离为a32+1b1-32c32d32+29求经过点p(1,2)的直线，且使a(2,3)，b(0,-5)到它的距离相等的直线方程a4x-y-2=0b.x=2c4x-y-2=0，或x=1d4x-y-2=0，或x=210已知点p(m,n)到点a(0,4)和b(-8,0)的距离相等,则(14)m+(12)n的最小值为a-3b3c16d411若直线2x+ay-7=0与直线(a-3)x+y+4=0互相垂直，则实数a= .12已知直线2x+y-2=0与直线4x+my+6=0平行,则它们之间的距离为 .13直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程为 .14已知函数f(x)=ex+aex(ar,e为自然对数的底数)的导函数f (x)是奇函数,若曲线y=f(x)在(x0,f(x0)处的切线与直线2x+y+1=0垂直,则x0=.15若关于x,y的方程组ax+y-1=0，4x+ay-2=0有无数多组解，则实数a= .16若p(2,-1)为圆x-12+y2=25的弦ab的中点，则直线ab的方程是 .17已知双曲线c:x23-y2=1与直线l:x+ky+4=0,若直线l与双曲线c的一条渐近线平行,则k=,双曲线c的右焦点到直线l的距离是.18已知l1,l2是分别经过a(2,1),b(0,2)两点的两条平行直线,当l1,l2之间的距离最大时,直线l1的方程是 .19已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0.(1)若l1l2，求实数a的值；(2)当l1/l2时，求直线l1与l2之间的距离.20过点p(3,0)有一条直线l,它夹在两条直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段恰被点p平分,求直线l的方程.21(1)已知点a(-1,-2)和b(-3,6),直线l经过点p(1,-5),且与直线ab平行,求直线l的方程.(2)求垂直于直线x+3y-5=0,且与点p(-1,0)的距离是3105的直线m的方程.22已知直线l1:x-2y+4=0与l2:x+y-2=0相交于点p(1)求交点p的坐标；(2)设直线l3:3x-4y+5=0，分别求过点p且与直线l3平行和垂直的直线方程.23已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y-b=0.(1)若l1l2,且l1过点(-3,-1),求实数a,b的值.(2)是否存在实数a,b,使得l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由.24已知两条直线l1:(a-1)x-2y+b=0,l2:ax+(b-4)y+3=0,其中a0.若l1l2,且l1过点(1,3).(1)求l1,l2的方程;(2)若光线沿直线l1射入,遇到直线x=0后反射,求反射光线所在的直线方程.变式拓展1【答案】d【解析】k1=2，k2=2.设，则，y=3，即.选d.2【答案】c【解析】解出两直线的交点为，由交点在第二象限，得，解得.3【答案】3xy1=0于是有，则直线l的方程为3xy1=0.4【解析】建立如图所示的坐标系，可得b(4，0)，c(0，4)，故直线bc的方程为xy4，三角形abc的重心为，设p(a,0)，其中0a4，则点p关于直线bc的对称点p1(x，y)满足，解得5【解析】(1)证法一：直线l的方程可化为yk(x2)1，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)证法二：设直线l过定点(x0，y0)，则kx0y012k0对任意kr恒成立，即(x02)ky010恒成立，所以x020，y010，解得x02，y01，故直线l总过定点(2,1)(2)直线l的方程为ykx2k1，则直线l在y轴上的截距为2k1，要使直线l不经过第四象限，则解得k0.故k的取值范围为0，)考点冲关1【答案】c【解析】方法一：由题意，知所求直线的斜率为-12,故所求直线的方程为y-1=-12(x-2),即x+2y-4=0.故选c.方法二：设所求直线方程为x+2y+c=0,又直线经过点(2,1),故c=-4,则所求方程为x+2y-4=0.故选c.方法三：四个选项中的直线只有选项c,d中的直线与直线x+2y-1=0平行,而只有选项c中的直线经过点(2,1),故选c.2【答案】a【名师点睛】用两条直线垂直的充要条件a1a2+b1b2=0求解,可以避免讨论斜率存在性.3【答案】b【解析】由题意可知tan =2,所以cos(2 0192-2)=cos(1 008+32-2)=-sin 2=-2sincossin2+cos2=-2tan1+tan2=-45.4【答案】c【解析】由l1l2知,1a-2=a362a,解得a=-1,所以l1:x-y+6=0,l2:x-y+23=0,两条平行直线l1与l2间的距离d=|6-23|12+(-1)2=823.故选c.5【答案】c【解析】由已知得圆的圆心为o(0,0),半径r=3.因为直线l被圆所截得的弦长为2,所以圆心到直线l的距离d=r2-12=22.因为直线l与直线ax+y+1=0垂直,故可设直线l的方程为x-ay+m=0.因为点p在直线l上,所以2-a2+m=0,解得m=2a-2,故直线l的方程为x-ay+2a-2=0.所以圆心到直线l的距离d=|2a-2|12+(-a)2=22,整理得a2+2a+1=0,解得a=-1.故选c.6【答案】c7【答案】a【解析】由圆的方程可知圆心为(0,0),半径为2.因为圆o上到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离dr+1=2+1,即d=|-a|12+12=|a|20,(12)n0,所以(14)m+(12)n2(14)m(12)n=2(12)2m+n=2(12)-6=16,当且仅当2m+n=-6(14)m=(12)n,即2m=n=-3时取等号.11【答案】2【解析】由题得，2(a-3)+a1=0,解得a=2.故答案为2.12【答案】5【解析】4x+my+6=0可化为2x+m2y+3=0，由题意可得两条平行线之间的距离d=|-2-3|5=5.13【答案】2x+11y+16=03x+x02+4y+y02-1=0,y-y0x-x0=43,解得x0=7x-24y+625,y0=-24x-7y+825.又q(x0,y0)在直线a:2x+y-4=0上,则27x-24y+625+-24x-7y+825-4=0,化简,得2x+11y+16=0.故所求直线b的方程为2x+11y+16=0.解法三：设直线b上的动点为p(x,y),直线a上的点为q(x0,4-2x0),且p,q两点关于直线l:3x+4y-1=0对称,则有|3x+4y-1|5=|3x0+4(4-2x0)-1|5,y-(4-2x0)x-x0=43,消去x0,得2x+11y+16=0或2x+y-4=0(舍去).故所求直线b的方程为2x+11y+16=0.14【答案】ln2215.【答案】2【解析】依题意，若关于x,y的方程组ax+y-1=0，4x+ay-2=0有无数多组解，则直线ax+y-1=0与直线4x+ay-2=0平行，则a4=1a=12，得a=2，故填2.16【答案】x-y-3=0【解析】由题意，知的圆心为(1,0),所以过圆心与点p的直线l的斜率k1=-1，由圆的性质可知，直线l与直线ab垂直，所以ab的斜率为1，因此直线ab的直线方程为x-y-3=0.17【答案】33【解析】由题意得,双曲线c:x23-y2=1的右焦点为f(2,0),其渐近线方程为y=33x.又直线l:x+ky+4=0与双曲线c的一条渐近线平行,所以k=3,所以直线l的方程为x3y+4=0,所以双曲线c的右焦点到直线l的距离d=|2+4|2=3.18【答案】2x-y-3=019【解析】(1)由l1l2知a+3(a-2)=0，解得a=32；(2)当时，有a(a-2)-3=03a-(a-2)0,解得a=3，l1:3x+3y+1=0,l2:x+y+3=0，即l2:3x+3y+9=0，距离为d=|9-1|32+32=423.【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意(1)利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值；(2)利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算.20【解析】如图,设直线l夹在两条直线l1与l2